Tóm Tắt Một Số Kiến Thức Về Giải Tích Vector (P3) | POL

Trang chủ » Toán Tử Div Rot Grad » Tóm Tắt Một Số Kiến Thức Về Giải Tích Vector (P3) | POL

Có thể bạn quan tâm

3. Trường vector và trường vô hướng:

3.1 Trường vector và trường vô hướng (Vector field & Scalar field)

Trường vector Trường vô hướng
Mỗi điểm trong không gian gắn với 1 vector Mỗi điểm trong không gian gắn với một số vô hướng
\vec{F}(M) = P(M)\vec{i}+Q(M)\vec{j}\\+R(M)\vec{j} f(M)
– ví dụ:+ vân tốc dòng nước chảy trong chất lỏng+ điện trường+ lực hấp dẫn – ví dụ:+ phân bố áp suất trong chất lỏng+ điện thế+ thế năng hấp dẫn

3.2 Gradient – Rota (Curl) – Divergence:

Về mặt hình thức, ta có thể định nghĩa “Vector” Nabla (Del): \vec{\nabla}=\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z} (trong hệ tọa độ Descartes).

Gradient Rota Divergence
grad rot div
tác động lên 1 trường vô hướng tác động lên 1 trường vector tác động lên 1 trường vector
sinh ra 1 trường vector sinh ra 1 trường vector sinh ra 1 trường vô hướng
Xác định tốc độ và hướng sự biến thiên của trường vô hướng Xác định độ quay của một vector tại một điểm trong trường (liên quan đến độ đổi hướng) Xác định tốc độ biến thiên về độ lớn của vector trong trường
\vec{grad}f=\vec{\nabla}f rot\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F} div\vec{F}=\vec{\nabla}\vec{F}
nhân “Nabla” với vô hướng nhân hữu hướng “Nabla” với vector nhân vô hướng “Nabla” với vector
\vec{grad}(\lambda_{1}f+\lambda_{2}g)\\=\lambda_{1}\vec{grad}f\\+\lambda_{2}\vec{grad}g rot(\lambda_{1}\vec{F}+\lambda_{2}\vec{G})\\=\lambda_{1}rot\vec{F}\\+\lambda_{2}rot\vec{G} div(\lambda_{1}\vec{F}+\lambda_{2}\vec{G})\\=\lambda_{1}div\vec{F}\\+\lambda_{2}div\vec{G}
\vec{grad}(fg)\\=f.\vec{grad}g\\+g.\vec{grad}f

3.3 Laplacian của một hàm số:

Giả sử ta có hàm số f = f(x), Laplacian của một hàm số được định nghĩa là:\Delta f=\nabla^2 f=div(\vec{grad}f)

Trong hệ tọa độ Descartes thì \Delta =(\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}).(\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}).

Do đó, ta có: \Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Ta có một số tính chất của Laplacian:

1. \Delta (\lambda_{1}.f+\lambda_{2}.g)=\lambda_{1}\Delta f+\lambda_{2}\Delta g

2. \Delta (f.g)=f.\Delta g+2\nabla f.\nabla g+g.\Delta f

3.4 Một số tính chất của Gradient – Rota – Divergence và Laplacian:

div(\vec{F}\times\vec{G}=\vec{G}.rot\vec{F}-\vec{F}.rot\vec{G}.

div(\vec{grad}f) = \Delta f.

rot(\vec{grad}f)=0.

div(rot\vec{F})=0.

rot(rot\vec{F})=\vec{\nabla}(\vec{\nabla}.\vec{F})-\vec{\nabla}^2\vec{F}.

Ngoài ra còn nhiều hệ thức khác với lưu ý là xem “nabla” như một vector.

3.5 Vector Nabla – Gradient – Rota (Curl) – Divergence – Laplacian trong các hệ tọa độ:

3.5.1 Hệ tọa độ Descartes:

Vector Nabla trong tọa độ Descartes:

\vec{\nabla}=\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}

Đạo hàm của các vector đơn vị:

\frac{\partial \vec{i}}{\partial x}=0,\frac{\partial \vec{i}}{\partial y}=0,\frac{\partial \vec{i}}{\partial z}=0\\\frac{\partial \vec{j}}{\partial x}=0,\frac{\partial \vec{j}}{\partial y}=0,\frac{\partial \vec{j}}{\partial z}=0\\\frac{\partial \vec{k}}{\partial x}=0,\frac{\partial \vec{k}}{\partial y}=0,\frac{\partial \vec{k}}{\partial z}=0

Gradient trong tọa độ Descartes:

\vec{grad}f=\vec{\nabla}f=\vec{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial f}{\partial z}.

Rota trong tọa độ Descartes:

rot\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F}=\vec{i}(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z})+\vec{j}(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x})+\vec{k}(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y})

Divergence trong tọa độ Descartes:

div\vec{F}=\vec{\nabla}.\vec{F}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}

Laplacian trong tọa độ Descartes:

\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Tham khảo thêm ở: http://mathworld.wolfram.com/CartesianCoordinates.html

3.5.2 Hệ tọa độ trụ:

Trong hệ tọa độ trụ (r,\theta,z), ta có:

Quan hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes:

\left\{\begin{matrix}x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \\ z = z\end{matrix}\right..

Từ đây ta rút ra quan hệ giữa các đạo hàm riêng như sau:

\frac{\partial}{\partial r}=\cos \theta \frac{\partial}{\partial x}+\sin \theta \frac{\partial}{\partial y}.

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}=-\sin \theta \frac{\partial}{\partial x}+\cos \theta \frac{\partial}{\partial y}.

\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}.

hay từ tọa độ Descartes, biểu diễn theo tọa độ trụ:

\frac{\partial}{\partial x}=\cos \theta\frac{\partial}{\partial r}-\sin \theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}.

\frac{\partial}{\partial y}=\sin \theta\frac{\partial}{\partial r}+\cos \theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}.

\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}.

Các vector đơn vị của hệ tọa độ trụ:

\vec{{e}_{r}}=\cos \theta \vec{i}+\sin \theta \vec{j}\\\vec{{e}_{\theta }}= - \sin \theta \vec{i}+\cos \theta \vec{j}\\\vec{{e}_{z}}=\vec{k}

Từ đó ta biểu diễn các vector đơn vị của tọa độ Descartes như sau:

\vec{i}=\cos \theta \vec{{e}_{r}}-\sin \theta \vec{{e}_{\theta }}\\\vec{j}=\sin \theta \vec{{e}_{r}}+\cos \theta \vec{{e}_{\theta }}\\\vec{k}=\vec{{e}_{z}}.

Vector Nabla trong tọa độ trụ:

Từ \vec{\nabla}=\vec{i}\frac{\partial}{\partial x}+\vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+\vec{k}\frac{\partial}{\partial z}, ta thay các biểu thức vector đơn vị và đạo hàm riêng tìm được ở trên vào, ta có được:

\vec{\nabla}=\vec{{e}_{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{{e}_{\theta }}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta }+\vec{{e}_{z}}\frac{\partial}{\partial z}

Đạo hàm của các vector đơn vị:

\frac{\partial \vec{e_{r}}}{\partial r}=0,\frac{\partial \vec{e_{r}}}{\partial \theta }=\vec{e_{\theta }},\frac{\partial \vec{e_{r}}}{\partial z}=0\\\frac{\partial \vec{e_{\theta }}}{\partial r}=0,\frac{\partial \vec{e_{\theta }}}{\partial \theta }=-\vec{e_{r}},\frac{\partial \vec{e_{\theta }}}{\partial z}=0\\\frac{\partial \vec{e_{z}}}{\partial r}=0,\frac{\partial \vec{e_{z}}}{\partial \theta }=0,\frac{\partial \vec{e_{z}}}{\partial z}=0

Gradient trong tọa độ trụ:

\vec{grad}f=\vec{\nabla}f=\vec{{e}_{r}}\frac{\partial f}{\partial r}+\vec{{e}_{\theta }}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+\vec{{e}_{z}}\frac{\partial f}{\partial z}

Rota trong tọa độ trụ:

rot\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F}\\=\vec{e_{r}}(\frac{1}{r}\frac{\partial F_{z}}{\partial \theta }-\frac{\partial F_{\theta }}{\partial z})+\vec{e_{\theta }}(\frac{\partial F_{r}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial r})+\vec{e_{z}}\frac{1}{r}(\frac{\partial (rF_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \theta})

Divergence trong tọa độ trụ:

div\vec{F}=\vec{\nabla}.\vec{F}=\frac{1}{r}\frac{\partial (rF_{r})}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}

Laplacian trong tọa độ trụ:

\Delta=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta ^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.

Tham khảo thêm ở: http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html

3.5.3 Hệ tọa độ cầu:

Trong hệ tọa độ cầu(r,\theta,\varphi), tương tự ở trên, ta có các kết quả sau:

Vector Nabla trong tọa độ cầu:

\vec{\nabla}=\vec{{e}_{r}}\frac{\partial}{\partial r}+\vec{{e}_{\theta }}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta }+\vec{{e}_{\varphi }}\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}

Đạo hàm của các vector đơn vị:

\frac{\partial \vec{e_{r}}}{\partial r}=0,\frac{\partial \vec{e_{r}}}{\partial \theta }=\vec{e_{\theta }},\frac{\partial \vec{e_{r}}}{\partial \varphi }=\sin \theta\vec{e_{\varphi }}\\\frac{\partial \vec{e_{\theta }}}{\partial r}=0,\frac{\partial \vec{e_{\theta }}}{\partial \theta }=-\vec{e_{r}},\frac{\partial \vec{e_{\theta }}}{\partial \varphi }=\cos \theta\vec{e_{\varphi }}\\\frac{\partial \vec{e_{\varphi }}}{\partial r}=0,\frac{\partial \vec{e_{\varphi }}}{\partial \theta }=0,\frac{\partial \vec{e_{\varphi }}}{\partial \varphi }=-\cos \theta\vec{e_{\theta }}-\sin \theta\vec{e_{r}}

Gradient trong tọa độ cầu:

\vec{grad}f=\vec{\nabla}f=\vec{{e}_{r}}\frac{\partial f}{\partial r}+\vec{{e}_{\theta }}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }+\vec{{e}_{\varphi }}\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}

Rota trong tọa độ cầu:

rot\vec{F}=\vec{\nabla}\times\vec{F}\\=\vec{e_{r}}\frac{1}{r\sin \theta}(\frac{\partial (\sin \theta F_{\varphi })}{\partial \theta }-\frac{\partial F_{\theta }}{\partial \varphi })+\vec{e_{\theta }}\frac{1}{r}(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial F_{r}}{\partial \varphi }-\frac{\partial (rF_{\varphi })}{\partial r})\\+\vec{e_{\varphi }}\frac{1}{r}(\frac{\partial (rF_{\theta})}{\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{\partial \theta})

Divergence trong tọa độ cầu:

div\vec{F}=\vec{\nabla}.\vec{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2F_{r})}{\partial r}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial (\sin \theta F_{\theta })}{\partial \theta }+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }

Laplacian trong tọa độ cầu:

\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta }(\sin \theta\frac{\partial}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2\sin ^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}.

Tham khảo thêm ở:

http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html

Chia sẻ:

  • Twitter
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Toán Tử Div Rot Grad