Thuộc Tính Liên Kết Và Giao Hoán

Có một số tính chất toán học được sử dụng trong thống kê và xác suất ; hai trong số này, các tính chất giao hoán và kết hợp, thường được kết hợp với số học cơ bản của số nguyên , số hữu tỉ và số thực , mặc dù chúng cũng xuất hiện trong toán học cao cấp hơn.

Các thuộc tính này — giao hoán và kết hợp — rất giống nhau và có thể dễ dàng trộn lẫn với nhau. Vì lý do đó, điều quan trọng là phải hiểu sự khác biệt giữa hai điều này.

Tính chất giao hoán liên quan đến thứ tự của các phép toán nhất định. Đối với một phép toán nhị phân — một phép toán chỉ bao gồm hai phần tử — điều này có thể được biểu diễn bằng phương trình a + b = b + a. Phép toán có tính chất giao hoán vì thứ tự của các phần tử không ảnh hưởng đến kết quả của phép toán. Mặt khác, thuộc tính kết hợp liên quan đến việc nhóm các phần tử trong một hoạt động. Điều này có thể được biểu diễn bằng phương trình (a + b) + c = a + (b + c). Việc nhóm các phần tử, như được chỉ ra bằng dấu ngoặc đơn, không ảnh hưởng đến kết quả của phương trình. Lưu ý rằng khi thuộc tính giao hoán được sử dụng, các phần tử trong một phương trình được sắp xếp lại . Khi thuộc tính liên kết được sử dụng, các phần tử chỉ được tập hợp lại .

Tính chất giao hoán

Nói một cách đơn giản, tính chất giao hoán nói rằng các thừa số trong một phương trình có thể được sắp xếp lại một cách tự do mà không ảnh hưởng đến kết quả của phương trình. Do đó, thuộc tính giao hoán liên quan đến thứ tự của các phép toán, bao gồm phép cộng và nhân các số thực, số nguyên và số hữu tỉ.

Ví dụ: các số 2, 3 và 5 có thể được cộng với nhau theo bất kỳ thứ tự nào mà không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng:

2 + 3 + 5 = 10

3 + 2 + 5 = 10

5 + 3 + 2 = 10

Tương tự như vậy, các con số có thể được nhân lên theo bất kỳ thứ tự nào mà không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng:

2 x 3 x 5 = 30

3 x 2 x 5 = 30

5 x 3 x 2 = 30

Tuy nhiên, phép trừ và phép chia không phải là các phép toán có thể giao hoán vì thứ tự của các phép toán là quan trọng. Ví dụ: ba số ở trên không thể bị trừ theo bất kỳ thứ tự nào mà không ảnh hưởng đến giá trị cuối cùng:

2 - 3 - 5 = -6

3 - 5 - 2 = -4

5 - 3 - 2 = 0

Kết quả là, tính chất giao hoán có thể được biểu diễn thông qua các phương trình a + b = b + a và axb = bx a. Bất kể thứ tự của các giá trị trong các phương trình này, kết quả sẽ luôn giống nhau.

Bất động sản kết hợp

Thuộc tính kết hợp nói rằng nhóm các yếu tố trong một phép toán có thể được thay đổi mà không ảnh hưởng đến kết quả của phương trình. Điều này có thể được biểu diễn thông qua phương trình a + (b + c) = (a + b) + c. Bất kể cặp giá trị nào trong phương trình được thêm vào trước, kết quả sẽ giống nhau.

Ví dụ, lấy phương trình 2 + 3 + 5. Bất kể các giá trị được nhóm như thế nào, kết quả của phương trình sẽ là 10:

(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10

2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10

Cũng như thuộc tính giao hoán, các ví dụ về phép toán có tính chất kết hợp bao gồm phép cộng và phép nhân các số thực, số nguyên và số hữu tỉ. Tuy nhiên, không giống như thuộc tính giao hoán, thuộc tính kết hợp cũng có thể áp dụng cho phép nhân ma trận và thành phần hàm.

Giống như phương trình thuộc tính giao hoán, phương trình thuộc tính kết hợp không thể chứa phép trừ các số thực. Lấy ví dụ, bài toán số học (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; Nếu chúng ta thay đổi nhóm của các dấu ngoặc, chúng ta có 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, điều này làm thay đổi kết quả cuối cùng của phương trình.

Sự khác biệt là gì?

Chúng ta có thể phân biệt sự khác biệt giữa thuộc tính kết hợp và thuộc tính giao hoán bằng cách đặt câu hỏi, "Chúng ta đang thay đổi thứ tự của các phần tử hay chúng ta đang thay đổi nhóm các phần tử?" Nếu các phần tử đang được sắp xếp lại, thì thuộc tính giao hoán sẽ được áp dụng. Nếu các phần tử chỉ đang được nhóm lại, thì thuộc tính liên kết sẽ được áp dụng.

Tuy nhiên, lưu ý rằng sự hiện diện của dấu ngoặc đơn không nhất thiết có nghĩa là thuộc tính liên kết được áp dụng. Ví dụ:

(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)

Phương trình này là một ví dụ về tính chất giao hoán của phép cộng các số thực. Tuy nhiên, nếu chúng ta chú ý cẩn thận đến phương trình, chúng ta thấy rằng chỉ thứ tự của các phần tử đã được thay đổi, không phải là nhóm. Để áp dụng thuộc tính liên kết, chúng tôi cũng sẽ phải sắp xếp lại nhóm các phần tử:

(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3