Trong Một đường Tròn, đường Kính Vuông Góc Với Một Dây Thì đi Qua ...

Bài 14 a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Bài 14 trang 72 sgk Toán lớp 9 tập 2 – Bài 2. Liên hệ giữa cung và dây

Nội dung chính Show

• CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
• A. đi qua trung điểm
• B. đi qua giao điểm của dây ấy với đường tròn
• D. đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ 2 : 3
• Video liên quan

Bài 14 

a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại

Hướng dẫn giải:

a. Vì \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\), suy ra \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\) \(⇒ IA = IB\)

Ta có: \(OA = OB =\) bán kính. Suy ra đường kính \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Vậy \(HA = HB\) (đpcm)

Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Chứng minh: Vì \(∆ AOB\) cân tại \(O\) và \(HA = HB\) nên \(OH\) là đường phân giác của góc \(\widehat{AOB}\). Suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Từ đó suy ra \(\overparen{IA}\) =  \(\overparen{IB}\)

Tuy nhiên điều này không thể xảy ra khi dây \(AB\) đi qua tâm \(O\) của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là:

Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Quảng cáo

b. Ta có: \(\overparen{IA}\) =  \(\overparen{IB}\) (gt) \(⇒ IA = IB\)

Điều này chứng tỏ rằng điểm \( I\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (1)

Ta có  \(OA = OB =\)  bán kính

Điều này chứng tỏ rằng điểm \(O\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) (2)

Từ (1) và (2) chứng tỏ rằng \(OI\) hay \(IK\) là đường trung trực của dây \(AB\). Suy ra \(IK \bot AB\).

* Điều ngược lại: Đường kính vuông góc ở dây khi qua tâm thì đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Kẻ đường kính \(KOI\) vuông góc với \(AB\).

Ta có \(OA = OB ⇒ ∆OAB\) cân tại \(O\)

Mà \(OH \bot AB\) nên \(OH\) là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\) suy ra \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Ta có \(∆OAI = ∆OBI\) (c.g.c). Do đó \(AI = IB\). Suy ra \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\).

Vậy \(I\) là điểm chính giữa của \(\overparen{AB}\)

Đáp án A

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

1. Các kiến thức cần nhớ

a. So sánh độ dài của đường kính và dây

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

b. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$.

+ Đường kính $DE$ đi qua trung điểm $H$ của dây $AB$, khi đó \(DE \bot AB\) tại $H$.

+ Đường kính $DE$ vuông góc với dây $AB$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm của dây $AB$ hay $HA=HB$.

c. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

- Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ với hai dây $AB$, $CD$

+ $AB=CD$ \( \Leftrightarrow \) $OF=OE$

+  $AB>CD$ \( \Leftrightarrow \) $OF>OE$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố liên quan.

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức sau:

+) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức sau:

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

- Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn,

- Chứng minh hai tam giác bằng nhau, quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác.

18/08/2021 849

A. đi qua trung điểm

Đáp án chính xác

B. đi qua giao điểm của dây ấy với đường tròn

D. đi qua điểm chia dây ấy thành hai phần có tỉ lệ 2 : 3

Cho tam giác $ABC$ nhọn và có các đường cao $BD,CE$.  So sánh $BC$ và $DE$ .

1. So sánh độ dài của đường kính và dây.

Định lý:

Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Xét đường tròn \(\left( {O,R} \right):A \in \left( O \right),B \in \left( O \right) \Rightarrow AB \le 2R\)

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. 

Định lý 1:

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì qua trung điểm của dây ấy.

Xét \((O,R)\):

\(CD\) là đường kính

\(AB\) là dây cung

\(CD \bot AB\) tại \(H\)

\(=> H\) là trung điểm của \(AB\)

Định lý 2:Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

 

Xét \((O,R)\):

\(CD\) là đường kính

\(AB\) là dây cung, \(O \notin AB\)

\( H\) là trung điểm của \(AB\), \(H \in CD\)

\(=> \) \(CD \bot AB\) tại \(H\)

3. Các dạng toán thường gặp

Tính độ dài đoạn thẳng và các yếu tố liên quan.

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức sau:

+) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

+) Dùng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

 a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung căng cung ấy. Mệnh đề đảo có đúng không? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng.

b) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.

“Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì…với dây ấy”. Điền vào dấu…cụm từ thích hợp

 

A. nhỏ hơn

B. bằng

C. song song

D. vuông góc

“Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì…với dây ấy”. Điền vào dấu…cụm từ thích hợp

A. nhỏ hơn

B. bằng

C. song song

D. vuông góc

Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.

Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.

Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.