Toán 11 Bài 1: Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Hoc247
Có thể bạn quan tâm
Đạo hàm là khái niệm quan trọng bậc nhất của Giải tích học, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán ở phân môn Giải tích trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trongcuộc sống. Nội dung bài học sẽ bước đầu giúp các em tìm hiểu về khái niệm và ý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi kèm là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp làm bài.
ATNETWORK YOMEDIA1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
2. Bài tập minh hoạ
3. Luyện tập bài 1 chương 5 giải tích 11
3.1. Trắc nghiệm về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
4. Hỏi đáp về bài 1 chương 5 giải tích 11
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
a) Định nghĩa
- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.\)
b) Chú ý
- Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) thì:
\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
- Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.
- Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:
+ Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) không tồn tại.
+ Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)
c) Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})\)
- Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
- Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
1.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
a) Ý nghĩa hình học
- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):
+ \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C).\)
+ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
- Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)
+ Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
+ Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)
+ Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).
+ Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
+ Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)
+ Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)
b) Ý nghĩa vật lý
- Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\)
- Cướng độ tức thời của điện lượng \(Q=Q(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là: \(I(t_0)=Q'(t_0).\)
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)
b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)
\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)
Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)
b) \(f(x)=sinx\)
\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)
\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)
\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)
c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)
Ví dụ 2:
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2}\,khi\,\,x \ge 0\\ {(x + 1)^2}\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right..\) Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại x=0.
Hướng dẫn giải:
Chứng minh hàm số liên tục tại x=0:
\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(x - 1)^2} = 1 = f(0)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(x + 1)^2} = 1 = f(0) \end{array}\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0)\) nên hàm số liên tục tại x=0.
Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{{{\left( {\Delta x - 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x - 2} \right) = - 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{{{\left( {\Delta x + 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \left( {\Delta x + 2} \right) = 2\)
Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\)
Nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.
Ví dụ 3:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:
i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)
ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)
b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):
\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)
i) Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.
Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)
ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)
Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)
3. Luyện tập Bài 1 chương 5 giải tích 11
Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất của bài học Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
3.1 Trắc nghiệm về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
Câu 1:
Cho hàm số f(x)=x2+2x,có ∆x là số gia của đối số tại x=1, ∆y là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó ∆y bằng:
- A. (∆x)2+2∆x
- B. (∆x)2+4∆x
- C. (∆x)2+2∆x-3
- D. 3
-
Câu 2:
Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {3x - 2} \), có ∆x là số gia của đối số tại x=2. Khi đó \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) bằng:
- A. \(\frac{{\sqrt {3\Delta x - 2} }}{{\Delta x}}\)
- B. \(\frac{{\sqrt {3\Delta x - 6} }}{{\Delta x}}\)
- C. \(\frac{{\sqrt {3\Delta x + 4} - 2}}{{\Delta x}}\)
- D. \(\frac{{\sqrt {3\Delta x - 2} - 2}}{{\Delta x}}\)
-
Câu 3:
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x + 1}}\). Đạo hàm của hàm số đã cho tại x=1 là:
- A. \(\frac{1}{4}\)
- B. \(\frac{{ - 1}}{2}\)
- C. 0
- D. \(\frac{1}{2}\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 156 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 157 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5.1 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.2 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.3 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.4 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.5 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.6 trang 198 SBT Toán 11
Bài tập 5.7 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.8 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.9 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.10 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 5.11 trang 199 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 192 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 195 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 195 SGK Toán 11 NC
4. Hỏi đáp về bài 1 chương 5 giải tích 11
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
NONEBài học cùng chương
Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác Toán 11 Bài 4: Vi phân Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai Toán 11 Ôn tập chương 5 Đạo hàm Toán 11 Ôn tập cuối năm Phần Đại số và Giải tích ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORKXEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Toán 11
Toán 11 Kết Nối Tri Thức
Toán 11 Chân Trời Sáng Tạo
Toán 11 Cánh Diều
Giải bài tập Toán 11 KNTT
Giải bài tập Toán 11 CTST
Trắc nghiệm Toán 11
Đề thi giữa HK1 môn Toán 11
Ngữ văn 11
Ngữ Văn 11 Kết Nối Tri Thức
Ngữ Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo
Ngữ Văn 11 Cánh Diều
Soạn Văn 11 Kết Nối Tri Thức
Soạn Văn 11 Chân Trời Sáng Tạo
Văn mẫu 11
Đề thi giữa HK1 môn Ngữ Văn 11
Tiếng Anh 11
Tiếng Anh 11 Kết Nối Tri Thức
Tiếng Anh 11 Chân Trời Sáng Tạo
Tiếng Anh 11 Cánh Diều
Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 KNTT
Trắc nghiệm Tiếng Anh 11 CTST
Tài liệu Tiếng Anh 11
Đề thi giữa HK1 môn Tiếng Anh 11
Vật lý 11
Vật lý 11 Kết Nối Tri Thức
Vật Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo
Vật lý 11 Cánh Diều
Giải bài tập Vật Lý 11 KNTT
Giải bài tập Vật Lý 11 CTST
Trắc nghiệm Vật Lý 11
Đề thi giữa HK1 môn Vật Lý 11
Hoá học 11
Hoá học 11 Kết Nối Tri Thức
Hoá học 11 Chân Trời Sáng Tạo
Hoá Học 11 Cánh Diều
Giải bài tập Hoá 11 KNTT
Giải bài tập Hoá 11 CTST
Trắc nghiệm Hoá học 11
Đề thi giữa HK1 môn Hóa 11
Sinh học 11
Sinh học 11 Kết Nối Tri Thức
Sinh Học 11 Chân Trời Sáng Tạo
Sinh Học 11 Cánh Diều
Giải bài tập Sinh học 11 KNTT
Giải bài tập Sinh học 11 CTST
Trắc nghiệm Sinh học 11
Đề thi giữa HK1 môn Sinh 11
Lịch sử 11
Lịch Sử 11 Kết Nối Tri Thức
Lịch Sử 11 Chân Trời Sáng Tạo
Giải bài tập Sử 11 KNTT
Giải bài tập Sử 11 CTST
Trắc nghiệm Lịch Sử 11
Đề thi giữa HK1 môn Lịch Sử 11
Địa lý 11
Địa Lý 11 Kết Nối Tri Thức
Địa Lý 11 Chân Trời Sáng Tạo
Giải bài tập Địa 11 KNTT
Giải bài tập Địa 11 CTST
Trắc nghiệm Địa lý 11
Đề thi giữa HK1 môn Địa lý 11
GDKT & PL 11
GDKT & PL 11 Kết Nối Tri Thức
GDKT & PL 11 Chân Trời Sáng Tạo
Giải bài tập KTPL 11 KNTT
Giải bài tập KTPL 11 CTST
Trắc nghiệm GDKT & PL 11
Đề thi giữa HK1 môn KTPL 11
Công nghệ 11
Công nghệ 11 Kết Nối Tri Thức
Công nghệ 11 Cánh Diều
Giải bài tập Công nghệ 11 KNTT
Giải bài tập Công nghệ 11 Cánh Diều
Trắc nghiệm Công nghệ 11
Đề thi giữa HK1 môn Công nghệ 11
Tin học 11
Tin học 11 Kết Nối Tri Thức
Tin học 11 Cánh Diều
Giải bài tập Tin học 11 KNTT
Giải bài tập Tin học 11 Cánh Diều
Trắc nghiệm Tin học 11
Đề thi giữa HK1 môn Tin 11
Cộng đồng
Hỏi đáp lớp 11
Tư liệu lớp 11
Xem nhiều nhất tuần
Đề thi giữa HK1 lớp 11
Đề thi HK2 lớp 12
Đề thi giữa HK2 lớp 11
Đề thi HK1 lớp 11
Tôi yêu em - Pu-Skin
Video bồi dưỡng HSG môn Toán
Công nghệ 11 Bài 16: Công nghệ chế tạo phôi
Chí Phèo
Chữ người tử tù
Hạnh phúc một tang gia
Văn mẫu và dàn bài hay về bài thơ Đây thôn Vĩ Dạ
Cấp số cộng
Cấp số nhân
YOMEDIA YOMEDIA ×Thông báo
Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.
Bỏ qua Đăng nhập ×Thông báo
Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.
Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>Từ khóa » đạo Hàm Và ý Nghĩa Của đạo Hàm
-
Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Toán 11
-
Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm, Trắc Nghiệm Toán Học Lớp 11
-
Đạo Hàm Là Gì? Ý Nghĩa Và Các Công Thức Tính Đạo ... - Marathon
-
Giải Toán 11 Bài 1: Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm
-
Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Bài 1 - Toán Học 11 - YouTube
-
Đạo Hàm Là Gì? Ý Nghĩa Của đạo Hàm - Minh Nguyen
-
Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Đại Số Và Giải Tích Toán Lớp 11
-
Định Nghĩa, ý Nghĩa, Công Thức Tính đạo Hàm - Abcdonline
-
Giải Toán 11 Bài 1. Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm
-
Đạo Hàm – Wikipedia Tiếng Việt
-
Giải Bài 1: Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm - Tech12h
-
Tiết 64 đến Tiết 66: Định Nghĩa Và ý Nghĩa Của đạo Hàm
-
Giải Toán Lớp 11 Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Trang 156, 157 SGK Đại Số