Tính Toán Kỳ Vọng. Kỳ Vọng Toán Học Là Phân Phối Xác Suất Của Một ...

2. Các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết xác suất

Gia trị được ki vọng

Xem xét một biến ngẫu nhiên với các giá trị số. Thường sẽ hữu ích khi kết hợp một số với hàm này - "giá trị trung bình" của nó hoặc, như người ta nói, "giá trị trung bình", "chỉ báo về xu hướng trung tâm". Vì một số lý do, một số lý do sẽ rõ ràng hơn so với những gì sau đây, kỳ vọng toán học thường được sử dụng làm "giá trị trung bình".

Định nghĩa 3. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên NS gọi là số

những thứ kia. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng trọng số của các giá trị của một biến ngẫu nhiên có trọng số bằng xác suất của các sự kiện cơ bản tương ứng.

Ví dụ 6. Hãy tính kỳ vọng toán học của số rơi trên mặt trên của viên xúc xắc. Nó theo sau ngay từ Định nghĩa 3 rằng

Câu lệnh 2.Để biến ngẫu nhiên NS lấy giá trị x 1, x 2, ..., xNS... Sau đó, sự bình đẳng

(5)

những thứ kia. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng trọng số của các giá trị của một biến ngẫu nhiên có trọng số bằng xác suất mà biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nhất định.

Không giống như (4), trong đó việc tổng kết được thực hiện trực tiếp trên các sự kiện cơ bản, một sự kiện ngẫu nhiên có thể bao gồm một số sự kiện cơ bản.

Đôi khi quan hệ (5) được coi là một định nghĩa của kỳ vọng toán học. Tuy nhiên, với sự trợ giúp của Định nghĩa 3, như được trình bày dưới đây, việc thiết lập các tính chất của kỳ vọng toán học cần thiết để xây dựng các mô hình xác suất của các hiện tượng thực sẽ dễ dàng hơn so với sự trợ giúp của quan hệ (5).

Để chứng minh quan hệ (5), chúng tôi nhóm vào (4) các số hạng có cùng giá trị của biến ngẫu nhiên:

Vì hệ số hằng số có thể được lấy ra ngoài dấu của tổng, nên

Bằng cách xác định xác suất của một sự kiện

Với sự trợ giúp của hai quan hệ cuối cùng, chúng tôi có được yêu cầu:

Khái niệm kỳ vọng toán học trong lý thuyết xác suất-thống kê tương ứng với khái niệm trọng tâm trong cơ học. Chúng tôi đưa vào điểm x 1, x 2, ..., xNS trên trục khối lượng P(NS= NS 1 ), P(NS= NS 2 ),…, P(NS= x m) tương ứng. Khi đó đẳng thức (5) cho thấy trọng tâm của hệ điểm vật chất này trùng với kỳ vọng toán học, điều này cho thấy tính tự nhiên của định nghĩa 3.

Tuyên bố 3.Để cho được NS- giá trị ngẫu nhiên, M (X)- kỳ vọng toán học của nó, nhưng- một số số. sau đó

1) M (a) = a; 2) M (X-M (X)) = 0; 3M [(NS- một) 2 ]= NS[(NS- NS(NS)) 2 ]+(một- NS(NS)) 2 .

Để chứng minh, trước tiên hãy xem xét một biến ngẫu nhiên không đổi, tức là hàm ánh xạ không gian của các sự kiện cơ bản đến một điểm duy nhất nhưng... Vì hệ số hằng số có thể được lấy ra ngoài dấu của tổng, nên

Nếu mỗi số hạng của tổng được chia thành hai số hạng, thì toàn bộ tổng được chia thành hai tổng, trong đó số hạng thứ nhất được tạo thành từ số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai được tạo thành từ số hạng thứ hai. Do đó, kỳ vọng toán học của tổng của hai biến ngẫu nhiên X + Yđược xác định trên cùng một không gian của các sự kiện cơ bản bằng tổng các kỳ vọng toán học M (X) và M (U) các biến ngẫu nhiên này:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Và do đó M (X-M (X)) = M (X) - M (M (X)). Như được trình bày ở trên, M (M (X)) = M (X). Hậu quả là, M (X-M (X)) = M (X) - M (X) = 0.

Vì (X - a) 2 = ((NS – NS(NS)) + (NS(NS) - một)} 2 = (NS - NS(NS)) 2 + 2(NS - NS(NS))(NS(NS) - một) + (NS(NS) – một) 2 , sau đó NS[(X - a) 2] =NS(NS - NS(NS)) 2 + NS{2(NS - NS(NS))(NS(NS) - một)} + NS[(NS(NS) – một) 2 ]. Hãy để chúng tôi đơn giản hóa sự bình đẳng cuối cùng. Như đã trình bày ở phần đầu của bằng chứng của Phát biểu 3, kỳ vọng toán học của một hằng số chính là hằng số này, và do đó NS[(NS(NS) – một) 2 ] = (NS(NS) – một) 2 . Vì hệ số hằng số có thể được lấy ra ngoài dấu của tổng, nên NS{2(NS - NS(NS))(NS(NS) - một)} = 2(NS(NS) - một) NS (NS - NS(NS)). Vế phải của đẳng thức cuối cùng là 0 vì, như được hiển thị ở trên, M (X-M (X)) = 0. Hậu quả là, NS [(NS- một) 2 ]= NS[(NS- NS(NS)) 2 ]+(một- NS(NS)) 2 , theo yêu cầu.

Từ những gì đã nói, nó theo sau rằng NS [(NS- một) 2 ] đạt mức tối thiểu trong nhưng tương đương với NS[(NS- NS(NS)) 2 ], tại a = M (X), vì số hạng thứ hai trong đẳng thức 3) luôn không âm và chỉ bằng 0 đối với giá trị được chỉ định nhưng.

Tuyên bố 4.Để biến ngẫu nhiên NS lấy giá trị x 1, x 2, ..., xNS, và f là một số hàm của đối số số. sau đó

Để chứng minh, chúng tôi nhóm ở phía bên phải của đẳng thức (4), xác định kỳ vọng toán học, các thuật ngữ có cùng giá trị:

Sử dụng thực tế rằng hệ số không đổi có thể được di chuyển ra ngoài dấu của tổng và bằng cách xác định xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên (2), chúng ta thu được

Q.E.D.

Tuyên bố 5.Để cho được NS và Có- các biến ngẫu nhiên được xác định trên cùng một không gian của các sự kiện cơ bản, nhưng và NS- một số con số. sau đó NS(cây rìu+ qua)= sáng(NS)+ bM(Y).

Bằng cách xác định kỳ vọng toán học và các thuộc tính của ký hiệu tổng, chúng ta thu được một chuỗi các giá trị bằng nhau:

Yêu cầu được chứng minh.

Phần trên cho thấy kỳ vọng toán học phụ thuộc như thế nào vào sự chuyển đổi sang điểm gốc khác và sang đơn vị đo lường khác (chuyển Y=cây rìu+NS), cũng như các hàm của biến ngẫu nhiên. Các kết quả thu được thường xuyên được sử dụng trong phân tích kinh tế kỹ thuật, đánh giá các hoạt động kinh tế tài chính của một doanh nghiệp, trong quá trình chuyển đổi từ đơn vị tiền tệ này sang đơn vị tiền tệ khác trong các tính toán kinh tế đối ngoại, trong các tài liệu quy định và kỹ thuật, v.v. Các kết quả được xem xét cho phép sử dụng các công thức tính toán giống nhau cho các thông số khác nhau về tỷ lệ và độ dịch chuyển.

Trước

Quy luật phân phối hoàn toàn đặc trưng cho biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, luật phân phối thường không được biết đến và người ta phải tự giới hạn mình với ít thông tin hơn. Đôi khi còn có lợi hơn khi sử dụng các con số mô tả tổng thể một biến ngẫu nhiên, những con số như vậy được gọi là đặc điểm số biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán học là một trong những đặc điểm số quan trọng.

Kỳ vọng toán học, như sẽ được hiển thị bên dưới, xấp xỉ bằng giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên. Để giải nhiều bài toán, chỉ cần biết kỳ vọng toán học là đủ. Ví dụ: nếu biết rằng kỳ vọng toán học về số điểm bị hạ gục bởi người bắn thứ nhất lớn hơn người thứ hai, thì trung bình người bắn thứ nhất kiếm được nhiều điểm hơn người thứ hai, và do đó, bắn tốt hơn lần thứ hai.

Định nghĩa 4.1: Kỳ vọng toán học Một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của nó theo xác suất của chúng.

Để biến ngẫu nhiên NS chỉ có thể nhận các giá trị x 1, x 2, ... x n, xác suất của chúng, tương ứng, bằng p 1, p 2, ... p n. Sau đó là sự mong đợi M (X) của một biến ngẫu nhiên NSđược định nghĩa bởi sự bình đẳng

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… + x n p n.

Nếu một biến ngẫu nhiên rời rạc NS nhận một tập hợp các giá trị có thể đếm được, sau đó

,

hơn nữa, kỳ vọng toán học tồn tại nếu chuỗi ở phía bên phải của đẳng thức hội tụ tuyệt đối.

Thí dụ. Tìm số lần xuất hiện dự kiến ​​của một sự kiện MỘT trong một thử nghiệm, nếu xác suất của một sự kiện MỘT bằng P.

Dung dịch: Giá trị ngẫu nhiên NS- số lần xuất hiện của sự kiện MỘT có phân phối Bernoulli, do đó

Vì vậy, kỳ vọng toán học về số lần xuất hiện của một sự kiện trong một lần thử bằng xác suất của sự kiện này.

Ý nghĩa xác suất của kỳ vọng toán học

Hãy để nó được sản xuất NS các thử nghiệm trong đó biến ngẫu nhiên NSĐã được chấp nhận m 1 giá trị lần x 1, m 2 giá trị lần x 2 ,…, m k giá trị lần x k, và m 1 + m 2 +… + m k = n... Sau đó, tổng của tất cả các giá trị được lấy NS, bằng x 1 m 1 + x 2 m 2 +… + x k m k .

Trung bình cộng của tất cả các giá trị được lấy bởi một biến ngẫu nhiên sẽ là

Thai độ m i / n- tần số tương đối WiÝ nghĩa x tôi xấp xỉ bằng xác suất xảy ra sự kiện số Pi, ở đâu , vì thế

Ý nghĩa xác suất của kết quả thu được như sau: kỳ vọng toán học xấp xỉ bằng(càng chính xác, số lần kiểm tra càng lớn) trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên.

Thuộc tính kỳ vọng toán học

Thuộc tính1:Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng hằng số lớn nhất

Thuộc tính2:Hệ số không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu của kỳ vọng toán học

Định nghĩa 4.2: Hai biến ngẫu nhiênđược gọi là sống độc lập, nếu luật phân phối của một trong số chúng không phụ thuộc vào những giá trị có thể mà giá trị kia đã nhận. Nếu không thì các biến ngẫu nhiên phụ thuộc.

Định nghĩa 4.3: Một số biến ngẫu nhiênđược gọi là Độc lập với nhau, nếu luật phân phối của bất kỳ số nào trong số chúng không phụ thuộc vào các giá trị có thể có của các đại lượng còn lại.

Thuộc tính3:Kỳ vọng toán học về tích của hai biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng.

Hệ quả:Kỳ vọng toán học về tích của một số biến ngẫu nhiên độc lập lẫn nhau bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng.

Thuộc tính 4:Kỳ vọng toán học của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng.

Hệ quả:Kỳ vọng toán học của tổng của một số biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng.

Thí dụ. Chúng tôi tính toán kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên nhị thức NS - ngày của sự kiện MỘT trong NS các thí nghiệm.

Dung dịch: Tổng số NS sự kiện xuất hiện MỘT trong các thử nghiệm này là tổng số lần xuất hiện của sự kiện trong các thử nghiệm riêng lẻ. Chúng tôi giới thiệu các biến ngẫu nhiên X tôi- số lần xuất hiện của sự kiện trong tôi thử nghiệm thứ, là các biến ngẫu nhiên Bernoulli với kỳ vọng toán học, trong đó ... Theo tính chất của kỳ vọng toán học, chúng ta có

Vì vậy, kỳ vọng toán học của phân phối nhị thức với các tham số n và p bằng tích của np.

Thí dụ. Xác suất bắn trúng mục tiêu khi bắn súng p = 0,6. Tìm kỳ vọng toán học của tổng số lần bắn trúng nếu 10 viên được bắn.

Dung dịch: Cú đánh của mỗi cú đánh không phụ thuộc vào kết quả của các cú đánh khác, do đó các sự kiện được đề cập là độc lập và do đó, kỳ vọng toán học mong muốn

Kỳ vọng toán học (giá trị trung bình) của một biến ngẫu nhiên X, được cho trên không gian xác suất rời rạc, là số m = M [X] = ∑x i p i nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.

Mục đích dịch vụ... Sử dụng dịch vụ trực tuyến kỳ vọng toán học, phương sai và độ lệch chuẩn được tính toán(xem ví dụ). Ngoài ra, một đồ thị của hàm phân phối F (X) được vẽ.

Các thuộc tính của kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên

1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính nó: M [C] = C, C là hằng số;
2. M = C M [X]
3. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán học của chúng: M = M [X] + M [Y]
4. Kỳ vọng toán học về tích của các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng: M = M [X] M [Y], nếu X và Y độc lập.

Thuộc tính phân tán

1. Phương sai của hằng số bằng không: D (c) = 0.
2. Hệ số hằng số có thể được lấy ra khỏi dấu phương sai bằng cách bình phương nó: D (k * X) = k 2 D (X).
3. Nếu các biến ngẫu nhiên X và Y độc lập thì phương sai của tổng bằng tổng phương sai: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
4. Nếu các biến ngẫu nhiên X và Y phụ thuộc: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
5. Công thức tính toán hợp lệ cho phương sai: D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2

Một ví dụ. Kỳ vọng toán học và phương sai của hai biến ngẫu nhiên độc lập X và Y đã biết: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Tìm kỳ vọng toán học và phương sai của biến ngẫu nhiên Z = 9X-8Y + 7. Dung dịch. Dựa trên các tính chất của kỳ vọng toán học: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ... Dựa trên tính chất phân tán: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345

Thuật toán tính giá trị mong đợi

Tính chất của biến ngẫu nhiên rời rạc: tất cả các giá trị của chúng có thể được đánh số lại bằng số tự nhiên; gán một xác suất khác không cho mỗi giá trị.

1. Lần lượt nhân các cặp: x i với p i.
2. Cộng tích của từng cặp x i p i. Ví dụ, với n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Hàm phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc theo từng bước, nó tăng đột ngột tại những điểm đó, xác suất của chúng là dương.

Ví dụ 1.

x tôi	1	3	4	7	9
số Pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Chúng ta tìm kỳ vọng toán học bằng công thức m = ∑x i p i. Kỳ vọng toán học M [X]. M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9 Ta tìm phương sai theo công thức d = ∑x 2 i p i - M [x] 2. Độ phân tán D [X]. D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69 Độ lệch chuẩn σ (x). σ = sqrt (D [X]) = sqrt (7,69) = 2,78

Ví dụ # 2. Một biến ngẫu nhiên rời rạc có chuỗi phân phối sau:

NS	-10	-5	0	5	10
NS	nhưng	0,32	2một	0,41	0,03

Tìm giá trị a, kỳ vọng toán học và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên này.

Dung dịch. Ta tìm giá trị a từ quan hệ: Σp i = 1 Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1 0,76 + 3 a = 1 hoặc 0,24 = 3 a, khi đó a = 0,08

Ví dụ số 3. Xác định luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu biết phương sai của nó và x 1