Trong Không Gian Với Hệ Tọa độ Oxyz, Cho Mặt Cầu (S): (x-1)^2+ (y-2 ...

1. Hệ tọa độ trong không gian

1.1. Tọa độ của điểm và của vecto

1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Ozvuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i→;j→;k→ lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì i→;j→;k→ là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

i→2=j→2=k→2=  1.

1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i→;j→;k→ không đồng

phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

O⁢M→=x.i→⁢ +y.j→+z.k→

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức O⁢M→=x.i→+y.j→+z.k→.

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto a→, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2 ; a3) sao cho a→=a1.i→+a2.j→+a3.k→.

Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước a→ và viết a→ = (a1; a2 ; a3) hoặc a→(a1; a2 ; a3).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto O⁢M→.

Ta có: M(x; y; z) ⇔O⁢M→⁢(x;y;z)

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

a→⁢⁢ =(a1;a2;a3),b→⁢⁢ =(b1;b2;b3),k∈⁢R, ta có:

a) a→+b→=(a1+b1;a2+b2;a3+b3)

b) a→-b→=(a1-b1;a2-b2;a3-b3);

c) k⁢a→=(k⁢a1;k⁢a2;k⁢a3).

Ví dụ 1. Cho u→⁢(2;-3; 4);v→⁢(  4;-2;0)

a) Tính u→+v→;

b) 2⁢v→;

c) u→-2⁢v→.

Lời giải:

a) u→+v→=(2+  4;-3-2; 4+0)=(6;-5;  4) ;

b) Ta có: 2⁢v→ = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: u→-2⁢v→ = ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4)

- Hệ quả:

a) Cho hai vecto a→⁢ =(a1;a2;a3),b→⁢ =(b1;b2;b3), ta có:

a→⁢=b→⇔{a1=b1a2=b2a3=b3.

b) Vecto 0→ có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với b→≠0→ thì hai vecto a→;b→ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

a→ =kb→(k∈R)

⇔{a1=kb1a2=kb2a3=kb3⇔a1b1=a2b2=a3b3,(b1,b2,b3≠0)

d) Cho A⁢(xA;yA;zA),B⁢(xB;yB;zB)

+ A⁢B→⁢ =(xB-xA;yB-yA;zB-zA)

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M⁢(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2)

Ví dụ 2. Cho u→⁢(2⁢m; 3;-1);v→⁢(4;  3;n-2). Tìm m và n để u→=v→

Lời giải:

Để u→=v→

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) u→⁢(  2;3;7);v→⁢(-4;-6;  14);

b) a→⁢( 1; 0;  2);b→⁢(-3;0;-6).

Lời giải:

a) Ta thấy 2-4=3-6≠714

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: b→=-3⁢a→ nên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính A⁢B→;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: A⁢B→ = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b)Tọa độ trung điểm M của AB là:

{xM=-3+(-1)2=-2yM=4+ 02=2zM=0+  82= 4⇒M⁢(-2;2;4)

1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto a→⁢⁢ =(a1;a2;a3),b→⁢⁢ =(b1;b2;b3) được xác định bởi công thức:

a→.b→=a1.b1+a2.b2+a3.b3

Ví dụ 5. Cho a→⁢(1;-3;4);b→⁢(1;2;1). Tính a→.b→?

Lời giải:

Ta có: a→.b→ =1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1

1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto a→⁢ =(a1;a2;a3).

Ta biết rằng: |a→|2=a→2 hay |a→|=a→2. Do đó, |a→|=a12+a22+a22

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(xA ; yA ; zA)

và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của

vecto A⁢B→. Do đó, ta có:

A⁢B=|A⁢B→|=(xB-xA)2+(yB-yA)2+(zB-zA)2.

c) Góc giữa hai vecto.

Nếu φ là góc góc giữa hai vecto a→=(a1;a2;a3) và b→=(b1;b2;b3) với a→;b→≠0→ thì cos⁡(a→,b→)=a→.b→|a→|.|b→|=a1⁢b1+a2⁢b2+a3⁢b3a12+a22+a32.b12+b22+b32

Từ đó, suy ra a→⁢⊥b→⇔a1⁢b1+a2⁢b2+a3⁢b3=0

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

A⁢B=(2-2)2+(1-3)2+(0-1)2=5 AC=(0-2)2+(-1-3)2+(2-1)2=21

b) Ta có: A⁢B→⁢(0;-2;-1);A⁢C→⁢(-2;-4;1)

Cosin của góc A là:

cos⁡A=cos⁡(A⁢B→;A⁢C→)=0.(-2)+(-2).(-4)+(-1)⁢.15.21=7105

1.4. Phương trình mặt cầu

- Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a2 + b2 + c2 – r2

Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r=A2+B2+C2-D.

Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 2z + 2 = 0

Lời giải:

a) Ta có:a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính R=22+(-1)2+ 02