Tìm Giá Trị Lớn Nhất - Giá Trị Nhỏ Nhất Của Phân Số - Toán Lớp 6

HƯỚNG DẪN GIẢI CHUYÊN ĐỀ TOÁN 6: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA PHÂN SỐ

Trong chương trình toán lớp 6 phần số học: Chương Phân số rất quan trọng và khó học. Đặc biệt kiến thức này còn có trong đề thi kiểm tra 1 tiết, đề thi học kì lớp 6 nên học sinh lớp 6 phải học thật chắc chắn. Dưới đây, hệ thống giáo dục trực tuyến Vinastudy xin giới thiệu một vài ví dụ về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Mời quý phụ huynh, thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo !

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $B=\frac{1}{x-3}$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Cho phân số $P=\frac{1000}{100-x}$. Tìm số nguyên $x$ để P có giá trị lớn nhất.

Bài 3: Cho phân số $A=\frac{3-x}{x-1}$. Tìm giá trị nguyên $x$ để A có giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $D=\frac{1}{7-x}$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: Cho phân số $A=\frac{2x+3}{2x+1}$. Tìm số nguyên $x$ để A có giá trị lớn nhất.

Bài 6: Cho phân số $E=\frac{2x+1}{6x-3}$. Với $x\in Z$ , tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài 7: Cho phân số $D=\frac{2x-1}{x-3}$. Với $x\in Z$ , tìm giá trị lớn nhất của D .

Bài 8: Cho $A=\frac{x-13}{x+3}$. Tìm $x\in Z$ để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 9: Tìm số nguyên $x$ để phân số $B=\frac{2020-x}{2019-x}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10: Với $x\in Z$,tìm giá trị lớn nhất của phân số $C=\frac{x}{2x-1}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $B=\frac{1}{x-3}$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

$B=\frac{1}{x-3}$

+) Với $x-3\,>0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x>3$ thì $B=\frac{1}{x-3}>0$

+) Với $x-3\,<0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x<3$ thì $B=\frac{1}{x-3}<0$

Để B có giá trị nhỏ nhất thì $\left\{ \begin{align}& x-3<0 \\ & x-3\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

Mà: $x$ là số nguyên nên $x-3=-1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=-1+3=2$

Vậy B có giá trị nhỏ nhất là: $\frac{1}{2-3}=-1$ khi $x=2$

Bài 2: Cho phân số $P=\frac{1000}{100-x}$. Tìm số nguyên $x$ để P có giá trị lớn nhất.

Bài giải:

$P=\frac{1000}{100-x}$

+) Với $100-x\,>0$ thì $P=\frac{1000}{100-x}>0$

+) Với $100-x\,<0$ thì $P=\frac{1000}{100-x}<0$

Để $P=\frac{1000}{100-x}$ có giá trị lớn nhất thì $\left\{ \begin{align}& \frac{1000}{100-x}>0 \\ & 100-x\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 100-x>0 \\ & 100-x\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

Mà: $x$ là số nguyên nên $100-x=1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=100-1=99$

Vậy P có giá trị lớn nhất là $\frac{1000}{100-99}=1000$ khi $x=99$

Bài 3: Cho phân số $A=\frac{3-x}{x-1}$. Tìm giá trị nguyên $x$ để A có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

$A=\frac{3-x}{x-1}=-\frac{x-3}{x-1}=-\left( \frac{x-1}{x-1}-\frac{2}{x-1} \right)=-1+\frac{2}{x-1}$

+) Với $x-1>0$ thì $\frac{2}{x-1}>0$

+) Với $x-1<0$ thì $\frac{2}{x-1}<0$

Để A có giá trị nhỏ nhất thì $\frac{2}{x-1}$ có giá trị nhỏ nhất.

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{2}{x-1}<0 \\ & x-1\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-1<0 \\ & x-1\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

Mà: $x$ là số nguyên nên $x-1=-1\,\,\,\,\Rightarrow x=-1+1=0$

Vậy A có giá trị nhỏ nhất là: $-1+\frac{2}{0-1}=-3$ khi $x=0$

Bài 4: Tìm giá trị nguyên của $x$ để phân số $D=\frac{1}{7-x}$ có giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

$D=\frac{1}{7-x}$

+) Với $7-x>0$ thì $\frac{1}{7-x}>0$

+) Với $7-x<0$ thì $\frac{1}{7-x}<0$

Để $D=\frac{1}{7-x}$ có giá trị nhỏ nhất thì $\left\{ \begin{align}& \frac{1}{7-x}<0 \\ & 7-x\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 7-x<0 \\ & 7-x\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

Mà: $x$ là số nguyên nên $7-x=-1\,\,\,\,\,\Rightarrow x=7-\left( -1 \right)=8$

Vậy D có giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{7-8}=-1$ khi $x=8$

Bài 5: Cho phân số $A=\frac{2x+3}{2x+1}$. Tìm số nguyên $x$ để A có giá trị lớn nhất.

Bài giải:

$A=\frac{2x+3}{2x+1}=\frac{2x+1+2}{2x+1}=1+\frac{2}{2x+1}$

+) Với $2x+1>0$ thì $\frac{2}{2x+1}>0$

+) Với $2x+1<0$ thì $\frac{2}{2x+1}<0$

Để A có giá trị lớn nhất thì $\frac{2}{2x+1}$ có giá trị lớn nhất.

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{2}{2x+1}>0 \\ & 2x+1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 2x+1>0 \\ & 2x+1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

Mà: $x$ là số nguyên nên $2x+1=1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=0$

Vậy A có giá trị lớn nhất là $1+\frac{2}{2.0+1}=3$ khi $x=0$

Bài 6: Cho phân số $E=\frac{2x+1}{6x-3}$. Với $x\in Z$ ,tìm giá trị nhỏ nhất của A .

Bài giải:

$E=\frac{2x+1}{6x-3}$

$3E=3.\frac{2x+1}{6x-3}=\frac{6x+3}{6x-3}=\frac{6x-3+6}{6x-3}=1+\frac{6}{6x-3}$

+) Với $6x-3>0$ thì $\frac{6}{6x-3}>0$

+) Với $6x-3<0$ thì $\frac{6}{6x-3}<0$

Để E có giá trị nhỏ nhất thì 3E cũng có giá trị nhỏ nhất.

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{6}{6x-3}<0 \\ & 6x-3\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 6x-3<0 \\ & 6x-3\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

Mà $x$ là số nguyên nên $6x-3=-3\,\,\,\,\Rightarrow x=0$

Vậy E có giá trị nhỏ nhất là: $\frac{2.0+1}{6.0-3}=-\frac{1}{3}$ khi $x=0$

Bài 7: Cho phân số $D=\frac{2x-1}{x-3}$. Với $x\in Z$ tìm giá trị lớn nhất của D.

Bài giải:

$D=\frac{2x-1}{x-3}=\frac{2\left( x-3 \right)+5}{x-3}=2+\frac{5}{x-3}$

+ Với $x-3>0\Rightarrow x>3$ thì $\frac{5}{x-3}>0$

+ Với $x-3<0\Rightarrow x<3$ thì $\frac{5}{x-3}<0$

Để D có giá trị lớn nhất thì $\frac{5}{x-3}$ có giá trị lớn nhất

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{5}{x-3}>0 \\ & x-3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-3>0 \\ & x-3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

Mà $x$là số nguyên nên $x-3=1\Rightarrow x=4$

Vậy D có giá trị lớn nhất là: $\frac{2.4-1}{4-3}=\frac{7}{1}=7$ khi $x=4$

Bài 8: Cho $A=\frac{x-13}{x+3}$. Tìm $x\in Z$ để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài giải:

$A=\frac{x-13}{x+3}=\frac{x+3-16}{x+3}=1-\frac{16}{x+3}$

+ Với $x+3>0\Rightarrow x>-3$ thì $\frac{16}{x+3}>0$

+ Với $x+3<0\Rightarrow x<-3$thì $\frac{16}{x+3}<0$

Để A có giá trị nhỏ nhất thì $\frac{16}{x+3}$ có giá trị lớn nhất

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{16}{x+3}>0 \\ & x+3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x+3>0 \\ & x+3\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

Mà $x$ là số nguyên nên $x+3=1\Rightarrow x=-2$

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là $\frac{-2-13}{-2+3}=-15$ khi $x=-2$

Bài 9: Tìm số nguyên $x$ để phân số $B=\frac{2020-x}{2019-x}$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài giải:

$B=\frac{2020-x}{2019-x}=\frac{x-2020}{x-2019}=\frac{x-2019-1}{x-2019}=1-\frac{1}{x-2019}$

+ Với $x-2019>0\Rightarrow x>2019$ thì $\frac{1}{x-2019}>0$

+ Với $x-2019<0\Rightarrow x<2019$ thì $\frac{1}{x-2019}<0$

Để B có giá trị lớn nhất thì $\frac{1}{x-2019}$ có giá trị nhỏ nhất

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{x-2019}<0 \\ & x-2019\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& x-2019<0 \\ & x-2019\,\,co\,\,GTLN \\ \end{align} \right.$

Mà x là số nguyên nên $x-2019=-1\Rightarrow x=2018$

Vậy giá trị lớn nhất của B là $\frac{2020-2018}{2019-2018}=2$ khi $x=2018$

Bài 10: Với $x\in Z$, tìm giá trị lớn nhất của phân số $C=\frac{x}{2x-1}$ .

Bài giải:

$C=\frac{x}{2x-1}$

$2C=\frac{2x}{2x-1}=\frac{2x-1+1}{2x-1}=1+\frac{1}{2x-1}$

+ Với $2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{2x-1}>0$

+ Với $2x-1<0\Rightarrow x<\frac{1}{2}$ thì $\frac{1}{2x-1}<0$

Để C có giá trị lớn nhất thì 2C có giá trị lớn nhất

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \frac{1}{2x-1}>0 \\ & 2x-1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 2x-1>0 \\ & 2x-1\,\,co\,\,GTNN \\ \end{align} \right.$

Mà x là số nguyên nên $2x-1=1\Rightarrow x=1$

Vậy giá trị lớn nhất của C là $C=\frac{1}{2.1-1}=1$ khi $x=1$

Cộng đồng zalo giải đáo bài tập

Các bạn học sinh tham gia nhóm zalo để trao đổi giải đáp bài tập nhé

Con sinh năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm 2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm 2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046