Tính Tích Phân Các Hàm Lượng Giác Bằng Phương Pháp đổi Biến.

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN > Bài 1. Nguyên hàm > Tính tích phân các hàm lượng giác bằng phương pháp đổi biến.

Thảo luận trong 'Bài 1. Nguyên hàm' bắt đầu bởi Tăng Giáp, 6/12/18.

1. 

   Tăng Giáp Administrator Thành viên BQT

   Tham gia ngày: 16/11/14 Bài viết: 4,634 Đã được thích: 282 Điểm thành tích: 83 Giới tính: Nam

   Phương pháp chung: Để tìm nguyên hàm dạng $I = \int {\rm{R}} (\sin x,\cos x)dx$, trong đó $R$ là hàm hữu tỉ, ta lựa chọn một trong các hướng giải sau: + Hướng 1: Nếu ${\rm{R}}( – \sin x,\cos x) = – {\rm{R}}(\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: $t = \cos x.$ + Hướng 2: Nếu $R(\sin x, – \cos x) = – R(\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến tương ứng là: $t = \sin x.$ + Hướng 3: Nếu ${\rm{R}}( – \sin x, – \cos x) = R (\sin x,\cos x)$ thì sử dụng phép đổi biến: $t = \tan x$ (một số trường hợp có thể là: $t = cot x$). Do đó với các nguyên hàm dạng: Nguyên hàm $I = \int {{{\tan }^n}} xdx$, với $n∈Z$ được xác định nhờ phép đổi biến: $t = \tan x.$ Nguyên hàm $I = \int {co{t^n}} xdx$, với $n∈Z$ được xác định nhờ phép đổi biến $t = \cot x.$ + Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến $t = \tan \frac{x}{2}.$ Ví dụ 19: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\cos x + \sin x.\cos x}}{{2 + \sin x}}} dx.$ Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{(1 + \sin x)\cos x}}{{2 + \sin x}}} dx.$ Đặt $t = \sin x$ suy ra: $dt = \cos xdx$ và $\frac{{(1 + \sin x)\cos x}}{{2 + \sin x}}dx = \frac{{1 + t}}{{2 + t}}dt.$ Khi đó: $I = \int {\frac{{1 + t}}{{2 + t}}} dt$ $ = \int {\left( {1 – \frac{1}{{2 + t}}} \right)} dt$ $ = t – \ln |2 + t| + C$ $ = \sin x – \ln |2 + \sin x| + C.$ Nhận xét: Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: $R(\sin x, – \cos x) = – R(\sin x,\cos x)$, do đó sử dụng phép đổi biến tương ứng là $t = \sin x.$ Ví dụ 20: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sin x.{{\cos }^3}x}}} .$ Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\tan x.{{\cos }^4}x}}} .$ Đặt $t = \tan x$, suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và $\frac{{dx}}{{\tan x.{{\cos }^4}x}}$ $ = \frac{1}{{\tan x}}\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \frac{{\left( {1 + {t^2}} \right)dt}}{t}$ $ = \left( {\frac{1}{t} + t} \right)dt.$ Khi đó: $I = \int {\left( {\frac{1}{t} + t} \right)dt} $ $ = \ln |t| + \frac{1}{2}{t^2} + C$ $ = \ln \left| {\tan x} \right| + \frac{1}{2}{\tan ^2}x + C.$ Nhận xét: + Trong bài toán trên sở dĩ ta định hướng được phép biến đổi như vậy là bởi nhận xét rằng: $R( – \sin x, – \cos x) = R(\sin x,\cos x).$ + Việc đánh giá hàm số dưới dấu tích phân như trên để lựa chọn phép đặt ẩn phụ thích hợp luôn tỏ ra rất hiệu quả đối với bài toán xác định nguyên hàm của các hàm lượng giác chứa căn. Ta đi xem xét ví dụ sau: Ví dụ 21: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{{{\sin }^3}x.{{\cos }^5}x}}}}} .$ Biến đổi $I$ về dạng: $I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x.{{\cos }^8}x}}}}} $ $ = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x.\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x}}}}.} $ Đặt $t = \tan x$, suy ra: $dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}$ và $\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x.\sqrt[4]{{{{\tan }^3}x}}}} = \frac{{dt}}{{\sqrt[4]{{{t^3}}}}}.$ Khi đó: $I = \int {\frac{{dt}}{{\sqrt[4]{{{t^3}}}}}} $ $ = 4\sqrt[4]{t} + C$ $ = 4\sqrt[4]{{\tan x}} + C.$ Ví dụ 22: Tìm nguyên hàm: $I = \int {\frac{{\sin xdx}}{{\cos x\sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}} .$ Đặt $t = \cos x \Rightarrow dt = – \sin xdx$, do đó: $I = – \int {\frac{{dt}}{{t\sqrt {2 – {t^2}} }}} .$ Ta cần xét 2 trường hợp: $t>0$ và $t<0:$ + Với $t>0$, ta có: $I = – \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{t} + \sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} } \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C.$ + Với $t<0$, ta có: $I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2}\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = – \int {\frac{{d\left( {\frac{1}{t}} \right)}}{{\sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} }}} $ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 }}{t} + \sqrt {\frac{2}{{{t^2}}} – 1} } \right| + C$ $ = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 – \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C.$ Tóm lại ta được: $I = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {2 – {t^2}} }}{t}} \right| + C$ $ = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt {1 + {{\sin }^2}x} }}{{\cos x}}} \right| + C.$

   Bài viết mới nhất

   • Chuyên đề nguyên hàm17/01/2019
   • Dạng toán 4: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.06/12/2018
   • Dạng toán 3: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến.06/12/2018
   • Dạng toán 2: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit bằng phương pháp phân tích.06/12/2018
   • Dạng toán 1: Tìm nguyên hàm của hàm số mũ và logarit dựa trên dạng nguyên hàm cơ bản.06/12/2018
   Tăng Giáp, 6/12/18 #1

(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content

Chia sẻ trang này

Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập

Thống kê diễn đàn

Đề tài thảo luận: 6,075 Bài viết: 12,740 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: DuyChien

Chủ đề mới nhất

• 314 bài tập vật lí hạt nhân... Tăng Giáp posted 8/2/26 lúc 08:49
• Giải chi tiết gần 300 bài tập... Tăng Giáp posted 30/1/26
• 82 Bài Tập Khí Lý Tưởng Vật Lí... Tăng Giáp posted 26/4/25
• [HOT] Đề Toán Thi Thử 2025... Tăng Giáp posted 10/4/25
• [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20

Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN > Bài 1. Nguyên hàm >