Tứ Giác Nội Tiếp | Chuyên đề Toán Lớp 9 Hay Nhất Tại VietJack

Tứ giác nội tiếp

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 25-12 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

• Tứ giác nội tiếp và cách giải bài tập
• Cách chứng minh tứ giác nội tiếp cực hay, chi tiết
• Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay
• Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy

• Phương pháp giải Tứ giác nội tiếp
• Bài tập tự luận Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp

A. Phương pháp giải

1. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

Quảng cáo

2. Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng .

3. Nếu trong một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

4. Nếu một tứ giác lồi có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

B. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho ΔABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCEF nội tiếp.

b) HA.HD = HB.HE = HC.HF.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o

Suy ra các điểm E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp.

b) Vẽ đường tròn đường kính BC. Xét ΔBHF và ΔCHE có:

+) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp cùng chắn ).

+) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh).

Suy ra ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g)

BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1)

Chứng minh tương tự ta có:

HA.HD = HB.HE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF.

Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH. Các điểm M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:

a) AM.AB = AN.AC.

b) Tứ giác BMNC nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∠AMH = ∠ANH = 90o (gt)

Suy ra các điểm M, N cùng thuộc đường tròn đường kính AH nên:

∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mặt khác: ∠AHN = ∠ACH

Do đó ΔAMN ∼ ΔACB (g.g) => AM/AC = AN/AB hay AM.AB = AN.AC.

b) Theo chứng minh câu a) ta có:

∠AMN = ∠ACH

Suy ra ∠BMN + ∠ACH = ∠BMN + ∠AMN = 180o

Vậy tứ giác BMNC nội tiếp.

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc. Các điểm O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Gọi D là giao điểm khác của A của đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp ΔABC .

Ta có: ∠BID = ∠IAB + ∠ABI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠B

∠CID = ∠IAC + ∠ACI = 1/2 ∠A + 1/2 ∠C

Do đó: ∠BIC = ∠BID + ∠CID = 1/2 ∠A + 1/2∠B + 1/2∠C + 1/2∠A =1/2∠A + 90o

Mặt khác: ∠BOC = 2∠A = 120o.

Do đó hai điểm I và O cùng nhìn đoạn BC dưới những góc bằng nhau. Ngoài ra hai điểm I và O cùng thuộc nửa mặt phẳng chứa A, bờ BC. Do đó B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có ∠A > ∠B > ∠C. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với cạnh AB, AC tại M và N. Gọi P và Q lần lượt là các giao điểm của CI, BI với đường thẳng MN. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác INQC nội tiếp.

b) Tứ giác BPQC nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC tại M và N nên AM = AN

=> ΔAMN cân tại A.

Ta có: ∠CNQ = ∠ANM (đối đỉnh)

= (180o - ∠A)/2 =(∠B + ∠C)/2

=∠IBC + ∠ICB = ∠CIQ

Tứ giác INQC có hai điểm liên tiếp I và N cùng nhìn cạnh QC dưới các góc bằng nhau nội tiếp được một đường tròn.

b) Vì INQC là tứ giác nội tiếp nên ∠INC = ∠IQC

Vì AC tiếp xúc với đường tròn (I) tại N nên IN ⊥ AC hay ∠INC = 90o

Suy ra ∠IQC = 90o (1)

Chứng minh tương tự câu a) ta có tứ giác IMPB nội tiếp

=> ∠IMB = ∠IPB = 90o

Từ (1) và (2) suy ra: ∠BPC = ∠BQC = 90o nên tứ giác BPQC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có ∠BAD = 90o, có tâm là O. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên BD, AD, AB. Chứng minh bốn điểm M, N, P, O cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Ta có: ∠CPA = ∠CNA = 90o (gt) nên tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC.

Suy ra ∠PON = 2∠PCN

Lại có: ∠PCN + ∠NAP = 180o

=> ∠PCN = 180o - ∠NAP = ∠ABC (do AD // BC)

Do đó ∠PON = 2∠ABC (1)

Mặt khác ∠PMN = 180o - (∠PMB + ∠NMD)

Mà tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn đường kính CD nên:

∠NMD = ∠NCD = 90o - ∠CDN = 90o - ∠ABC

Lại có tứ giác BCMP nội tiếp đường tròn đường kính BC nên:

∠PMB = ∠PCB = 90o - ∠ABC

=> ∠PCB = 180o - (90o - ∠ABC + 90o - ∠ABC) = 2∠ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠PON = ∠PMN do đó tứ giác POMN nội tiếp.

Tham khảo thêm các Chuyên đề Toán lớp 9 khác:

• Góc có đỉnh bên trong, góc có đỉnh bên ngoài đường tròn
• Cung chứa góc
• Tứ giác nội tiếp

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

• Chuyên đề Đại Số 9
• Chuyên đề: Căn bậc hai
• Chuyên đề: Hàm số bậc nhất
• Chuyên đề: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Chuyên đề: Phương trình bậc hai một ẩn số
• Chuyên đề Hình Học 9
• Chuyên đề: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Chuyên đề: Đường tròn
• Chuyên đề: Góc với đường tròn
• Chuyên đề: Hình Trụ - Hình Nón - Hình Cầu

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):

• Giải mã đề thi vào 10 theo đề Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh (300 trang - từ 99k/1 cuốn)
• Bộ đề thi thử 10 chuyên (120 trang - từ 99k/1 cuốn)
• Cấp tốc 7,8,9+ Toán Văn Anh thi vào 10 (400 trang -từ 119k)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi vào 10 Toán Văn Anh của Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh... có lời giải

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 9 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
• Lớp 9 Kết nối tri thức
• Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 9 - KNTT
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
• Giải sgk Tin học 9 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
• Lớp 9 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 9 - CTST
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
• Giải sgk Tin học 9 - CTST
• Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
• Lớp 9 Cánh diều
• Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều