Tìm M để đồ Thị Có 2 Cực Trị đối Xứng Nhau Qua đường Thẳng

Dạo này bận bịu trông con nên không viết được bài nào hẳn hoi, chủ yếu là upload các đề thi thử thpt quốc gia 2016 của các trường thpt trong cả nước cho các bạn ngồi ngâm cứu. Hôm nay có chút thời gian, làm được ít việc cá nhân xong rồi thì ngồi nghĩ không biết viết gì cho blog.

Chat với bác google thì được cho biết, các trò của chúng ta cũng tìm kiếm khá nhiều dạng bài toán Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d nên quyết định xuất bản bài viết này.

Tổng quát:

Cho hàm số $y=f_{(x)}$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm m để đồ thị hàm số có 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng $d: y=g_{(x)}$ cho trước.

Phương pháp:

Cách 1:

• Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cực tiểu, cực đại. Giả sử là A và B.
• Tìm tọa độ 2 điểm A và B theo m.
• Gọi $I$ là trung điểm của $AB$.
• Giải điều kiện: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot \Delta\end{array}\right.$

Cách 2:

• Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có cực tiểu, cực đại. Giả sử là A và B.
• Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm cực tiểu, cực đại.
• Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tìm tọa độ của I .
• Giải điều kiện: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot \Delta\end{array}\right.$

Phương pháp thì là như thế đó, nhưng khi nào thì tìm tọa độ của hai điểm cực trị, khi nào thì viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, áp dụng cụ thể vào bài toán thì sẽ như thế nào. Sau đây chúng ta cùng tìm hiểu một số bài toán dạng này để hiểu rõ hơn.

Bài 1: Cho hàm số  $y=x^3-3mx^2+4m^3$ (m là tham số) có đồ thị là ($C_m$).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi $m=1$.

2) Xác định m để ($C_m$) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$

Hướng dẫn:

Ta có:

$y=x^3-3mx^2+4m^3\Leftrightarrow y’=3x^2-6mx$

$y’=0\Leftrightarrow 3x^2-6mx=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ll} x=0\\x=2m\end{array}\right.$

Đồ thị hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt. Do đó $m\neq 0$

Giả sử gọi A và B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta sẽ có: $A(0;4m^3); B(2m;0); \vec{AB}=(2m;-4m^3)$

Gọi I là trung điểm của AB thì $I(m;2m^3)$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: $\vec{u}=(1;1)$

Để 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d thì: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot AB\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} I\in d\\\vec{u}.\vec{AB}=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 2m^3=m\\2m-4m^3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow m^2=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy với $m=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ thì $(C_m)$ có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $y=x$

Tham khảo bài giảng:

1. Sai lầm khi tìm cực trị của hàm số
2. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến
3. Mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 3, bậc 4 khi khảo sát hàm số
4. Hướng dẫn cách nhẩm nghiệm, loại nghiệm bằng đường tròn lượng giác

Bài 2: Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx$ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=0$.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $d: x-2y-5=0$ .

Hướng dẫn:

Ta có:

$y=x^3-3x^2+mx \Leftrightarrow y’=3x^2-6x+m$

$y’=0\Leftrightarrow 3x^2-6x+m=0$

$\Delta=9-3m$

Để hàm số có 2 cực trị thì phương trình $y’=0$ có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 9-3m>0\Leftrightarrow m<3$   $(*)$

Giả sử hai điểm cực trị có tọa độ là: $A(x_1;y_1);B(x_2;y_2)$ với $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình $y’=0$

Lấy $y$ chia cho $y’$ ta được: $y=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})y’+(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: $y=(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$

Nếu bạn chưa hiểu chỗ này thì xem bài giảng này: Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Gọi $I(a;b)$ là trung điểm của AB, ta có:

$a=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{6}{6}=1$

$b=\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{(\frac{2}{3}m-2)x_1+\frac{1}{3}m+(\frac{2}{3}m-2)x_2+\frac{1}{3}m}{2}=\frac{(\frac{2}{3}m-2)(x_1+x_2)+\frac{2}{3}m}{2}=m-2$

$\Rightarrow I(1;m-2)$

Đường thẳng d viết lại dưới dạng: $y=\frac{x}{2}-\frac{5}{2}$ có hệ số góc là $k_1=\frac{1}{2}$

Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc là: $k_2=\frac{2}{3}m-2$

Để 2 cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d thì: $\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\d\bot AB\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} I\in d\\k_1.k_2=-1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} 1-2(m-2)-5=0\\\frac{1}{2}(\frac{2}{3}m-2)=-1\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow m=0$  thỏa mãn điều kiện $(*)$

Vậy với $m=0$ thì đồ thị hàm số $(1)$ có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng $d: x-2y-5=0$

Trong hai bài toán trên tuy cùng một yêu cầu nhưng lại làm theo hai cách khác nhau. Ở đây chính là chúng ta đã sử dụng cách 1 và cách 2 ở trên. Qua hai bài toán này các bạn đã rõ khi nào thì áp dụng cách 1, khi nào thì áp dụng cách 2 chưa? Nếu chưa rõ thì xin nói qua loa với các bạn như này nhé:

Với cách 1: Nên áp dụng khi chúng ta tìm được cụ thể tọa độ 2 điểm cực trị A và B một cách dễ ràng. Tức là không phức tạp đó. Xem ở bài 1 ta tìm được tọa độ 2 điểm A và B rất đơn giản.

Với cách 2: Nên áp dụng khi chúng ta khó tìm tọa độ 2 điểm cực trị A và B hoặc không tìm được cụ thể. Thường ở trường hợp này thì $\Delta$ không tồn tại dạng $p^2$. Các bạn thử tìm tọa độ 2 điểm cực trị ở bài toán 2 xem có đơn giản không? Sau đó ta sẽ sử dụng tới hệ thức Viet để tìm tọa độ trung điểm AB.

Chắc các bạn đã rõ áp dụng 2 cách này rồi chứ. Bây giờ xin gửi tới các bạn 2 bài tập cũng cố cho dạng toán cực trị đối xứng này. Hãy làm một con ong chăm chỉ nhé.

Bài 3: Cho hàm số  $y=x^3+3mx^2-3m-1$

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1$.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $d: x+8y-74=0$

Đáp số : $m=0$

Bài 4: Cho hàm số $y=x^3-3(m+1)x^2+9x+m-2$ (1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1$.

2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng $d: y=\frac{1}{2}x$ .

Đáp số : $m=1$

Nếu bạn thích bài viết này, hãy subscribe blog của mình để thường xuyên cập nhật những bài viết hay nhất, mới nhất qua Fanpage nhé. Cảm ơn rất nhiều.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ