Tìm điều Kiện để Hàm Số Bậc Ba đạt Cực Trị (hoặc đạt ... - Tự Học 365

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba đạt cực trị (hoặc đạt cực tiểu hoặc đạt cực đại) tại điểm x=x0. 

Phương pháp giải cực trị hàm bậc ba tại điểm

Bài toán 1: Tìm $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Điều kiện để  hàm số đạt cực trị tại điểm $x={{x}_{0}}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}>0\text{    }  \\   y'\left( {{x}_{0}} \right)=0  \\\end{matrix} \right..$

Bài toán 2: Tìm $m$ để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm $x={{x}_{0}}.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}$ ta suy ra $y'\left( {{x}_{0}} \right)=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số $m$.

Với giá trị của tham số $m$ tìm được ta tính $y''\left( {{x}_{0}} \right)$ để tìm tính chất của điểm cực trị và kết luận.

Bài tập tìm điều kiện để hàm bậc 3 đạt cực trị tại điểm x=x0

Bài tập 1: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx-2.$ Giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2$ là A. $m=-4.$  B. $m=4.$ C. $m=2.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-4x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=4-3m>0\text{    }  \\   y'\left( 2 \right)=4+m=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=-4.$ Chọn A.

Bài tập 2: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+mx+2.$ Giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1$ là A. $m=-2.$ B. $m=-1.$ C. $m=1.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'={{x}^{2}}+2x+m.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=-1\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   \Delta {{'}_{y'}}=1-m>0\text{    }  \\   y'\left( -1 \right)=m-1=0\text{   }  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\varnothing .$ Chọn D.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=2{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( m+9 \right)x-1.$ Biết hàm số có một cực trị tại $x=2$. Khi đó điểm cực trị còn lại của hàm số là A. 1. B. 3. C. $-1.$  D. $-3.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=6{{x}^{2}}-6mx+m+9.$ Cho $y'\left( 2 \right)=24-12m+m+9=0\Leftrightarrow m=3.$

Với $m=3\Rightarrow y'=6{{x}^{2}}-18x+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=1  \\\end{matrix}. \right.$ Chọn A.

Bài tập 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+nx+1\left( C \right).$ Giá trị của $2m+n$ biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( 2;7 \right)$ là: A. 21. B. 22. C. 23. D. 20.

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}-2mx+n\Rightarrow y'\left( 2 \right)=-4m+n+12=0\Leftrightarrow 4m-n=12$

Mặt khác $A\left( 2;7 \right)\in \left( C \right)$ nên $x=2\Rightarrow y=7$ nên ta có $8-4m+2n+1=7\Leftrightarrow 4m-2n=2$

Khi đó $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-11x+10\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=2  \\   x=\frac{5}{3}  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow $ Hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy $m=\frac{11}{2};n=10\Rightarrow 2m+n=21.$ Chọn A.

 

Bài tập 5: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+nx-2.$ Giá trị của $3m+n$ biết đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm $A\left( -1;4 \right)$ là: A. $-15.$  B. 15. C. $-\frac{37}{3}.$ D. Không tồn tại $m.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y'=3{{x}^{2}}+6mx+n.$ Cho $y'\left( -1 \right)=3-6m+n=0\Leftrightarrow 6m-n=3.$

Mặt khác đồ thị hàm số qua$A\left( -1;4 \right)$ nên $4=-1+3m-n-2\Leftrightarrow 3m-n=7$

Do đó $\left\{ \begin{matrix}   6m-n=3  \\   3m-n=7  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   m=\frac{-4}{3}  \\   n=-11  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-8x-11=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   x=-1  \\   x=\frac{11}{3}  \\\end{matrix} \right.$ (thỏa mãn có 2 điểm cực trị).

Chọn A.

Bài tập 6: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}\left( 2m-4 \right){{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}+4m+3 \right)x+1$ ($m$là tham số). Tìm $m$để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2.$ A. $m=1.$  B. $m=-2.$  C. $m=-1.$  D. $m=2.$

Lời giải chi tiết

$y'={{x}^{2}}-\left( 2m+4 \right)x+{{m}^{2}}+4m+3$

Để hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}=2$ thì \[{{2}^{2}}-\left( 2m+4 \right).2+{{m}^{2}}+4m+3=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1\]

Với $m=1$ thì $y'={{x}^{2}}-6x+8\Rightarrow y''=2x-6\Rightarrow y''\left( 2 \right)=-2<0\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực đại.

Với $m=-1$ thì $y'={{x}^{2}}-2x\Rightarrow y''=2x-2\Rightarrow y''\left( 2 \right)=2>0\Rightarrow {{x}_{0}}=2$ là điểm cực tiểu.

Vậy $m=1$ là điểm cần tìm. Chọn A.

Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-m+1 \right)x+1$ đạt cực đại tại $x=1.$ A. $m=-1.$ B. $m=1.$ C. $m=2.$ D. $m=-2.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'={{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-m+1;y''=2x-2m$

Để hàm số đạt cực đại tại $x=1$ thì $y'\left( 1 \right)={{m}^{2}}-3m+2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=1  \\   m=2  \\\end{matrix} \right..$

Với $m=1\Rightarrow y''\left( 1 \right)=0\Rightarrow x=1$ không phải điểm cực đại.

Với $m=2\Rightarrow y''\left( 1 \right)=-2<0\Rightarrow x=1$ là điểm cực đại của hàm số. Chọn C.

Bài tập 8: Cho hàm số $y=-18{{x}^{3}}+9\left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}+6\left( 2-3m \right)x+2019$ với$m$là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}.$ A. $m=2.$ B. $m=-1.$ C. $m=1.$ D. $m=-2.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=-54{{x}^{2}}+18\left( {{m}^{2}}+1 \right)x+6\left( 2-3m \right),y''=-108x+18\left( {{m}^{2}}+1 \right).$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{3}$ khi đó $y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Leftrightarrow -6+6\left( {{m}^{2}}+1 \right)+6\left( 2-3m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=2\text{  }  \\   m=-1  \\\end{matrix} \right..$

TH1: Với $m=-1\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ không phải điểm cực tiểu của hàm số.

TH2: Với $m=2\Rightarrow y'\left( \frac{1}{3} \right)=54>0\Rightarrow x=\frac{1}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số.

Suy ra với $m=2$ thỏa mãn đề bài. Chọn A.

Bài tập 9: Cho hàm số $y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+2.$ Giá trị của $m$để hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ là: A. $m=-1.$ B. $m=3.$ C. $\left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=3\text{  }  \\\end{matrix} \right..$               D. $\left[ \begin{matrix}   m=1\text{   }  \\   m=-3  \\\end{matrix} \right..$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=-3{{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}.$ Cho \[y'\left( -1 \right)=-3-2m+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}   m=-1  \\   m=3\text{  }  \\\end{matrix} \right..\]

Với $m=3\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x+6\Rightarrow y''\left( -1 \right)=12>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Với $m=-1\Rightarrow y''=-6x+2m=-6x-2\Rightarrow y''\left( -1 \right)=4>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1.$

Chọn C.

Bài tập 10: Cho hàm số $y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+1.$ Giá trị của $a+b$để hàm số đạt cực trị tại các điểm$x=1$ và $x=-2$ là: A. $\frac{-9}{2}.$  B. $\frac{9}{2}.$ C. $\frac{15}{2}.$ D. $\frac{-15}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2ax+b.$ Cho $\left\{ \begin{matrix}   y'\left( 1 \right)=3+2a+b=0\text{    }  \\   y'\left( -2 \right)=12-4a+b=0  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=\frac{3}{2}\text{ }  \\   b=-6  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow a+b=\frac{-9}{2}.$ Chọn A.

Bài tập 11: Cho biết hàm số $y=f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đạt cực tiểu tại điểm$x=1,f\left( 1 \right)=-3$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2. Tính giá trị của hàm số tại $x=-2.$ A. $f\left( -2 \right)=16.$  B. $f\left( -2 \right)=24.$ C. $f\left( -2 \right)=2.$ D. $f\left( -2 \right)=4.$

Lời giải chi tiết

Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b.$

Theo đề bài ta có $\left\{ \begin{matrix}   f'\left( 1 \right)=0\text{             }  \\   f\left( 1 \right)=-3\text{            }  \\   f\left( 0 \right)=2\text{              }  \\   f''\left( 1 \right)=6+2a>0  \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3+2a+b=0\text{    }  \\   1+a+b+c=-3  \\   c=2\text{                 }  \\   a>-3\text{               }  \\\end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   a=3\text{  }  \\   b=-9  \\   c=2\text{  }  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x+2$

$\Rightarrow f\left( -2 \right)=24.$ Chọn B.

Bài tập 12: [Đề thi thử nghiệm 2017] Biết $M\left( 0;2 \right),N\left( -2;2 \right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d.$ Tính giá trị tại điểm $x=-2$. A. $y\left( -2 \right)=2.$  B. $y\left( -2 \right)=22.$ C. $y\left( -2 \right)=6.$ D. $y\left( -2 \right)=-18.$

Lời giải chi tiết

Ta có $y'=3{{x}^{2}}+2bx+c.$

Hàm số đạt cực trị tại điểm $x=0;x=2\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( 0 \right)=c=0\text{           }  \\   y'\left( 2 \right)=12a+4b=0  \\\end{matrix} \right.(1)$

Lại có $M,N\in \left( C \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y\left( 0 \right)=d=2\text{             }  \\   y\left( 2 \right)=8a+4b+c+2  \\\end{matrix} \right.(2).$

Từ (1) và (2)$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0,d=2  \\   a=1,b=-3  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2.$ Do đó $y\left( -2 \right)=-18.$ Chọn D.

Bài tập 13: Biết đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có các điểm cực trị $E\left( 0;-4 \right)$ và $F\left( -1;-3 \right)$. Tính giá trị hàm số tại điểm $x=-2$. A. $y\left( -2 \right)=-8.$ B. $y\left( -2 \right)=-6.$ C. $y\left( -2 \right)=-4.$ D. $y\left( -2 \right)=-2.$

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$, ta có $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

Điểm $E\left( 0;-4 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( 0 \right)=0\text{  }  \\   y\left( 0 \right)=-4  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   c=0\text{    }  \\   d=-4  \\\end{matrix} \right.(1).$

Điểm $F\left( -1;-3 \right)$ là điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   y'\left( -1 \right)=0\text{  }  \\   y\left( -1 \right)=-3  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}   3a-2b=0\text{    }  \\   -a+b-4=-3  \\\end{matrix} \right.(2).$

Từ (1) và (2) suy ra $a=2,b=3,c=0,d=-4\Leftrightarrow y=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-4\Rightarrow y\left( -2 \right)=-8.$ Chọn A.