Toán 12 Bài 2: Hàm Số Lũy Thừa - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán 12 Chương 2: Hàm Số Lũy Thừa Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit Toán 12 Bài 2: Hàm số lũy thừa ADMICRO Lý thuyết10 Trắc nghiệm20 BT SGK 108 FAQ

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các yếu tố liên quan đến hàm số lũy thừa như khái niệm, tập xác định, tính đợn điệu, cách tính đạo hàm, các dạng đồ thị của hàm số lũy thừa qua đó sẽ tạo nên tảng kiến thức phục vụ cho các em trong quá trình giải các dạng bài tập liên quan đến hàm số lũy thừa.

ATNETWORK YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Khái niệm hàm số luỹ thừa

2.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

2.3. Khảo sát hàm số lũy thừa \(y=x^{\alpha}\)

3. Bài tập minh hoạ

4. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Toán 12

4.1. Trắc nghiệm

4.2. Bài tập SGK

5. Hỏi đáp về Bài 2 Chương 2 Toán 12

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Khái niệm hàm số luỹ thừa

- Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý. Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy:

+ Hàm số \(y=x^n\) với n nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

+ Hàm số \(y=x^n\), với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

+ Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)

- Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.

- Chú ý: Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

2.2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

a) Định lý

- Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

- Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}(x).u'(x)\).

b) Chú ý:

- Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).

- Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:

\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)

- Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).

2.3. Khảo sát hàm số lũy thừa \(y=x^{\alpha}\)

- Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\).

- Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:

- Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\):

- Chú ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=x^6\)

b) \(y=(1-x)^{\sqrt2}\)

c) \(y=(x+2)^{-3}\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y=x^6\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}.\)

b) Hàm số \(y=(1-x)^{\sqrt2}\) xác định khi \(1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\).

c) Hàm số \(y=(x+2)^{-3}\) xác định khi \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\)

Ví dụ 2:

Tính đạo hàm các hàm số

a) \(y = {x^{\sqrt 2 + 1}}\)

b) \(y = {x^{3\pi }}\)

c) \(y=x^{-0,9}\)

Lời giải:

a) \(y' = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2} - 1}} = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}.\)

b) \(y' = 3\pi .{x^{3\pi - 1}}\).

c) \(y' = - 0,9{x^{ - 0,9 - 1}} = - 0,9{x^{ - 1,9}}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {(2x + 1)^\pi }\)

b) \(y = {(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 }}\)

c) \(y = {\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{\frac{2}{3}}}\)

Lời giải:

a) \(y' = \pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}(2x + 1)' = 2\pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}.\)

b) \(y' = - \sqrt 2 {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 - 1}}(3{x^2} - 1)' = - 6\sqrt 2 x{(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 - 1}}.\)

c) \(y' = \frac{2}{3}{(2{x^2} + x - 1)^{ - \frac{1}{3}}}(4x + 1).\)

4. Luyện tập Bài 2 Chương 2 Toán 12

Trong bài học Hàm số lũy thừa HỌC247 giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về khái niệm hàm số lũy thừa, đạo hàm của hàm số lũy thừa, khảo sát hàm số lũy thừa. Vận dụng kiến thức đã học để làm một số bài tập liên quan đến hàm số lũy thừa.

4.1 Trắc nghiệm

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {1 - 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\) là:

  • A. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)
  • B. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
  • C. \(\mathbb{R}\)
  • D. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\)

• Câu 2:

  Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)^{\sqrt 2 }}.\)

  • A. \(\left( { - 3;1} \right)\)
  • B. \(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
  • C. \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)
  • D. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

• Câu 3:

  Cho \(\alpha ,\beta\) là các số thực. Đồ thị hàm số \(y = {x^\alpha },y = {x^\beta }\) trên khoảng \((0;+\infty )\) được cho trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A. \(0<\beta <1<\alpha\)
  • B. \(0<\alpha <1< \beta\)
  • C. \(\alpha <0<1<\beta\)
  • D. \(\beta <0<1< \alpha\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

4.2 Bài tập SGK

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 60 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 61 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 61 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 61 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 61 SGK Giải tích 12

Bài tập 2.6 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.7 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.8 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.9 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.10 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.11 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.12 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.13 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 2.14 trang 104 SBT Toán 12

Bài tập 57 trang 117 SGK Toán 12 NC

Bài tập 58 trang 117 SGK Toán 12 NC

Bài tập 59 trang 117 SGK Toán 12 NC

Bài tập 60 trang 117 SGK Toán 12 NC

Bài tập 61 trang 118 SGK Toán 12 NC

Bài tập 62 trang 118 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp Bài 2 Chương 2 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

NONE

Bài học cùng chương

Toán 12 Bài 1: Lũy thừa Toán 12 Bài 3: Lôgarit Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit Toán 12 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit Toán 12 Ôn tập chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

Toán 12

Lý thuyết Toán 12

Giải bài tập SGK Toán 12

Giải BT sách nâng cao Toán 12

Trắc nghiệm Toán 12

Giải tích 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Toán 12

Ngữ văn 12

Lý thuyết Ngữ Văn 12

Soạn văn 12

Soạn văn 12 (ngắn gọn)

Văn mẫu 12

Soạn bài Người lái đò sông Đà

Đề thi giữa HK1 môn Ngữ Văn 12

Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12

Giải bài Tiếng Anh 12 (Mới)

Trắc nghiệm Tiếng Anh 12

Unit 7 Lớp 12 Economic Reforms

Tiếng Anh 12 mới Review 1

Đề thi giữa HK1 môn Tiếng Anh 12

Vật lý 12

Lý thuyết Vật Lý 12

Giải bài tập SGK Vật Lý 12

Giải BT sách nâng cao Vật Lý 12

Trắc nghiệm Vật Lý 12

Vật lý 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Vật Lý 12

Hoá học 12

Lý thuyết Hóa 12

Giải bài tập SGK Hóa 12

Giải BT sách nâng cao Hóa 12

Trắc nghiệm Hóa 12

Hoá Học 12 Chương 4

Đề thi giữa HK1 môn Hóa 12

Sinh học 12

Lý thuyết Sinh 12

Giải bài tập SGK Sinh 12

Giải BT sách nâng cao Sinh 12

Trắc nghiệm Sinh 12

Sinh Học 12 Chương 5

Đề thi giữa HK1 môn Sinh 12

Lịch sử 12

Lý thuyết Lịch sử 12

Giải bài tập SGK Lịch sử 12

Trắc nghiệm Lịch sử 12

Lịch Sử 12 Chương 2 Lịch Sử VN

Đề thi giữa HK1 môn Lịch Sử 12

Địa lý 12

Lý thuyết Địa lý 12

Giải bài tập SGK Địa lý 12

Trắc nghiệm Địa lý 12

Địa Lý 12 VĐSD và BVTN

Đề thi giữa HK1 môn Địa lý 12

GDCD 12

Lý thuyết GDCD 12

Giải bài tập SGK GDCD 12

Trắc nghiệm GDCD 12

GDCD 12 Học kì 1

Đề thi giữa HK1 môn GDCD 12

Công nghệ 12

Lý thuyết Công nghệ 12

Giải bài tập SGK Công nghệ 12

Trắc nghiệm Công nghệ 12

Công nghệ 12 Chương 3

Đề thi giữa HK1 môn Công nghệ 12

Tin học 12

Lý thuyết Tin học 12

Giải bài tập SGK Tin học 12

Trắc nghiệm Tin học 12

Tin học 12 Chương 2

Đề thi giữa HK1 môn Tin học 12

Cộng đồng

Hỏi đáp lớp 12

Tư liệu lớp 12

Xem nhiều nhất tuần

Video: Vợ nhặt của Kim Lân

Video ôn thi THPT QG môn Hóa

Video ôn thi THPT QG môn Văn

Video ôn thi THPT QG môn Toán

Video ôn thi THPT QG môn Sinh

Video ôn thi THPT QG Tiếng Anh

Video ôn thi THPT QG môn Vật lý

Đàn ghi ta của Lor-ca

Tây Tiến

Ai đã đặt tên cho dòng sông

Sóng- Xuân Quỳnh

Khái quát văn học Việt Nam từ đầu CMT8 1945 đến thế kỉ XX

Người lái đò sông Đà

Quá trình văn học và phong cách văn học

Đất Nước- Nguyễn Khoa Điềm

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>