Tích Phân Hữu Tỷ (integration By Partial Fractions)

Có thể bạn quan tâm

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-S

1. Phân thức hữu tỷ sơ cấp: New Update

Phân thức hữu tỷ là phân thức có dạng: $\dfrac{{P(x)}}{{Q(x)}}$ , trong đó P(x), Q(x) là các đa thức. Phân thức hữu tỷ được gọi là thật sự nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) (degP(x) < degQ(x)).

Phân thức hữu tỷ sơ cấp là các phân thức thật sự có dạng:

1. $\dfrac{A}{{x - a}}$

2. $\dfrac{A}{{{{\left( {x - a} \right)}^m}}},m \ge 1,m \in Z$

3. $\dfrac{{Ax + B}}{{{x^2} + px + q}}$ , tam thức bậc hai x 2 + px + q không có nghiệm thực

4. $\dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}},n \ge 1,n \in Z$ , x2 + px + q không có nghiệm thực. Trong đó A, B, p, q, a là những số thực

2. Tích phân phân thức hữu tỷ sơ cấp:

2.1 Ta xét tích phân ở 3 dạng đầu tiên:

1. $\int \dfrac{A}{x-a}dx = A.ln \left| {x-a}\right| + C$

2. $\int \dfrac{A}{(x-a)^m}dx = \dfrac{A}{1-m} \dfrac{1}{(x-a)^{m-1}} + C$

3. $\dfrac{A}{2}\ln ({x^2} + px + q) + \dfrac{{2B - Ap}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }}arctan\dfrac{{2x + p}}{{\sqrt {4q - {p^2}} }} + C$

2.2 Ví dụ 1: Tính $\int {\dfrac{{x + 1}}{{2{x^2} + 2x + 5}}dx}$

Ta có:

$\int\dfrac{x+1}{2x^2+2x+5}\, dx = \int\dfrac{ \dfrac{1}{4}(4x+2) + \dfrac{1}{2}}{2x^2+2x+5} \, dx = \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{(4x+2)dx}{2x^2+2x+5} + \dfrac{1}{2}. \int\dfrac{dx}{2x^2+2x+5}$

$= \dfrac{1}{4} ln (2x^2+2x+5) + \dfrac{1}{4}. \int\dfrac{dx}{ \left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2}$

$= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{4}\dfrac{2}{3}\arctan \left( {\dfrac{{x + \dfrac{1}{2}}}{{\dfrac{3}{2}}}} \right) + C$

$= \dfrac{1}{4}\ln \left( {2{x^2} + 2x + 5} \right) + \dfrac{1}{6}\arctan \left( {\dfrac{{2x + 1}}{3}} \right) + C$

Ví dụ 2: Tính tích phân: $\int { \dfrac{2x + 5 }{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx$

Ở đây, ta gặp dạng tích phân bậc tử bé hơn bậc mẫu 1 bậc. Do đó, ta thêm bớt ở tử số để xuất hiện biểu thức là đạo hàm của mẫu. Bài này cần xuất hiện 4x + 2 ở tử số. Ta có:

$\int { \dfrac{1}{2}}{ \dfrac{(4x + 2) + 8}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx$

Hay:

${ \dfrac{1}{2}} {\int { \dfrac{(4x + 2)}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx} + {\int { \dfrac{4}{2x^{2} + 2x + 3}} \,dx}$

$= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{x^{2} + x + 3/2}} \,dx}$

$= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + {\int { \dfrac{2}{(x+1/2)^{2} + 5/4}} \, dx}$

$= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + 2.{ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}.{arctg{({ \dfrac{x+1/2}{ \dfrac{\sqrt{5}}{2}}})}} + C$

$= { \dfrac{1}{2}} {ln(2x^{2} + 2x + 3)} + { \dfrac{4.{\sqrt{5}}}{5}}.{arctan{({ \dfrac{{(2x+1)}.{\sqrt{5}}}{5}})}} + C$

2.3 Tích phân dạng 4:

2.3.1 Xét trường hợp đặc biệt của tích phân loại 4: $\int {\dfrac{{dt}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}}$ . Ta có:

$I_n = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n} = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{a^2+t^2-t^2}{(t^2+a^2)^n} \, dt = \dfrac{1}{a^2}. \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2} \int\dfrac{t^2dt}{(t^2+a^2)^n}$

$= \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} - \dfrac{1}{2a^2}. \int\dfrac{td(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n}$

Áp dụng công thức tích phân từng phần cho $\int {\dfrac{{td({t^2} + {a^2})}}{{{{({t^2} + {a^2})}^n}}}}$ . Ta có:

Đặt $u = t ; dv = \dfrac{d(t^2+a^2)}{(t^2+a^2)^n}$ . Khi đó:

$I_n = \dfrac{1}{a^2}I_{n-1} + \dfrac{t}{2a^2(n-1)(t^2+a^2)^{n-1}} - \dfrac{1}{a^2(n-1)} \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^{n-1}} \\ = \dfrac{1}{2a^2(n-1)}. \dfrac{t}{(t^2+a^2)^{n-1}} + \dfrac{1}{a^2}. \dfrac{2n-3}{2n-2}.I_{n-1}$

Công thức trên cho phép sau (n-1) lần thì In được đưa về $\int {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + {a^2}}}}$

Ghi chú: Tích phân dạng trên, ta có thể chuyển về tích phân hàm lượng giác bằng cách đặt $t = a.tanu$

Ví dụ: tính $\int {\dfrac{{dx}}{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}$

Áp dụng công thức trên với n = 3 và a = 1. Ta có:

$I_3 = \dfrac{1}{2.1.2} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{1}{1} \dfrac{2.3-3}{2.3-2}I_2 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{4} \left( {\dfrac{1}{2.1.1}\dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{2.2-3}{2.2-2}I_1} \right)$

Từ đó:

$I_3 = \dfrac{1}{4} \dfrac{x}{(x^2+1)^2} + \dfrac{3}{8} \dfrac{x}{x^2+1} + \dfrac{3}{8}arctanx + C$

Do: $I_1 = \int\dfrac{dx}{x^2+1} = arctanx + C$

2.3.2 Tích phân dạng 4:

Cần tính $\int {\dfrac{{Ax + B}}{{{{\left( {{x^2} + px + q} \right)}^n}}}} dx$ , $\dfrac{{{p^2}}}{4} - q < 0$

Trong tử số ta tách ra đạo hàm của tam thức bậc hai ở mẫu số:

$\int\dfrac{\dfrac{A}{2}(2x+p)+ \left( {B - \dfrac{Ap}{2}} \right)}{(x^2+px+q)^n}\,dx = \dfrac{A}{2}. \int\dfrac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+ \left( {B-\dfrac{Ap}{2}} \right) \int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^2}$

Như vậy, tích phân cần tính được tách thành 2 tích phân, trong đó:

– Dễ dàng tính tích phân thứ nhất.

– Với tích phân thứ hai:

$\int\dfrac{dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\dfrac{dx}{ \left[ { \left( {x+\dfrac{p}{2}} \right)^2 + \left( {q-\dfrac{p^2}{4}} \right)} \right]^n} = \int\dfrac{dt}{(t^2+a^2)^n}$

Với $t = x + \dfrac{p}{2} ; a^2 = q - \dfrac{p^2}{4}$ (do p2 – 4q < 0)

Ví dụ: tính $\int {\dfrac{{3x + 2}}{{{{({x^2} + 2x + 10)}^2}}}dx}$

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2 3

Thảo luận

51 bình luận về “Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)”

Thầy giúp em giải bài này : tích phân từ 0 đến 1 của (2x+1)/(x^2-4x+4)dx

ThíchThích
Posted by thư | 06/05/2014, 07:26 Reply to this comment
Thay oj gjup e gjaj tich phan nay dx/(x^2 -2x+ 2012)

ThíchThích
Posted by Hoang anh | 17/09/2012, 12:01 Reply to this comment
Cám ơn Thầy rất nhiều !

ThíchThích
Posted by nguyentuminh | 22/06/2012, 00:14 Reply to this comment
thay giup em tinh tich phan (x-1)/(x^2(x^2-1) voi!em cam on thay!

ThíchThích
Posted by thien tung | 27/05/2012, 21:15 Reply to this comment
Thầy tính dùm em bài nguyên hàm $\dfrac{1}{x^8+1}$ với. Có cách nào hay ko mà em làm dài quá

ThíchĐã thích bởi 1 người
Posted by linhlinhlinh | 22/05/2011, 10:47 Reply to this comment
Thầy ơi! Bài tập này phải giải sao đây! Tính tích phân (x^2-8x+7)/(x^2-2x-10)^2. Em làm hoài mà nó không ra được! Em cảm ơn!

ThíchThích
Posted by nguyen thi anh tuyet | 04/01/2011, 19:23 Reply to this comment
Your RSS feed doesn’t work in my browser (google chrome) how can I fix it?

-Bruno

ThíchThích
Posted by bruno mars | 06/05/2010, 08:11 Reply to this comment
Thầy ơi, giúp em với. Tính tích phân bất định của x^4/(x^4+5x^2+4). Em cảm ơn thầy.!

ThíchThích
Posted by Doremon | 19/03/2010, 00:46 Reply to this comment
- Em có: $\dfrac{x^4}{x^4+5x^2+4} = 1 - \dfrac{5x^2+4}{x^4+5x^2+4}$ Em phân tích: $\dfrac{5x^2+4}{x^4+5x^2+4} = \dfrac{ax+b}{x^2+1} + \dfrac{cx+d}{x^2+4}$ . Sau đó, đồng nhất hệ số tìm được a, b, c, d. Đên đây bài toán được giải quyết.
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 20/03/2010, 18:23 Reply to this comment
Wow,super site here!

ThíchThích
Posted by new years eve san francisco 2010 | 19/12/2009, 01:22 Reply to this comment