Tính đạo Hàm Của Hàm Số: Y = Sin^3(2x + 1)...

I. Đạo hàm tại một điểm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 thuộc (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : limx→x0fx−fx0x−x0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f'(x0). Vậy f'x0=limx→x0fx−fx0x−x0.

* Chú ý:

Đại lượng ∆x = x- x0 được gọi là số gia của đối số tại x0.

Đại lượng ∆y= f(x) – f(x0)= f(x0 + ∆x) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy:y'x0=limΔx→∞ΔyΔx.

2. Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 tính:

∆y= f(x0 + ∆x) – f( x0) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ΔyΔx..

+ Bước 3: Tìm limΔx→0ΔyΔx.

Ví dụ 1. Cho hàm số y=2x−3, có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó ΔyΔx bằng bao nhiêu.

Lời giải

Tập xác định của hàm số đã cho là: D=32;+∞.

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có:

Δy=f2+Δx−f2=2.2+Δx−3−2.2−3=2Δx+1−1

Khi đó:

ΔyΔx=2Δx+1−1Δx

⇒limΔx→0ΔyΔx=limΔx→02Δx+1−1Δx=limΔx→02Δx+1−1.2Δx+1+1Δx.2Δx+1+1

=limΔx→02ΔxΔx.2Δx+1+1=limΔx→022Δx+1+1=1

Vậy f’(2) = 1.

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lý 1. Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

Ví dụ 2. Chẳng hạn hàm số y=f(x)=−x2  khi  x≥0x        khi  x<0 liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị gãy tại điểm O(0;0) như hình vẽ sau:

4. Ý nghĩa của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

+) Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x = x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M0(x0; f(x0)).

+) Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y – y0= f’(x0) ( x- x0) trong đó y0= f(x0).

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x^3 – 3x^2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3.

Lời giải

Bằng định nghĩa ta tính được: y’(3) = 9.

Do đó hệ số góc của tiếp tuyến là 9.

Ta có: y(3) = 2.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x = 3 là:

y = 9(x – 3) + 2 = 9x – 27 + 2 = 9x – 25.

b) Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

+) Vận tốc tức thời:

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t0: v(t0) = s’(t0).

+) Cường độ tức thời:

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t0: I(t0) = Q’(t0) .

Ví dụ 4. Một xe máy chuyển động theo phương trình : s(t)= t^2 + 6t+ 10 trong đó t đơn vị là giây; s là quãng đường đi được đơn vị m. Tính vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3.

Lời giải

Phương trình vận tốc của xe là v( t)=s' ( t)=2t+6 ( m/s)

⇒ Vận tốc tức thời của xe tại thời điểm t= 3 là:

V(3)= 2.3+ 6 = 12 (m/s)

Chọn A.

II. Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Khi đó ta gọi hàm số f’:a;b→ℝ

x↦f'x

là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

Ví dụ 5. Hàm số y = x^2 – 2x có đạo hàm y’ = 2x – 2 trên khoảng −∞;+∞.

Hàm số y=2x có đạo hàm y'=−2x2 trên các khoảng −∞;0 và 0;+∞.

III. Đạo hàm của một hàm số thường gặp

1. Định lý 1

Hàm số y = x^n n∈ℕ,n>1 có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (x^n)’ = n.x^n-1.

2. Định lý 2

Hàm số y=x có đạo hàm tại mọi x dương và x'=12x.

Ví dụ 1.

a) Tính đạo hàm y = x^3;

b) Tính đạo hàm tại x = 5.

Lời giải

a) Ta có: y’ = 3x^2;

b) Ta có:y'=12x

Đạo hàm của hàm số tại x = 5 là:y'5=125.

IV. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

1. Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có:

(u + v)’ = u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’;

(uv)’ = u’.v + u.v’;

uv'=u'v−u.v'v2v=v(x)≠0.

2. Hệ quả

Hệ quả 1. Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = k.u’.

Hệ quả 2.1v'=−v'v2.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x^5 – 2x^2 + 3x + 6;

b) y = (x^2 + 1)(2x – 3);

c)y=7x2x−1 .

Lời giải

a) y = x^5 – 2x^2 + 3x

⇒y’ = (x5 – 2x^2 + 3x)’

= (x5)’ – (2x^2)’ + (3x)’

= 5x^4 – 4x + 3.

b) y = (x^2 + x).2x

⇒y’ = (x^2 + x)’.2x + (x^2 + 1)(2x)’

= [(x^2)’ + x’].2x + (x^2 + 1).2

= (2x + 1).2x + 2x^2 + 2

= 4x^2 + 2x + 2x^2 + 2

= 6x^2 + 2x + 2.

c) y=7x2x−1

⇒y=7x2'x3−2x−7x2x3−2x'x3−2x2

=14xx3−2x−7x22x2−2x3−2x2

=14x4−28x2−14x2+14xx3−2x2

=−28x2+14xx3−2x2.

V. Đạo hàm hàm hợp

Định lý 4. Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm x làux' và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là yx' thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là: yx'=yu'.ux'.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y=x2+2x

Lời giải

Đặt u=x2+2x thì y=u

y'=u'2u=x2+2x'2x2+2x=2x+22x2+2x.

VI. Đạo hàm hàm lượng giác

1. Giới hạn sinxx

Định lý 1.

limx→0sinxx=1.

Ví dụ 1. Tính limx→1sinx−1x2−1

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

limt→0sinttt+2=limt→0sintt.1t+2=limt→0sintt.limt→01t+2=1.12=12.

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số y=sin2x+32

Lời giải

y'=2sin2x+3'.sin2x+3=2cos2x+3.2x+3'.sin2x+3

y'=4cos2x+3.sin2x+3.

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi x∈ℝ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y=cosπ2−x tại x=π3.

Lời giải

Đặt u=π2−x

⇒y'=cosu'=−u'.sinu=−π2−x'sinπ2−x=sinπ2−x.

Thay x=π3 vào y’ ta được:

y'π3=sinπ2−π3=sinπ6=12.

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại x=π3 là 12

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi x≠π2+kπ,k∈ℤ và (tanx)’ = 1cos2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u'cos2u.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm y=2+tanx

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

y'=u'2u=2+tanx'22+tanx=1cos2x22+tanx=12.cos2x2+tanx.

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi x≠kπ,k∈ℤ và (cotx)’ = −1sin2x.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = −u'sin2u.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x^2.

Lời giải

y’ = (cot x^2)’ = (x^2)’. −1sinx22= −2xsinx22.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

VII. Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f(3)(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

f(n)(x) = (f(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x^4 + 8x + 12. Tính y(5)

Lời giải

Ta có: y’ = 28x^3 + 8, y” = 84x^2, y”’ = 168x, y(4) = 168, y(5) = 0.

Vậy y(5) = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia Δt tại t thì v(t) có số gia tương ứng là Δv.

Tỉ sốΔvΔt được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Δt. Nếu tồn tại: v'(t)=limΔt→0ΔvΔt=γt.

Ta gọi v't=γt là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: γt=f"t.

Đao hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do s=12gt2.

Lời giải

Ta có: s'=gt.

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: γ=s"t=s'(t)=g≈9,8m/s2.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là:g≈9,8m/s2.