TIỂU LUẬN CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC 3 - 123doc

Quá trình bốn bước để giảimột bài toán theo Polya; các chiến lược, phương pháp chung đểgiải quyết một bài toán; bài toán không giải được và phỏngđoán; biến số và phương trình, các phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ

MINHKhoa Giáo dục Tiểu học

Tiểu luận môn học:

CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU

HỌC 3

BÀI THI KẾT THÚC HỌC

PHẦN

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

“Toán học là ngành khoa học nghiên cứu trừu tượng về nhữngchủ đề như: lượng (các con số), cấu trúc, không gian, và sự thayđổi” Toán học có sự góp mặt tích cực vào các lĩnh vực khoa họckhác và trong đời sống thực tiễn Do đó, việc dạy học toán ở phổthống nói chung và ở tiểu học nói riêng đóng một vai trò rấtquan trọng Nó cung cấp nền tảng kiến thức cơ bản để học sinhtừng bước phát triển cao hơn, đi sâu vào toán học hay đơn giảndừng lại ở mức độ xử lý những vấn đề giản dị trong đời sốngliên quan đến toán học

Với những nhận thức cơ bản về toán học như trên, nhóm tácgiả chọn hướng tiếp cận toán học dưới các giác độ cơ bản, chútrọng khai thác các phạm trù của toán học trong giới hạn chươngtrình Toán tiểu học hiện hành Các vấn đề cơ bản ấy bao gồm:thế nào là giải quyết một bài toán? Quá trình bốn bước để giảimột bài toán theo Polya; các chiến lược, phương pháp chung đểgiải quyết một bài toán; bài toán không giải được và phỏngđoán; biến số và phương trình, các phương pháp đếm số tamgiác trong một hình cho trước và một số bài toán hay

Trong phạm vi bài luận của mình, nhóm tác giả đã cố gắngkhai thác sâu nhất các vấn đề nêu trên trong giới hạn khả năngcủa bản thân Ngoài những kiến thức cơ bản có trong tài liệu

tiếng Anh “Mathematics for Elementary Teachers: A ConceptualApproach” của Bennett A B, Burto J, Nelson L T, chúng tôicòn mở rộng mỗi vấn đề nói trên theo nhiều chiều Đặc biệt ởmục ba, chúng tôi đã cố gắng bám sát, nêu được tên gọi tươngứng và phân tích sâu các phương pháp giải toán ở tiểu học phổbiến hiện hành, sưu tầm thêm một số phương pháp được cácchuyên gia toán học, các thầy, cô giáo tiểu học hiện nay sử dụng

để giúp học sinh giải được bài toán phù hợp với đặc điểm tâmsinh lý, ở mỗi phương pháp đều có các ví dụ cụ thể được trìnhbày một cách khoa học, rõ ràng và dễ hiểu Ở một số phươngpháp còn có sự gắn kết với thực tiễn đời sống, định hướng nghệthuật dạy học cho giáo viên

II NỘI DUNG:

CÂU I MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN TOÁN TIỂU HỌC

1 THẾ NÀO LÀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN?

1.1 KHÁI NIỆM VỀ MỘT BÀI TOÁN, MỘT BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC

Trong toán học, một bài toán thường bao gồm hai bộ phận:một là, các dữ kiện đã biết như số liệu, biến số, phép toán, các kíhiệu toán học, mối quan hệ giữa các thành tố ấy; hai là vấn đềcần được giải quyết Vấn đề này đòi hỏi tính vừa sức đối vớingười tiếp nhận, không quá khó nhưng cũng không quá dễ, tạonên tình huống mà người học chưa biết, đang quan tâm, đangthắc mắc và thực sự có nhu cầu giải quyết, nghĩa là bài toán phảidựa trên những đặc điểm tâm lý của lứa tuổi, kích thích được tưduy của học sinh, người học có thể nhận diện và giải quyết đượcbài toán đó dựa trên những kinh nghiệm về toán học mà họ đãtích lũy

Để kích thích được tư duy của học sinh, đặc biệt là học sinhtiểu học, vấn đề của bài toán đặt ra cần phải phù hợp với đặcđiểm tâm lý của trẻ, trước hết là đặc điểm về tư duy Tư duy của

học sinh tiểu học có sự thay đổi và phát triển dần theo từng độtuổi, từ tư duy trực quan, cụ thể chuyển dần sang tư duy mangtính trừu tượng, khái quát Với những đặc điểm ấy, các bài họctrong sách giáo khoa Toán lớp 1 cũng phải thống nhất theo mộtnguyên tắc nhất định Cụ thể, sách giáo khoa môn Toán lớp 1nói riêng và sách giáo khoa môn khác của lớp 1 nói chungthường sử dụng rất nhiều hình ảnh mang màu sắc sinh động đểlôi cuốn trẻ học tập Bài học để trẻ làm quen và nhận diện “phépcộng trong phạm vi 3” dưới đây là một ví dụ điển hình:

Ở phần ví dụ, sách đã sử dụng bốn hình ảnh về sự vật để miêu

tả bốn phép toán cộng trong phạm vi 3: hai con gà đại diện chohai đơn vị được chia cắt bởi một dấu gạch xiên và chúng cùngnằm trong một ô lớn Ô lớn đại diện cho tổng Tương tự, ba hìnhcòn lại cũng như vậy

Qua các hình ảnh này, chúng ta cũng có thể nhận thấy đượccác bộ phận của một bài toán Xét về mô hình bao gồm các yếu

tố đã biết như số lượng con gà, xe ô tô, con rùa, dấu chấm trònthuộc về hai bên của mỗi hình, mối quan hệ giữa chúng (cùngnằm trong một ô lớn) và vấn đề đặt ra Xét về mặt đại số baogồm các dữ kiện đã biết như con số, phép toán, kí hiệu như dấu

“=” và vấn đề cần được giải quyết (kết quả của tổng) Đây làhình thức ban đầu của đại số song chúng chỉ dừng lại ở mức độlàm quen với trẻ chứ chưa đi vào nhận diện và hình thành kháiniệm về nó

Tuy nhiên, các bài toán của học

sinh lớp 2 trở lên đã bắt đầu giảm

dần hình ảnh trực quan và để miêu tả

một bài toán, người ta thay thế chúng

bằng lời văn và các kí hiệu Bài toán

có lời văn xuất hiện từ khoảng giữa

chương trình Toán lớp 1 Chúng tăng

dần tần số xuất hiện từ Toán lớp 2 trở

đi với tính chất ngày càng khó hơn

Cùng với đó, trong chương trình

Toán lớp 2, trẻ bắt đầu tiếp cận với

phép toán cộng trừ trong phạm vi

100 có nhớ; bảng nhân và bảng chia của 2, 3, 4, 5; chu vi hìnhtam giác, hình tứ giác…Lên Toán lớp 3, trẻ sẽ tiếp tục học cácbảng nhân, bảng chia còn lại từ 6 đến 9; thực hành các phép toánnhân chia có dư; làm việc với khái niệm về biểu thức đại số.Hình học ở Toán lớp 3 cũng trở nên phong phú hơn, học sinh đãbắt đầu làm việc với chu vi của các hình quen thuộc như hìnhchữ nhật, hình vuông, hình tròn (xác định tâm, bán kính), cáckhái niệm cơ bản của hình học như điểm, đoạn thẳng…Đặc biệt,đối với học sinh lớp 4, 5 thuộc giai đoạn cuối cấp tiểu học, các

em đã phát triển mạnh về tư duy trừu tượng sẽ được học và thựchành nhiều các bài toán về hình học, các phép toán nhân, chia,cộng trừ ở dạng phức tạp; bắt đầu được học về số thập phân vàcác phép toán trên số thập phân ở Toán lớp 5…

1.2 KHÁI NIỆM VỀ GIẢI MỘT BÀI TOÁN

Giải một một bài toán hay giải quyết một vấn đề (trong toán

học) là quá trình mà trong đó tình huống không quen thuộc được giải quyết Một bài toán cần phải hàm chứa tính có vấn đề

từ các dữ liệu như đã được trình bày ở phần 1.1 Giải quyết cácvấn đề đó là bài toán đã được giải quyết Một bài toán có thể cómột hay nhiều vấn đề, có thể vấn đề này là cơ sở để tìm ra vấn

đề khác Quá trình ấy được diễn ra cho đến vấn đề cuối cùngđược tháo gỡ Ví dụ về một bài toán lớp 5 như sau:

“Một thửa ruộng hình thang có đáy lớn 120m, đáy bé bằng2/3 đáy lớn Đáy bé hơn chiều cao 5m Trung bình cứ 100m2 thuhoạch được 64,5 kg thóc Tính số ki – lô- gam thóc thu hoạchđược trên thửa ruộng đó”

Bài toán trên với các dữ kiện đã cho như độ dài của đáy lớn,

tỷ số độ dài giữa đáy lớn và đáy bé, hiệu giữa đáy bé và chiềucao, số ki - lô - gam thóc thu hoạch được trên trung bình 100m2

thửa ruộng Bài toán đưa ra vấn đề cần giải quyết là tìm số ki

-lô - gam thóc thu hoạch được trên toàn thửa ruộng đó Trong bàitoán này, vấn đề cần giải quyết không chỉ có một và để giảiquyết được vấn đề cuối cùng cần phải giải quyết các vấn đề thứyếu đặt ra trong bài toán Các vấn đề thứ yếu ở đây chính là độdài của đáy bé và độ dài của chiều cao Bài toán có thể được giảitheo các bước như sau:

Một là, tóm tắt bài toán:

Độ dài đáy lớn: 120 m

Độ dài đáy bé: bằng 2/3 độ dài đáy lớn

Độ dài chiều cao: ngắn hơn chiều cao 5 m

Trung bình 100m2: 64,5 kg thóc

Hỏi cả thửa ruộng:…kg thóc

Hai là, tiến hành giải bài toán trên:

(120 + 80) 75 = 15000 (m2)Diện tích thửa ruộng hình thang là:

2 QUÁ TRÌNH BỐN BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỦA

POLYA?

2.1 LÝ LUẬN VỀ BỐN BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỦA POLYA

George Polya là một nhà Toán học - nhà sư phạm nổi tiếngngười Mỹ, là một bậc thầy về phương pháp giải quyết vấn đề.Ông có tầm ảnh hưởng lớn đối với nhiều giáo viên dạy toán Khinhấn mạnh ý nghĩa của việc dạy học sinh biết tự phát hiện, tìmtòi cách giải quyết bài toán, G Polya đã viết: “Cách giải nàythật đúng, nhưng làm thế nào để nghĩ ra một cách giải khác? Sựkiện này đã được kiểm nghiệm, nhưng làm thế nào để phát hiện

ra các sự kiện như vậy? Và làm thế nào để tự mình phát hiện rađược?”

Theo tư tưởng sư phạm của G.Polya, chúng ta cần phải giúphọc sinh biết tiến hành hoạt động giải toán thông qua nhữngthao tác trí tuệ, ông đã đưa ra phương pháp chung để giải bàitoán theo quy trình bốn bước: tìm hiểu bài toán; xây dựngchương trình giải toán; trình bày lời giải (giải quyết bài toán dựatrên kế hoạch đã định); và nghiên cứu sâu lời giải

Trong bài viết này, chúng ta sẽ tiến hành cụ thể hóa việc vậndụng lí luận về quy trình giải bài toán của G Polya, đặc biệttrong dạy học Toán cho học sinh Tiểu học

Quy trình giải một bài Toán của G.Polya gồm bốn bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu bài toán.

Để tìm hiểu nội dung của bài toán, cần chú ý các yếu tố cơbản: Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm và cái phải chứng minh;Cần nắm rõ những gì thuộc về bản chất, những gì không thuộc

về bản chất của đề bài để hướng sự chú ý vào những chỗ cầnthiết; có thể tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng, hình vẽ,ngôn ngữ hay ký hiệu ngắn gọn Ở bước này, giáo viên có thểnêu các câu hỏi để dẫn dắt học sinh như: bài toán đã cho biết gì?Bài toán hỏi cái gì?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán.

Yếu tố quan trọng khi giải được bài toán chính là việc xâydựng chương trình giải cho bài toán đó Vì vậy, khi thực hiện,cần chú ý: lập kế hoạch giải bài toán (có thể phân tích bài toán

đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc, sau đó sửdụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán) Ví dụ:

Bể 1 có 4 con cá, bể 2 có nhiều hơn bể 1 là 3 con cá Hỏi cả hai

bể có bao nhiêu con cá? Bài toán này dựa vào hai bài toán:

Bài toán 1: Bể 1 có 4 con cá, bể 2 có nhiều hơn bể 1 là 3 con.

Hỏi bề 2 có bao nhiêu con cá? (toán lớp 1)

Bài toán 2: Bể 1 có 4 con cá, bể 2 có 7 con cá Hỏi cả hai bể

có bao nhiêu con cá? (bài toán gộp – lớp 1)

Thiết lập trình tự giải bài toán Ở bước này, giáo viên có thểdẫn dắt học sinh bằng các câu hỏi: Để trả lời được câu hỏi củabài toán thì cần phải biết gì, cần phải làm những phép tính nào?Trong những điều ấy, cái gì đã biết, cái gì chưa biết? Muốn tìmcái chưa biết thì chứng ta phải biết những cái gì, phải làm tiếpphép tính gì?

Ví dụ: Lấy ví dụ về bài toán vừa nêu trên, ta có thể thiết lậptrình tự giải bài toán này như sau: Tìm số cá ở bể 2 (lấy 4+3), cóđược số cá ở bể 2 và số cá ở bể 1 (đề bài cho trước) ta sẽ giảiquyết được yêu cầu của bài toán là tìm số cá ở cả 2 bể (lấy 4+7)

Bước 3: Trình bày lời giải và thực hiện các phép tính.

Ví dụ: Lấy ví dụ đã nêu ở bước 2, lời giải và phép tính sẽđược trình bày như sau:

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Việc giúp cho học sinh có thói quen tự kiểm tra lại kết quảcủa bài toán là một việc rất quan trọng vì nó giáo dục các emđức tính cẩn thận, chu đáo, ý thức trách nhiệm với công việcmình làm Do đó, sau khi trình bày lời giải, giáo viên cần yêucầu học sinh thực hiện: kiểm tra lại kết quả của phép tính, xemlại các câu lời giải trong quá trình giải có hợp lí chưa? Nhìn lạitoàn bộ các bước giải, rút ra phương pháp để giải một bài toán

nào đó; tìm thêm cách giải khác; có thể phát triển, đặt ra các bàitoán mới.

2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở TIỂU HỌC VÀ BỐN BƯỚC GIẢI TOÁN CỦA POLYA

Bài toán 1: Lớp 4A có 35 học sinh và lớp 4B có 33 học sinh

cùng tham gia trồng cây Lớp 4A trồng nhiều hơn lớp 4B là 10cây Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây, biết rằng mỗi họcsinh đều trồng số cây như nhau?

Bước 1: Tìm hiểu bài toán.

Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán và trả lời: Bài toán cho biếtgì? Bài toán yêu cầu tìm gì? Yêu cầu học sinh tóm tắt bài toán

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.

Yêu cầu học sinh phân tích bài toán để tìm cách giải Có thểhướng dẫn học sinh suy luận như sau: muốn biết mỗi lớp trồngđược bao nhiêu cây ta phải biết gì? (mỗi học sinh trồng đượcbao nhiêu cây); để biết mỗi học sinh trồng được bao nhiêu cây taphải biết gì? (Lớp 4A hơn lớp 4B bao nhiêu học sinh); ta tìm sốhọc sinh của lớp 4A hơn lớp 4B như thế nào? (lấy 35 – 33) Yêu cầu học sinh thiết lập trình tự giải toán, có thể thiết lậptheo sơ đồ sau:

Số học sinh lớp 4A hơn số học sinh lớp 4B

Số cây mỗi học sinh trồng

Số cây lớp 4A trồng Số cây lớp 4B trồng

Bước 3: Trình bày lời giải:

Giáo viên yêu cầu học sinh nhìn sơ đồ trình bày lời giải bàitoán

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

Yêu cầu học sinh: Kiểm tra kết quả của mỗi phép tính; xemxét lời giải có hợp lí chưa? Lời giải đã nêu được câu trả lời choyêu cầu của bài toán chưa? Chẳng hạn: mỗi học sinh trồng được

5 cây, lớp 4A trồng được 175 cây nên số học sinh của lớp 4A là:

175 : 5 = 35 (học sinh); Lớp 4B trồng được 165 cây nên số họcsinh của lớp 4B là 165 : 5 = 33 (học sinh) Vậy kết quả bài toánđúng

Khuyến khích học sinh khá giỏi đặt ra các bài toán mới từ bàitoán đã cho

Bài toán 2 (Sách giáo khoa Toán lớp 5): Một người thợ dệt

ngày thứ nhất dệt được 28,4 m vải, ngày thứ hai dệt nhiều hơnngày thứ nhất 2,2 vải, ngày thứ ba dệt nhiều hơn ngày thứ hai

1,5m vải Hỏi cả 3 ngày người đó dệt được bao nhiêu mét vải?

Bước 1: Tìm hiểu bài toán.

Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề toán và trả lời: Bài toán cho biếtgì? Bài toán yêu cầu tìm gì?

Yêu cầu học sinh tóm tắt bài toán Có thể tóm tắt như sau:

Bước 2: Xây dựng chương trình giải.

Yêu cầu học sinh phân tích bài toán để tìm cách giải Có thểhướng dẫn học sinh suy luận như sau: muốn biết người đó dệtđược bao nhiêu mét vải ta phải biết gì? (mỗi ngày dệt được baonhiêu mét); để biết mỗi học sinh trồng được bao nhiêu cây taphải biết gì? (ngày thứ hai dệt nhiều hơn ngày thứ nhất 2,2mvải, ngày thứ ba dệt nhiều hơn ngày thứ hai 1,5m vải.); ta tìm sốmét vải người đó dệt ngày thứ hai và thứ ba như thế nào? (ngàythứ 2: 28,4 + 2,2= 30,6; ngày thứ 3: 30,6 + 1,5 = 32,1)

Yêu cầu học sinh thiết lập trình tự giải toán, có thể thiết lậptheo sơ đồ sau:

Số mét vải người đó dệt trong ngày thứ 2

Số mét vải người đó dệt trong ngày thứ 3

Số mét vải người đó dệt được trong cả 3 ngày

Bước 3: Trình bày lời giải:

Giáo viên yêu cầu học sinh nhìn sơ đồ trình bày lời giải bàitoán.

Bài giải:

Ngày thứ hai, người thợ dệt được số mét vải là:

28,4 + 2,2 = 30,6 (mét vải)Ngày thứ ba, người thợ dệt được số mét vải là:

30,6 + 1,5 = 32,1 (mét vải)

Cả ba ngày, người thợ dệt được số mét vải là:28,4 + 30,6 + 32,1 = 91,1 (mét vải)

Đáp số: 91,1 mét vải Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

Yêu cầu học sinh: kiểm tra kết quả của mỗi phép tính; xemxét lời giải có hợp lí chưa? Lời giải đã nêu được câu trả lời choyêu cầu của bài toán chưa?

Khuyến khích học sinh khá giỏi đặt ra các bài toán mới từ bàitoán đã cho

Tóm lại, để giúp học sinh giải toán một cách có hiệu quả,

giáo viên cần làm cho các em nắm được các bước của quy trìnhgiải toán, có thói quen khi giải toán cần thực thực hiện theo mộtquy trình nhất định Quy trình giải bài tấp của G Polya có thểgiúp học sinh giải bài tập toán một cách nhanh chóng và khoahọc Đặc biệt, sử dụng quy trình giải bài tập của G Polya theomột cách thích hợp sẽ góp phần tích cực hóa hoạt động nhậnthức, rèn luyện các kỹ năng tư duy như: phân tích, tổng hợp, suyluận của học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy và học cũngnhư khả năng vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn môtcách có hiệu quả

3 CHIẾN LƯỢC, PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI MỘT BÀI TOÁN?

3.1 KHÁI NIỆM CHIẾN LƯỢC, PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Chiến lược là tập hợp các quyết định về các mục tiêu dài hạn

và các biện pháp, các cách thức, con đường đạt đến các mục tiêu

đó Chiến lược là khái niệm có nguồn gốc từ quân sự Trongquân sự, chiến lược khác với chiến thuật, chiến thuật đề cập đếnviệc tiến hành một trận đánh, trong khi chiến lược đề cập đếnviệc làm thế nào để liên kết các trận đánh với nhau Nghĩa là cầnphải phối hợp các trận đánh để đi đến mục tiêu quân sự cuốicùng

Phương pháp là con đường, cách thức hoạt động nhằm đạtđược mục đích đã định Phương pháp có cấu trúc phức tạp baogồm mục đích cần đạt đến, hệ thống hành động, những phươngtiện cần thiết, chủ thể và kết quả sử dụng phương pháp

Trong phần này, chúng ta sẽ tiến hành tìm hiểu một số chiếnlược, phương pháp để giải quyết một vấn đề như: phương pháplập bảng vẽ, đoán và kiểm tra, tạo bảng, sử dụng mô hình, tínhngược từ cuối, tìm kiếm quy luật của dãy, đơn giản hóa vấn đề,

sử dụng đại số và một số phương pháp giải toán phổ biến khác ởtiểu học hiện nay

3.2 CÁC CHIẾN LƯỢC, PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT BÀI TOÁN

3.2.1 Lập bản vẽ (Making a drawing)

Một trong những phương pháp hữu ích nhất để hiểu và giảiquyết một bài toán là vẽ bản phác thảo và sơ đồ Phương phápnày có một ưu điểm rất lớn là bám sát với đặc điểm tư duy trựcquan hình ảnh của học sinh tiểu học, do đó giáo viên chúng tathường xuyên vận dụng phương pháp này để giúp các em họcsinh tiểu học giải các bài tập toán, nhất là các bài tập toán có lờivăn Trong ví dụ sau đây, các bản vẽ có thể sẽ là kim chỉ nam đểdẫn đường cho chúng ta tìm đến những giải pháp, thông qua đó

ta sẽ từng bước tìm hiểu khái niệm về phương pháp lập bản vẽgắn liền với bốn bước giải toán của Polya.

a Vấn đề

Một bài toán được gọi là vấn đề nếu chủ thể chưa biết mộtthuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bàitoán Ví dụ:

Để tổ chức sinh nhật cho vợ mình, ông Jones đã lên kế hoạch

về một bữa tiệc tối trong một căn phòng lớn Buổi tiệc sẽ có 22người, và để đảm bảo đủ chỗ ngồi cho khách, ông ta cần mượnmột số bàn, mỗi bên của chiếc bàn chỉ đảm bảo cho một vịkhách Jones muốn sắp xếp những chiếc bàn ấy theo hình chữnhật để chúng trông giống như một cái bàn lớn Vậy số bàn tốithiểu mà ông Jones cần mượn là bao nhiêu?

Bước 1: Hiểu vấn đề

Thế nào là “hiểu vấn đề”? Thông thường chúng ta cho rằng

đọc đề bài, hiểu đề bài, tìm ra phương trình cần giải, tìm ramệnh đề cần chứng minh là ta đã hiểu vấn đề Thế nhưng theoPolya, hiểu vấn đề cần phải đảm bảo một số quy tắc

Điều đầu tiên, trong một bài toán bao giờ cũng có những tham

số, vậy tham số trong bài toán đặt ra là gì? Và ẩn số, tức là điềucần tìm trong một bài toán nữa, đó là gì? Polya phân loại các bàitoán thành hai dạng: dạng thứ nhất là tìm ra đáp số, khi đó ta cótham số và ẩn số; dạng thứ hai là chứng minh, ta có giả thiết vàkết luận

Quy tắc quan trọng thứ hai là tìm cách loại trừ hoàn toàn

những gì không rõ ràng trong phát biểu bài toán Theo đó, ta sẽ

tiến hành phân tích ví dụ trên

Trong bài toán trên, tham số là số lượng người, quy tắc chỗngồi và yêu cầu sắp xếp các bàn liền kề; ẩn số là cách sắp xếpbàn hợp lý Bài toán nêu ra một yêu cầu: những chiếc bàn phảiđược đặt cạnh nhau để chúng tạo thành một bàn hình chữ nhậtlớn Thử đặt ra một câu hỏi để chúng ta bắt đầu hình dung: nếuhai chiếc bàn được đặt liền kề nhau, có bao nhiêu người có thểngồi?

Một cái bàn lớn

Sau khi hiểu kĩ càng vấn đề thì việc tiếp theo là chúng ta cầnphải lên một phương án để giải quyết chúng Chúng ta cần mộtbản kế hoạch hoàn chỉnh từ điểm bắt đầu cho đến kết luận củamột bài toán Một bài toán được lập ra khi có sự tham gia của ẩn

số, tham số, mối quan hệ lẫn nhau và những định lí, hiện tượng,

ví dụ để giải quyết chúng

Bước 2: Tạo một kế hoạch

Vẽ sơ đồ về cách sắp xếp các ô hình chữ nhật là một cách tiếpcận tự nhiên để giải quyết vấn đề này Các hình chữ nhật có thểđược đặt trong một hàng dài; chúng có thể được đặt cạnh nhautạo thành hai dãy bàn song song

Bước 3: Thực hiện kế hoạch

Quan sát sơ đồ sau ta thấy nếu 9 cái bàn đơn đặt cạnh nhautheo một hàng ngang, ngoài 9 người tương ứng được ngồi, ta sẽ

có thêm 2 người ngồi ở hai đầu dãy bàn Tổng cộng số ngườicho một cách sắp xếp như trên là 11 người

X X X X X X X X X

X X

Như vậy, số bàn tối thiểu để đáp ứng cho 22 người sẽ gấp đôi

số bàn trên, nghĩa là 18 cái bàn xếp thành 2 dãy, mỗi dãy 9 cáibàn

Bước thứ 4, cũng là bước cuối cùng trong sơ đồ của Polya là

“nhìn lại vấn đề” Nếu như ở ba bước đầu tiên, có thể chúng ta

đã chịu nhiều ức chế, nhiều áp lực về tư duy thì đến bước này,bài toán đã được giải quyết và ta có thể viết lời giải và lời bìnhcủa mình theo những cách hay nhất có thể.

Ngoài ra, ta có thể mở rộng bài toán bằng việc thiết lập mộtbài tập tương tự như: số lượng bàn tối thiểu cần thiết cho 30người là bao nhiêu? Và đáp án sẽ là 24 cái bàn, chia làm 3 dãy,mỗi dãy 8 cái bàn

Tóm lại, việc sử dụng sơ đồ (bản vẽ) là một phương pháp hay

để giải các bài toán cần có sự hình dung cụ thể, phương phápnày có thể ứng dụng ở hầu hết các bài toán khác nhau, nhất làcác bài toán ở tiểu học

b Một số bài toán ở tiểu học sử dụng phương pháp lập bản vẽ (sơ đồ)

Phương pháp lập bản vẽ nêu trên tương ứng với phương pháp

vẽ sơ đồ đoạn thẳng được dùng nhiều trong các bài toán ở tiểuhọc Dưới đây là một số bài toán và dạng toán quen thuộc dùngđến phương pháp vẽ sơ đồ đoạn thẳng

Bài toán 1: Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét

vải xanh là 540m Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng

số mét vải xanh bằng số mét vải hoa?

Hi ểu

vấn đề: Ta có thể vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 1:

Qua sơ đồ, chúng ta dễ dàng thấy được hai điều kiện của bàitoán: số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là 540 và số métvải hoa nhiều gấp 4 lần số mét vải xanh (biểu thị quan hệ sosánh số này gấp số kia một số lần)

Lập kế hoạch: Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét vải

xanh: lấy 540 chia cho 3 (vì số mét vải xanh bằng số mét vảihoa) Cũng nhờ sơ đồ, ta có thể tìm số mét vải hoa bằng cách lấy

số mét vải xanh vừa tìm được cộng với 540m (hoặc gấp 4 lần sốmét vải xanh).

Thực hiện kế hoạch: Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán như

sau: Vì số mét vải xanh bằng số mét vải hoa và số mét vải xanh

ít hơn số mét vải hoa là 540m nên số mét vải xanh là : 540 : 3 =

180 (m) Số mét vải hoa là : 180 + 540 = 720 (m) (hoặc 180 x 4

= 720 (m)) Cũng có thể giải bài toán theo cách sau đây:

Số mét vải hoa là : 540 : 3 x 4 = 720 (m); số mét vải xanh là :

720 – 540 = 180 (m) Chúng ta có thể trình bày bài giải như sau:

Nhìn lại vấn đề: Kiểm tra kết quả của bài toán, ta thấy số mét vải

hoa đúng bằng 4 lần số mét vải xanh: 720 : 180 = 4 (lần) và hiệu giữachúng là: 720 – 180 = 540 (mét vải)

Bài toán 2: Một đội công nhân sửa chữa đường sắt, ngày thứ nhất

sửa chữa được 15m đường, ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất 1m, ngàythứ ba hơn ngày thứ nhất 2m Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân

ấy sửa chữa được bao nhiêu mét đường sắt?

Hiểu vấn đề: Phân tích bài toán, ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 2 Lập kế hoạch: Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ

hai, số mét của ngày thứ ba Từ đó ta tìm được đáp số của bài toán

Thực hiện kế hoạch: tương tự như bài toán 1, ta sẽ thiết lập được

bài giải như sau:

Bài giải:

Ngày thứ hai sửa chữa được là:

15 + 1 = 16 (m)Ngày thứ ba sửa chữa được là:

15 + 2 = 17 (m)

Cả ba ngày sửa chữa được là:

15 + 16 + 17 = 48 (m)Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là:

48 : 3 = 16 (m)

Đáp số: 16 ngày.

Ta có thể giải bài toán bằng cách sau đây:

Cả ba ngày sửa chữa được là:

15 x 3 + 1 + 2 = 48 (m)Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là:

48 : 3 = 16 (m)

Nhìn lại vấn đề: Bước này chúng ta cũng sẽ kiểm tra tính chính

xác của các kết quả vừa nhận được như các bài toán trên

3.2.2 Dự đoán và kiểm tra (Guessing and checking)

Dự đoán là đoán trước tình hình, sự việc có thể diễn ra trongtương lai Dự đoán trong toán học là khả năng đoán được phươngpháp thực hiện, kết quả mà một bài toán có thể xảy ra Giống nhưPolya đã từng nói, "Toán học trong việc thực hiện bao gồm những dựđoán." Nếu lần đoán đầu tiên của bạn là sai, nó có thể dẫn đến một dựđoán tốt hơn Ngay cả khi dự đoán không đưa ra câu trả lời đúng, bạn

có thể tăng hiểu biết của mình về vấn đề và có ý tưởng để giải quyết

nó Cách tiếp cận đoán và kiểm tra đặc biệt thích hợp cho học sinhtiểu học vì nó đặt nhiều vấn đề trong tầm tay của họ

a Vấn đề

Bài toán: Tổng khoảng cách từ thị trấn A đến thị trấn D là 390

dặm Dự đoán khoảng cách từ A đến B sao cho khoảng cách từ A đến

B lớn hơn 10 dặm so với từ B đến C và khoảng cách từ B đến C cũnglớn hơn 10 dặm so với từ C đến D (giả sử A, B, C, D cùng nằm trênmột đường thẳng)

Bước 1: Hiểu vấn đề

Có một vài thông tin trong bài toán này Chúng ta hãy vẽ một

sơ đồ để hiểu vấn đề này rõ hơn Đầu tiên, các thị trấn này nằmtrên cùng một đường thẳng và chúng được minh họa bằng cácđiểm A, B, C và D như được thể hiện trong (a) Tiếp theo,khoảng cách từ A đến B lớn hơn 10 dặm so với từ B đến C, vì vậychúng ta có thể di chuyển điểm B đến gần hơn điểm C; khoảngcách từ B đến C cũng lớn hơn 10 dặm so với từ C đến D, vì vậyđiểm C có thể được di chuyển đến gần hơn điểm D, như tronghình (b) Cuối cùng, khoảng cách từ A đến D được cho là 390dặm Vấn đề của bài toán là khoảng cách từ A đến B dài baonhiêu dặm?

Bước 2: Tạo một kế hoạch

Phương pháp giải quyết vấn đề này là thực hiện một dự đoánhợp lý và sau đó sử dụng kết quả để thực hiện dự đoán tốt hơn.Nếu bốn thị trấn được đặt cách nhau không kém, như trong hình(a), khoảng cách giữa mỗi thị trấn sẽ là 130 dặm (390: 3) Tuynhiên, khoảng cách từ thị trấn A đến thị trấn B là lớn nhất Vìvậy, chúng ta hãy bắt đầu với một đoán 150 dặm cho khoảngcách từ A đến B Câu hỏi đặt ra: trong trường hợp này, khoảngcách từ B đến C và C đến D là bao nhiêu? (với dự đoán này,khoảng cách tương ứng từ B đến C sẽ là 140 và từ C đến D sẽ là

130, tổng khoảng cách từ A đến D sẽ lên tới 420 dặm)

Bước 3: Thực hiện kế hoạch

Sử dụng dự đoán là 150 dặm cho khoảng cách từ A đến B tạo

ra tổng khoảng cách từ A đến D lớn hơn 390 Nếu khoảng cách

từ A đến B giảm xuống còn 145 dặm thì khoảng cách B đến C là

135 dặm và khoảng cách C đến D là 125 dặm Tổng các khoảng

cách này là 405, vẫn còn quá lớn Một câu hỏi tiếp theo: điều gì

sẽ xảy ra nếu chúng ta sử dụng dự đoán 140 cho khoảng cách từ

A đến B? (trong dự đoán này, khoảng cách tương ứng từ B đến

C là 130 dặm và từ C đến D là 120 dặm, tổng khoảng cách từ Ađến D sẽ đúng là 390 dặm)

Bước 4: Nhìn lại vấn đề

Một trong những lý do để xem xét lại vấn đề là tìm hiểu cácgiải pháp hoặc các cách tiếp cận khác nhau Ví dụ, có thể bạn đãnhận thấy rằng ở lần đoán đầu tiên (150 dặm từ A đến B) tạo ramột khoảng cách 420 dặm, hơn 30 dặm so với dữ kiện đề bài.Câu hỏi cuối cùng: cách thức quan sát và dự đoán đã được thểhiện như thế nào trong bài toán trên? (Bài toán sử dụng kỹ thuậtthử - sai, ta cứ giảm hoặc tăng 10 dặm qua các lần đoán để tìm

ra kết quả chính xác nhất Nếu khoảng cách giữa A và B, B và

C, C và D được giảm 10 dặm so với lần đoán đầu tiên thìkhoảng cách không chính xác 420 dặm sẽ được giảm về đúngvới khoảng cách 390 dặm Từ đó ta tìm được khoảng cách giữathị trấn A và thị trấn B là 140 dặm.)

b Phương pháp dự đoán, kiểm tra và nghệ thuật dạy học của giáo viên Nhật Bản.

Ở Nhật Bản, ngay từ ngày đầu tiên, giáo viên phải nhấn mạnhđiều họ muốn ở học sinh không phải là trả lời đúng mà là thểhiện suy nghĩ của mình Yukiko Asami-Johansson, nhà nghiêncứu Nhật Bản tại Đại học Gavle (Thụy Điển) chia sẻ trênwebsite trường về cách người Nhật cải thiện khả năng của họcsinh ở môn Toán Đó là, tôn trọng cách nghĩ của học sinh

Người Nhật quan niệm kết quả học tập sẽ thay đổi tích cựcnhờ kỹ năng giải quyết vấn đề Giáo viên lựa chọn các bài toánphù hợp với nội dung bài học và đoán cách học sinh sẽ giảichúng Khi bài toán được đưa ra, thầy cô không giải mẫu từ đầu

mà để học sinh tự mày mò Từng em tìm cách giải theo ý mình,sau đó làm việc theo nhóm Học sinh sẽ nhận ra việc dự đoándẫn lối suy nghĩ đi theo hướng hợp lý Bên cạnh đó, khi đoáncâu trả lời, các em sẽ tò mò muốn biết mình làm đúng hay sai Điều quan trọng là mỗi giáo viên ở Nhật Bản lên kế hoạch cụthể cho các bài học và chuẩn bị bài toán thích hợp ngay từ ngày

đầu tiên của năm học Với một bài toán, họ đánh giá, cung cấpmột số phương pháp giải khả thi, lôi kéo được sự tham gia của

cả lớp và có thể nêu một số ví dụ về lỗi dễ mắc phải Giáo viênphải liên tục nhấn mạnh: “Điều tôi muốn các em làm khi giảitoán là thể hiện cách nghĩ của mình”

Trở lại với phương pháp dự đoán và kiểm tra, đây là mộtphương pháp giải Toán hay Phương pháp này còn có tên gọi khác làphương pháp thử - sai Nhiều người nghĩ rằng việc dự đoán kết quảcủa bài toán thường là hành vi mò mẫn, phản logic đối với Toán học.Tuy nhiên, nếu hiểu một cách chính xác, dự đoán phải bắt nguồn từnhững căn cứ nhất định của nó chứ không hoàn toàn là những hànhđộng mò mẫn số liệu Điều này sẽ được chứng minh rõ hơn qua một

số bài tập ở phần tiếp theo Bản chất của phương pháp thử - sai là dựatrên cơ sở “hiểu” bài toán, người ta xử lý các dữ kiện, đi tìm các mốiliên hệ có thể có và đưa ra ý tưởng tiếp cận bài toán Tiếp theo, các ýtưởng này được thử và người giải cố gắng phát triển thành các phương

án (các phép thử) có khả năng để đi đến lời giải Nếu phép thử này sai,người giải phải quay trở lại bài toán để thêm một lần nữa và lặp lại quátrình vừa nêu Có thể phân tích phương pháp này thành các bước sau: Bước 1- Thử (Trial): Triển khai thử một giả thuyết được xem là cótriển vọng

Bước 2- Sai (Error): Sau khi thử triển khai giả thuyết đã chọn màkết quả thu được không như ý, hay không đạt mục tiêu đề ra, chuyểnqua bước tiếp theo

Bước 3- Phân tích: Phân tích tìm hiểu ngọn ngành nguyên nhândẫn đến cái sai

Bước 4- Sửa sai: Xây dựng một giả thuyết mới có khả năng đạtđược mục tiêu mà không vấp phải những cái sai của giả thuyết trước Bước 5- Lặp lại bước thử (Trial) và các bước tiếp theo lần nữanhưng với giả thuyết mới như một chu kỳ mới cho đến khi đạt đượcmục tiêu

Phương pháp thử - sai trở nên cần thiết khi người ta không thể tìmđược cách giải quyết nào khác có hiệu quả, minh bạch và logic hơn.Điều đó đúng không chỉ trong Toán học mà còn đối với nhiều trườnghợp khác trong đời sống thực tiễn của học sinh Thực chất củaphương pháp thử và sai là cơ chế của sự tiến hóa và phát triển cả

trong tự nhiên và xã hội loài người cho đến nay, trên cơ sở chọn lọc

tự nhiên hay có ý thức để giữ lại cái tốt nhất, thích nghi nhất từ sự đadạng Do đó, dạy Toán bằng cách cho học sinh thử - sai của các giáoviên Nhật Bản nêu trên là một gợi ý hay về phương pháp dạy học chogiáo viên Việt Nam Nó có tính ứng dụng cao nên cần được áp dụngrộng rãi trong dạy học Toán phát triển tư duy ở nước ta, nhất là đốivới học sinh tiểu học

c Một số bài toán ở tiểu học sử dụng phương pháp dự đoán và kiểm tra.

Bài toán 1: Tham gia hội khỏe Phù Đổng huyện có tất cả 222 cầu

thủ thi đấu hai môn: bóng đá và bóng chuyền Mỗi đội bóng đá có 11người Mỗi đội bóng chuyền có 6 người Biết rằng có cả thảy 27 đội.Hãy tính số đội bóng đá, số đội bóng chuyền

Bước 1: Hiểu vấn đề

Bài toán cho ta các tham số sau: tổng số người tham gia thi đấu là

222 người, một đội bóng đá có 11 người, một đội bóng chuyền có 6người, tổng số đội là 27 đội Ẩn số của bài toán cần tìm là số đội bóng

đá và số đội bóng chuyền

Bước 2: Lập kế hoạch

Với bài toán này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đại số,nghĩa là gọi x là số đội bóng đá, y là số đội bóng chuyền, từ đó tahoàn toàn có thể thiết lập một hệ phương trình hai ẩn như sau:

Giải hệ phương trình trên bằngphương pháp thế, ta dễ dàng tìm được số đội bóng đã là 12, số đội

11x + 6y = 222

x + y = 27

bóng chuyền là 15 Tuy nhiên, ta cần đến một phương pháp phù hợpvới học sinh tiểu học hơn để giải bài toán này và phương pháp dựđoán và kiểm tra là một trong những lựa chọn có hiệu quả

Bước 3: Thực hiện kế hoạch

Giả sử có 7 đội bóng đá, số đội bóng chuyền sẽ là:

và 20 đội bóng chuyền trong dự đoán ban đầu làm cơ sở Việc tìm ra

số đội bóng đá và bóng chuyền phải tuân thủ nguyên tắc bảo toàntổng số lượng người tham gia thi đấu và tổng số đội Ta tiến hànhphân tích:

Sự chênh lệch giữa số người trong một đội bóng đá và bóngchuyền là: 11 – 6 = 5 (người) Nghĩa là nếu ta tăng số đội bóng đá lên

1 đội và giảm số đội bóng chuyền xuống 1 đội thì tổng số người thamgia thi đấu sẽ tăng lên 5 người Nếu cứ thay đổi như thế thì bài toán

có khả năng dẫn đến số người tham gia thi đấu sẽ được tăng từ mức

197 người lên đến 222 người

Trong dự đoán ban đầu, ta có tổng số lượng người chênh lệch là:

222 – 197 = 25 (người) Như vậy lần thứ hai ta sẽ dự đoán số độibóng đá cần tăng lên là 5 đội và số đội bóng chuyền cần giảm xuống

là 5 đội, do sự chênh lệch của hai đội là 5 người nên việc tăng giảm 5đội như trên sẽ làm cho tổng số người tham gia thi đấu tăng lên: 5 5

= 25 (người), đúng bằng con số cần thay đổi

Tóm lại, số đội bóng đá là: 7 + 5 = 12 (đội); số đội bóng chuyền là:

20 – 5 = 15 (đội)

Bước 4: Nhìn lại vấn đề

Kiểm tra kết quả của bài toán: 12 11 + 15 6 = 222 (người) là chínhxác Ta thấy lần dự đoán thứ hai kết quả của bài toán hoàn toàn dựatrên cơ sở phân tích cái sai của lần đoán đầu tiên, đó là phép thử và có

sự kiểm tra để tìm ra phương án dự đoán phù hợp hơn Đây cũngchính là đặc điểm chính của phương pháp này: dự đoán kết hợp vớikiểm tra, số lần dự đoán có thể là một, hai, hoặc nhiều lần tùy thuộcvào khả năng phân tích của người giải; đặc điểm này sẽ giúp ta phânbiệt được với phương pháp lập bảng (thống kê) là liệt kê hết tất cả cácphương án và lựa chọn, sẽ được trình bày rõ hơn ở phần sau

Bài toán 2: Số gà nhiều hơn số thỏ là 28 con, số chân gà nhiều hơn

số chân thỏ là 40 chân Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con thỏ? Trong bài toán này, chúng ta sẽ giải bài toán không theo 4 bước rõràng của Polya mà sẽ tích hợp chúng trong một bài giải như sau:

Dự đoán có 10 con thỏ, số chân gà sẽ là: 10 + 28 = 38 (con)

Số chân gà là: 38 2 = 76 (chân)

Số chân thỏ là: 10 4 = 40 (chân)

Hiệu số chân gà và chân thỏ là: 76 – 40 = 36 (chân), ít hơn 4 chân

so với dữ kiện đề cho Vì thực tế số chân gà hơn số chân thỏ tới 40chân nên ta phải tìm cách thêm vào hiệu trên: 40 – 36 = 4 (chân)

Ta thấy nếu cùng bớt một con gà và một con thỏ thì hiệu số gà và

số thỏ không thay đổi song hiệu số chân gà và số chân thỏ sẽ tăng lên:

4 – 2 = 2 (chân)

Để hiệu số chân tăng lên 4 chân thì số thỏ và số gà phải bớt đi là:

4 : 2= 2 (con)

Vậy số thỏ là: 10 – 2 = 8 (con); số gà là: 38 – 2 = 36 (con)

3.2.3 Tạo bảng (Making a table)

Khi giải quyết một vấn đề, người ta có thể liệt kê một số hoặc tất cảcác trường hợp có thể xảy ra và kiểm tra chúng Để thuận tiện hơnvới thao tác này, việc tạo bảng thường được cân nhắc sử dụng nhiềuhơn vì nó có thể xây dựng một danh sách khá rõ ràng để ta dễ quansát cũng như phân tích

a Vấn đề

Sue và Ann cùng kiếm được một số tiền như nhau mặc dù ngườinày làm việc nhiều hơn người kia 6 ngày Nếu Sue kiếm được 36đôla mỗi ngày và Ann kiếm được 60 đôla mỗi ngày Hỏi mỗi ngườilàm việc bao nhiêu ngày?

Bước 1: Hiểu vấn đề

Chúng ta thử đặt ra một vài câu hỏi để hiểu hơn về vấn đề: Sue

kiếm được bao nhiêu tiền trong 3 ngày? Có phải số tiền Sue kiếmđược trong 3 ngày bằng với số tiền Ann kiếm được trong 2 ngàykhông? Và ai phải làm việc nhiều ngày hơn?

Ta có thể tính được số tiền Sue làm trong 3 ngày là 108 đôla, sốtiền Ann kiếm được chỉ trong 2 ngày là 120 đôla, nhiều hơn số tiềnSue kiếm được trong 3 ngày Do đó, ta có thể dự đoán người phải làmviệc nhiều hơn 6 ngày so với người kia để được cùng một số tiềnchính là Sue

Bước 3: Thực hiện kế hoạch

Có ba số trong cột của Sue là số tiền bằng với số tiền trong cột củaAnn Sue phải mất 15 ngày để kiếm được 540 đôla Câu hỏi cuối:Mất bao nhiêu ngày để Ann kiếm được 540 đôla và sự chênh lệch sốngày mà đề bài yêu cầu là bao nhiêu?

Bảng thống kê dưới đây đã giúp chúng ta trả lời được câu hỏi ởbước 2: số ngày kiếm được 180 đôla của Sue là 5 ngày, của Ann là 3ngày Khoảng cách giữa số ngày là 2 không tương ứng với dữ kiện

mà đề cho Tiếp theo là số ngày để kiếm được 540 đôla của Ann là 9,của Sue là 15, hiệu giữa hai số ngày là 6, thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bước 4: Nhìn lại vấn đề

Ta có thể nhận thấy cứ cách 5 ngày Sue kiếm được 180 đôla

và cứ 3 ngày Ann kiếm được 180 đôla, từ đó ta tìm được kết quảchính xác là 540 đôla và số ngày mỗi người cần làm để đạt đượckhoảng tiền này Qua đó ta thấy việc lập bảng là quá trình liệt kêtất cả các khả năng có thể xảy ra dựa trên một số dữ kiện nào đó

và sau đó tiến hành lựa chọn Nó khác với phương pháp dự đoán

và kiểm tra là có sự tham gia cao độ hơn của thao tác tư duy tìm

Số ngày Số tiền của Sue Số tiền của Ann

60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660

13 468 780

14 504 840

15 540 900

ra quy tắc để lựa chọn phương án chính xác nhất cho lần đoán

kế tiếp Phương pháp lập bảng thống kê cho ta một cái nhìn tổngquát để chọn lựa nhưng nó cũng tồn tại những hạn chế trong khảnăng liệt kê hết tất cả các phương án, nó chỉ dễ dàng đối với mộtdãy số liệu ngắn, tương đối; đối với hàng loạt các phương án cầnliệt kê để kiểm tra, người ta cần dùng tới các chức năng của máytính như công cụ thống kê và tính toán Excel…

b Một số bài toán ở tiểu học sử dụng phương pháp tạo bảng

Phương pháp tạo bảng nêu trên tương đồng với phương pháp thử chọn được dùng để giải các bài toán về cấu tạo số tự nhiên, các bàitoán về phân số và số thập phân, bài toán có lời văn, bài toán có nộidung hình học và bài toán về suy luận chuyển động phổ biến trong hệthống các phương pháp giải toán hiện nay ở các trường tiểu học Phương pháp thử chọn được dùng để giải các bài tập về tìm một sốkhi số đó đồng thời thỏa mãn một số điều kiện cho trước Khi giải bàitoán bằng phương pháp thử - chọn, chúng ta thường tiến hành haibước:

Bước 1: Liệt kê

Trước hết ta xác định các số thỏa mãn các điều kiện mà đề yêu cầu(tạm bỏ qua một số điều kiện chưa cần thiết) Để lời giải ngắn gọn vàchặt chẽ, ta cần cân nhắn lựa chọn điều kiện để liệt kê sao cho các sốliệt kê theo điều kiện này là ít nhất

Bước 2: Kiểm tra và kết luận

Lần lượt kiểm tra mỗi số vừa được liệt kê ở bước 1 có thỏa mãncác điều kiện còn lại mà đề bài yêu cầu hay không? Số nào thỏa mãnthì ta chọn, số nào không thỏa mãn thì ta loại Bước kiểm tra và kếtluận thường được thể hiện trong một bảng

Bài toán 1: Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số

Bài toán 2: Tìm một phân số biết rằng tích của mẫu số và tử số

của phân số đó bằng 100 và thương của mẫu số và tử số bằng 4

Cách 1: Theo đề bài phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số Ta liệt kê

các phân số có tích của tử số và mẫu số bằng 100 và kiểm tra điềukiện mẫu số bằng 4 lần tử số để rút ra kết luận

Ta nhận xét: Phân số cần tìm có mẫu số lớn hơn tử số Vậy những

phân số thỏa mãn điều kiện và có tích của tử số và mẫu số bằng 100

Vậy phân số cần tìm là 5/20.

Cách 2: Liệt kê các phân số có mẫu số gấp 4 lần tử số Sau đó

kiểm tra điều kiện tích của tử số và mẫu số bằng 100 để lựa chọn

Ta thấy nếu tử số lớn hơn 5 thì mẫu số lớn hơn 20, khi đó tích của

tử và mẫu số sẽ lớn hơn 100 Như vậy các phân số thỏa mãn điềukiện trên là: 1/4, 2/8, 3/12, 4/16, 5/20 Ta có bảng sau:

Bài toán 3 (dạng toán có lời văn): Một tốp thợ dùng 8 ống nhựa

gồm 2 loại: loại dài 8m và loại dài 6m để lắp một đoạn đường ống dài54m Hỏi tốp thợ đó phải dùng mỗi loại mấy ống để khi lắp khôngphải cắt ống nào?

Số đoạn ống dài 8m dùng để lắp đoạn đường có thể là 1, 2, 3, 4, 5,

6 nhưng không thể từ 7 trở lên vì tổng chiều dài đoạn ống sẽ lớn hơn54m Ta có bảng sau:

Loại 8m Loại 6m Tổng chiều dài Kết luận

3 5 54 = 54 Chọn

Vậy tốp thợ cần 3 ống loại 8m và 5 ống loại 6m

3.2.4 Sử dụng mô hình (Using a model)

a Lý luận về mô hình trong toán tiểu học

Mô hình là một phương tiện dạy học mô phỏng các sự vật, hiệntượng trong thực tế khách quan, nó có thể là các hình khối, hình vẽhình học trên giấy được dùng để hình ảnh hóa vấn đề nhằm giúp họcsinh dễ hiểu và giải được các bài toán, thậm chí học sinh còn có thểphát hiện ra quy luật của bài toán từ những mô hình ấy để tính toánnhanh nhất Mỗi mô hình có nét đặc thù riêng, phản ánh đối tượng

mà nó thay thế Tuy nhiên xét khái quát, mọi mô hình đều có một sốđặc trưng chung:

Thứ nhất: Bất kì một sự vật hay một hiện tượng nào đó tồn tại với

tư cách là mô hình, thì bao giờ cũng là vật thay thế, vật đại diện củacái gì? Hiện tượng nào? Nói tới mô hình trước hết phải trả lời câu hỏi

mô hình của cái gì?

Thứ hai: Mô hình bao giờ cũng phản ánh các dấu hiệu bản chất,

các quan hệ có tính phổ biến, quy luật của sự vật mà nó thay thế

Thứ ba: Mô hình vật chất (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ…) bao giờ cũng

có tính trực quan về đối tượng mà nó thay thế, đại diện Nói cách

khác, mô hình bao giờ cũng phản ánh một cách trực quan những dấuhiệu bản chất của đối tượng mà nó thay thế.

Thứ tư: Mô hình mang tính khái quát, mô hình diễn đạt một cách

tường minh các dấu hiệu bản chất, đồng thời gạch bỏ các dấu hiệuthứ yếu, không bản chất của đối tượng Vì vậy, mô hình không chỉ đạidiện cho một đối tượng cụ thể mà có thể đại diện cho một nhóm, mộtlớp sự vật, hiện tượng Đây chính là khái quát của mô hình

Tuỳ theo mỗi môn học, bài học mà có các dạng mô hình khácnhau Mô hình trở thành dụng cụ trực quan giúp cho học sinh hìnhthành kiến thức mới hay thực hành những nội dung đã học Đồngthời mô hình giúp cho học sinh có cách nhìn tương đối chính xác vềđối tượng khi xử lý vấn đề Ở tiểu học, môn toán là một môn họctương đối khó và khô khan, do đó mô hình toán học không chỉ làphương tiện giúp cho học sinh quan sát, thực hiện nhằm lĩnh hội trithức, rèn luyện kỹ năng mà nó còn có tác dụng khơi dậy sự hứng thútrong học tập, tạo cảm giác thoải mái cho học sinh trong giờ học Ởmột góc độ nào đó, hành động trên các đồ vật, sự kiện bên ngoài còn

là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy

b Vấn đề

Bài toán: Tìm một phương pháp thuận tiện nhất để tính tổng

các số nguyên từ 1 đến 100

Bước 1: Hiểu vấn đề

Thử đặt ra một vấn đề dễ dàng hơn: nếu số cuối cùng của dãy

số là 8 thì ta có tổng các số nguyên dương từ 1 đến 8 được biểudiễn như sau: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 Tương tự, nếu sốcuối cùng của dãy là 100 thì ta lại có tổng được biểu diễn: 1 + 2

+ 3 +…+ 99 + 100 Nhưng nếu vậy thì tổng số từ 1 đến 8 và từ 1đến 100 là bao nhiêu? Có nhiều cách để tính tổng các dãy trên.

Ở tiểu học hiện nay, giáo viên thường hướng dẫn học sinh cácquy tắc để tính tổng của các dãy số liên tiếp cách đều Cụ thể,quá trình ấy được thực hiện qua hai thao tác:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy:

(Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy): khoảngcách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy:

(Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số sốhạng có trong dãy : 2

Như vậy, số số hạng của dãy thứ nhất là 8, của dãy thứ 2 là

100 Tổng của dãy thứ nhất là: (8 + 1) 8 : 2 = 36; tổng của dãythứ 2 là (100 + 1) 100 : 2 = 5050

Tuy nhiên ở phần này, chúng ta sẽ đề cập đến một phươngpháp khác và sử dụng nó để giải bài toán tính tổng của các dãytrên, đó là phương pháp sử dụng mô hình

Bước 2: Lập kế hoạch

Mô hình (a) phía dưới bao gồm 8 cột, các cột có số lượng ôvuông tăng dần từ 1 đến 8 từ trái sang phải trông giống như mộtcái cầu thang; ở cột thứ nhất có 1 ô vuông, hình thứ hai có 2 ôvuông, tương tự cột thứ 8 có 8 ô vuông Tổng số ô vuông của cái

“cầu thang” ô vuông nêu trên cũng chính là tổng của dãy số tựnhiên liên tiếp 1 + 2 + …+ 8 Ta nhận xét, nếu sử dụng hai bảnsao của hình (a) và đặt chúng chồng khít lên nhau như hình (b),

ta sẽ được một hình chữ nhật có chiều dài là 9 và chiều rộng là

8 (1)

Tương tự như thế ta cũng sẽ lập được mô hình của tổng từ 1đến 100, khi đó hai bản sao của của “cầu thang ô vuông” từ 1

đến 100 sẽ tạo thành một hình chữ nhật có chiều rộng là 100 vàchiều là 101 (2)

Bước 3: Thực hiện kế hoạch

Từ mô hình trên, ta dễ dàng tìm được tổng số ô vuông của (1)

là 72 (8 ; nửa của tổng số đó “36” cũng chính là tổng của dãy số

từ 1 đến 8 cần tìm Tương tự, diện tích của hình chữ nhật (2) là

10100 nên tổng của dãy số từ 1 đến 100 cần tìm sẽ là 10100/2 =5050

Bước 4: Nhìn lại vấn đề

Cũng bài toán trên, Karl Gauss – một nhà toán học người Đức

đã có thể giải nhanh trong vài giây khi ông còn là một học sinhtiểu học Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo

ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3+ 98 = 101 và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050 Đó cũng là

cách tính nhanh tổng từ 1 đến 100 ngoài hai phương pháp trên

mà nhóm tác giả muốn đề cập

c Một số bài toán ở tiểu học sử dụng phương pháp mô hình

Bài toán: Lớp 4A làm một bài kiểm tra toán gồm có 3 bài.

Giáo viên chủ nhiệm lớp báo cáo với nhà trường rằng: cả lớpmỗi em đều làm được ít nhất một bài, trong lớp có 20 em giảiđược bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ hai, 10 emgiải được bài toán thứ ba, 5 em giải được bài toán thứ hai và thứ

ba, 2 em giải được bài toán thứ nhất và thứ hai, 6 em giải đượcbài toán thứ nhất và thứ ba, có mỗi một em được 10 điểm vì đãgiải được cả ba bài Hỏi rằng lớp học đó có bao nhiêu em tất cả?

Bước 1: Hiểu bài toán

sau:

Trên đây là sơ đồ Venn mô phỏng các dữ liệu của bài toán

Ba bài toán được mô phỏng bằng 3 hình tròn, phần giao nhaucủa các hình tròn giao nhau biểu thị số em giải được 2 hoặc 3bài toán

em làm được cả hai bài 1 và 3, do 1 ô đã điền 1 nên ô còn lại sẽ

là 5 Như vậy ta cần phải tìm số em chỉ làm được một bài trong

ba bài toán trên

Bước 3: Thực hiện kế hoạch

Qua sơ đồ trên, ta hoàn toàn tìm được số em chỉ làm đượcmột trong 3 bài

Ta có 20 em làm được bài toán một (bao gồm những em chỉlàm được một bài và những em làm được hai bài trở lên) nên số

em chỉ làm được bài một sẽ là: 20 – 5 – 1 – 1 = 13 (em)

Tương tự, số em chỉ làm được bài toán hai sẽ là: 14 – 4 - 1 – 1

= 8 (em) Số em chỉ làm được bài toán ba sẽ là: 10 – 5 – 1 – 4 =

0 (em)

Do đó, tổng số học sinh của lớp có là: 5 + 1 + 1 + 4 + 13 + 8+ 0 = 32 (em)

Bước 4: Nhìn lại vấn đề

Ta nhận thấy việc sử dụng giản đồ Venn (mô hình, sơ đồ) nhưtrên là phương pháp dễ dàng để giải quyết các bài toán chứa quánhiều sự giao thoa và rối rắm giữa các số liệu như vậy Sử dụngphương pháp mô hình là quá trình làm cho vấn đề từ phức tạptrở nên đơn giản hơn bao giờ hết

3.2.5 Tính ngược từ cuối (Working backward)

a Khái niệm phương pháp tính ngược từ cuối

Phương pháp tính ngược từ cuối là một trong những phương

pháp hữu hiệu và được dùng rất nhiều để giải một bài toán có

tính logic trong nội hàm của các dữ liệu đã cho Đây là phương

pháp mà khi giải ta phải đi ngược từ các dữ liệu ở cuối của đề bài toán để tìm ra đại lượng ban đầu Khi giải toán bằng

phương pháp tính ngược từ cuối, ta thực hiện liên tiếp các phéptính ngược với các phép tính đã cho trong đề bài Kết quả tìmđược trong bước trước chính là thành phần đã biết của phép tínhliền sau nó Sau khi thực hiện hết dãy các phép tính ngược, tanhận được kết quả cần tìm Cơ sở của phương pháp này chính làviệc đi tìm các thành phần chưa biết trong một phép tính Chẳnghạn, tìm một số biết rằng nếu lấy số đó trừ đi 5 ta sẽ được kếtquả là 10 Ở đây số phải tìm chính là số bị trừ chưa biết trong

phép trừ: x – 5 = 10 Hoặc với những bài toán có lời văn, ví dụnhư, cô giáo có một số kẹo, cô chia cho các bạn nam 20 cái, chiacho các bạn nữ 15 cái và cô giáo còn lại 10 cái kẹo Hỏi lúc đầu

cô giáo có bao nhiêu cái kẹo? Phương pháp tính ngược từ cuối

sẽ được biểu hiện trong quá trình tìm hiểu mối liên hệ giữa cáccon số 20, 15, 10 và giải nó theo chiều ngược Ở đây, chiềutuyến tính của bài toán sẽ là số kẹo bớt đi 20, bớt đi 15, còn lại

10 và như vậy, bài toán sẽ được giải như sau, lấy 10 + 15 + 20 =

45 (45 là số kẹo ban đầu của cô giáo) Những bài toán dạng nàyrất đa dạng và phong phú, ta có thể áp dụng dạy cho học sinh từlớp 1 đến lớp 5 ở bậc tiểu học Những bài toán giải được bằngphương pháp tính ngược từ cuối thường cũng giải được bằngphương pháp đại số hoặc phương pháp ứng dụng đồ thị Việchướng dẫn học sinh nắm được phương pháp giải các bài toándạng này là một việc làm hết sức cần thiết đối với mỗi giáo viêntiểu học, đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi

b Một số bài toán bài toán tiêu biểu ở tiểu học và phương pháp tính ngược từ cuối

Các bài toán có thể vận dụng phương pháp tính ngược từ cuối

đã xuất hiện khá sớm trong chương trình Toán ở tiểu học, đượcbiểu hiện ở nhiều hình thức khác nhau Đơn cử như hai mẫu bàitoán điền vào ô trống chữ số thích hợp (trang 45, SGK Toán 1)dưới đây là một ví dụ:

3 = + 1; 1 + = 2

Các dữ liệu đã biết trong hai bài toán trên gồm tổng (3; 2), sốhạng đã biết (1; 1) và vấn đề chưa biết Các bài toán trênkhông đi theo chiều tuyến tính nhằm phát huy tính tư duy trừutượng của học sinh lớp 1, từ đó học sinh buộc phải suy luậntrong mối liên hệ của phương trình và đoán kết quả Thật ra, khivận dụng phương pháp này để giải các bài toán đơn giản nhưthế, học sinh sẽ phải kết hợp với phương pháp đoán và kiểm trabởi vì với các bài toán ở chương đầu Sách giáo khoa Toán lớp 1,các em chưa được dạy về các quy tắc để xử lý các phép toán,phương pháp tính ngược từ cuối vẫn còn mờ nhạt và chỉ dừnglại ở mức độ giới thiệu