Toán Lớp 8 Bài 27: Đường Trung Bình Của Tam Giác, Của Hình Thang

Bài 27: Đường trung bình của tam giác, của hình thang

A. Lý thuyết

1. Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lý:

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba,

Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Δ ABC,AD = DB,AE = EC ⇒ DE//BC,DE = 1/2BC.

Ví dụ: Cho Δ ABC có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC và BC = 4( cm ). Tính độ dài MN.

Hướng dẫn:

Theo giả thiết ta có M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình của Δ ABC.

Áp dụng định lý 2, ta có MN = 1/2BC.

⇒ MN = 1/2BC = 1/2.4 = 2( cm )

2. Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lý:

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lí 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC và AB = 4( cm ) và CD = 7( cm ). Tính độ dài đoạn EF.

Hướng dẫn:

Ta có hình thang ABCD có E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC

⇒ EF là đường trung bình của hình thang.

Áp dụng định lý 2, ta có EF = (AB + CD)/2

⇒ EF = (AB + CD)/2 = (4 + 7)/2 = 5,5( cm ).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC( AB > AC ) có Aˆ = 500. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BD = AC. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC. Tính BEFˆ = ?

Hướng dẫn:

Do E,F lần lượt là trung điểm của cạnh AD,BC theo giả thiết nên ta vẽ thêm I là trung điểm của CD nên EI, FI theo thứ tự lần lượt là đường trung bình của tam giác ACD và BCD.

Đặt BD = AC = 2a

Áp dụng định lý đường trung bình của hai tam giác trên ta có:

( 1 )      FI//BD       ( 2 )       FI = a

( 3 )      EI = a       ( 4 )      EI//AC

Từ ( 1 ) ⇒ E1ˆ = F1ˆ (vì so le trong)       ( 5 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) ⇒ FI = EI nên E2ˆ = F1ˆ (vì trong tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau)       ( 6 )

Từ ( 5 ) và ( 6 ) ⇒ E1ˆ = E2ˆ

Từ ( 4 ) ⇒ BEIˆ = Aˆ = 500 (vì đồng vị)

Mà BEIˆ = 2E1ˆ ⇒ E1ˆ = 250

Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có AB = 2cm,CD = 5cm,AD = 7cm. Gọi E là trung điểm của BC. Tính AEDˆ = ?

Hướng dẫn:

Đặt E1ˆ = α ,E2ˆ = β ⇒ AEDˆ = α + β

Do E là trung điểm của BC theo giả thiết vẽ I là trung điểm của AD thì AI = ID = AD/2 = 3,5( cm ).       ( 1 )

Ta có EI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Áp dụng định lý đường trung bình của hình thang ABCD ta có:

IE = (AB + CD)/2 = (2 + 5)/2 = 3,5( cm )       ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có (vì trong tam giác, đối diện với hai cạn bằng nhau là hai góc bằng nhau)

+ Xét tam giác ADE có A1ˆ + AEDˆ + D2ˆ = 1800

Hay α + α + β + β = 2( α + β ) = 1800 ⇒ α + β = 900

Do α + β = 900 nên AEDˆ = 900.

B. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Phát biểu nào sau đây sai?

   A. DE là đường trung bình của tam giác ABC.

   B. DE song song với BC.

   C. DECB là hình thang cân.

   D. DE có độ dài bằng nửa BC.

Đáp án

Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC

Hay DE//BC và DE = 1/2BC.

+ Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh bằng nhau và hai cạnh bên bằng nhau nhưng bài toán này hai góc kề một cạnh đáy không bằng nhau

→ Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và DE = 4cm. Biết đường cao AH = 6cm. Diện tích của tam giác ABC là?

   A. S = 24( cm2 )   B. S = 16( cm2 )

   C. S = 48( cm2 )   D. S = 32( cm2 )

Đáp án

Xét tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ DE là đường trung bình của tam giác ABC

Hay DE//BC và DE = 1/2BC ⇒ BC = 2DE = 2.4 = 8( cm )

Khi đó ta có: S = 1/2AH.BC = 1/2.6.8 = 24( cm2 )

Chọn đáp án A.

Bài 3: Chọn phát biểu đúng

   A. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.

   B. Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh đối của hình thoi.

   C. Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng tổng hai hai đáy.

   D. Một hình thang có thể có một hoặc nhiều đường trung bình.

Đáp án

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

→ Đáp án A đúng.

+ Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng của hai đáy.

+ Một hình thang thì chỉ có 1 đường trung bình duy nhất.

Chọn đáp án A.

Bài 4: Với a,b,h lần lượt là độ dài đáy lớn, đáy nhỏ và chiều cao của hình thang thì công thức diện tích của hình thang là ?

   A. S = ( a + b )h

   B. S = 1/2( a + b )h

   C. S = 1/3( a + b )h

   D. S = 1/4( a + b )h

Đáp án

Diện tích hình thang bằng nửa tổng độ dài hai đáy nhân với đường cao của hình thang,

⇒ S = 1/2( a + b )h

Chọn đáp án B.

Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Hỏi có bao nhiêu hình thang trong hình vẽ ?

   A. 7     B. 6

   C. 8     D. 9

Đáp án

* Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra: MN// BC

Do đó, tứ giác MNCP, tứ giác MNPB và tứ giác MNCB là hình thang.

* Tương tự, có MP là đường trung bình của tam giác nên MP// AC

NP là đường trung bình của tam giác nên NP // AB.

Các tứ giác: MPNA; MPCN và MPCA ; NPBA là hình thang.

Vậy có tất cả 7 hình thang

Chọn đáp án A

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC = 8cm. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính MN?

   A. 4cm     B.10cm

   C. 5 cm     D. 7cm

Đáp án

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100

Suy ra: BC = 10cm

Do M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra:

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho hình thang ABCD; AB // CD có M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AB = 7cm và MN = 10cm. Tính CD.

   A. 7cm     B. 17 cm

   C. 4cm     D. 13cm

Đáp án

Xét hình thang ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Suy ra, MN là đường trung bình của hình thang

Do đó:

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho hình thang ABCD có M, N theo thứ tự là trung điểm của AD; AC; cạnh MN cắt BC tại P. Biết CD = 10cm và NP = 3cm. Tính AB

   A. 5cm     B. 6cm

   C. 7cm     D. 6,5 cm

Đáp án

Xét tam giác ACD có M và N lần lượt là trung điểm của AD và AC nên: MN// CD

Vì MN// CD và AB// CD nên: MN// AB

Suy ra: NP // AB

Xét tam giác ABC có N là trung điểm của AC và NP// AB nên P là trung điểm của BC

Suy ra: NP là đường trung bình của tam giác ABC

Do đó: AB = 2NP = 2.3 = 6cm

Chọn đáp án B

Bài 9: Cho tam giác ABC có BC = 16 cm. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD và EC. Tính MN?

   A. 9cm     B. 8cm

   C. 10cm     D. 12cm

Đáp án

* Xét tam giác ABC có D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác.

Suy ra: DE// BC và

* Xét tứ giác DECB có DE // BC nên DECB là hình thang.

Lại có: M và N lần lượt là trung điểm của BD và EC nên MN là đường trung bình của hình thang .

Chọn đáp án D

Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm và BC = 10cm. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại N. Tính MN?

   A. 4cm     B. 5cm

   C. 6cm     D. 3cm

Đáp án

* Ta có: AB2 + AC2 = BC2 (62 + 82 = 102 = 100)

Suy ra: tam giác ABC vuông tại A

⇒ AB ⊥ AC

* Lại có: MN ⊥ AB nên MN // AC.

* Vì MN // AC và M là trung điểm của BC nên N là trung điểm của AB.

Khi đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC .

Chọn đáp án A