TUYEN TAP CAC BAT DANG THUC THUONG GAP - Tài Liệu Text

Tải bản đầy đủ (.docx) (18 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Lớp 10
>>
3. Hóa học

TUYEN TAP CAC BAT DANG THUC THUONG GAP

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (207.88 KB, 18 trang )

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng √ a+ √ b> √a+ b Giải: √a+ b ¿2 Cách 1: Ta có: √ a+ √ b ¿ 2> ¿ √ a+ √ b> √a+ b ⇔ ¿ ⇔ a+ 2 √ ab+ b>a+ b ⇔ 2 √ ab> 0 (Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2 √ ab>0 ) Vậy √ a+ √ b> √ a+ b √ a+ √b ¿ 2 ¿ Cách 2: (vì 22 √ ab>0 ) ¿ √ a+ √ b=√ ¿ 1 10 ≥ 2) Chứng minh rằng: x2 + 3 + 2 x +3 3 Giải: 2 1 x +3 Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có: 2 9 x +3 1 x 2 +3 1 8 x 2 +3 1 8 2 8 10 x 2+3+ 2 = + 2 + ( x2 +3) ≥2 . 2 + .3= + = 9 9 x +3 9 3 3 3 x +3 x +3 9 3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ b+c a+ c a+b 2 Giải: a b c 3 + + ≥ b +c a+ c a+b 2 a 1 b 1 c 1 ⇔ − + − + − ≥0 b+c 2 a+c 2 a+b 2 2 a − b −c 1 2 b − a− c 1 2 c − a −b 1 ⇔ − + − + − ≥0 b+ c 2 a+ c 2 a+b 2 a −b a − c b −a b −c c − a c −b ⇔ + + + + + ≥0 b+c b+c a+c a+ c a+b a+b 1 1 1 1 1 1 ⇔ (a− b) − +(a −c ) − +(b − c) − ≥0 b+c a+c b+c a+ b a+c a+b a−b a− c b −c ⇔ (a −b) . +(a − c). +( b− c). ≥0 (b+c )(a+ c) ( a+b)(b+ c) (a+ c)(a+ b) 2 a −b ¿ ¿ a − c ¿2 ¿ 2 b − c ¿ (BĐT đúng) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ a b c 3 + + ≥ Vậy b+c a+ c a+b 2 4) Cho a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1 2 Ta có: a + b 1 a+b ¿ ≥ 1 ⇒¿ 2 Mà (a – b) 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1. √. (. ). (. ). (. ). <span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 2. 2. 2. ⇒a +2 ab+ b +a −2 ab+b ≥ 1 ⇒ 2(a2 +b 2) ≥1 1 ⇒( a2+ b2 )≥ 2 5) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab Giải: Ta có: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab √ c (a − c)+ √ c (b −c )¿ 2 ≤ √ ab2 ⇔¿ 2 2 ⇔ √ a −c √ c+ √ c √ b −c ¿ ≤ √ ab ¿ Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki √ a −c √ c+ √ c √ b −c ¿2 ≤ (a −c +c )(c +b − c)=ab=√ ab2 ¿ Vậy √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab 6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 a , b , c ≤ 2 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: a2 +b 2+ c 2 ≤ 5 Giải: ¿ ⇒ a ,b , c ≥ 0 2 −a ,2 −b , 2 −c ≥ 0 ¿ ⇒ 0 a,b,c≤2 abc ≥0 (2 −a)(2 −b)(2 − c) ≥0 ¿ ¿{ ¿ ⇒ abc+( 2− a)(2− b)(2 −c )≥ 0 ⇔abc +8 − 4 a − 4 b − 4 c +2 ab+2 bc+2 ac − abc ≥0 ⇔ −2(ab+ bc +ac) ≤8 − 4 (a+ b+c)=− 4 2 ⇒ a + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) 32 − 4=5 7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0 Giải: Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c 2 2 ⇒ a (b + c) > a . a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c ⇒ a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm) 8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác) ⇒ a+a<a+b+c ⇒ 2a < 2 ⇒ a < 1. Tương tự b < 1, c < 1 Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 ⇔ (1 – b – a + ab)(1 - c) > 0 ⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 ⇔ 1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0 Nên abc < -1 + ab + bc + ca ⇒ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2). <span class='text_page_counter'>(3)</span> a3 +b3 a+b ≥ 2 2. Giải: a3 +b3 a+b ≥ 2 2. 3. ( ). ⇔. 3. ( ). 9) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a3 +b 3 a+b 3 − ≥0 2 2. ( ) 2. 2. (a+b)(a − ab+b ) a+b 3 − ≥0 2 2 (a+ b)(a2 −ab+ b2) a+ b 3 ⇔ − ≥0 2 2 a+b a+b 2 ⇔ . (a2 −ab+ b2 )− 2 2 2 2 2 2 a+b 4 a − 4 ab+4 b −(a + 2ab +b ) ⇔ . ≥0 2 4 ⇔ (a+b)(4 a 2 − 4 ab+ 4 b 2 − a2 − 2 ab −b2 )≥ 0 ⇔ (a+b)(3 a2 − 6 ab+3 b2 )≥ 0 a −b ¿ 2 ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔ 3( a+b) ¿ a3 +b3 a+b 3 ≥ Vậy 2 2 10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + b Giải: Ta có: a2 + b2 2ab 2 b +1 2b a2 + 1 2a ⇒ 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b) ⇔ (a2 + b2 + 1) ab + a + b 11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z Giải: Vì x,y,z 0 và x + y + z = 1 ⇒ x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0 Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có: 2 1− x +1 − y (1-x)(1-z) 2 ⇔ 4(1-x)(1-z) (1+y)2 ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) 1 1 1 + + ≥9 12) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì a b c Giải: 1 1 1 1 1 1 ⇔ (a+b +c) + + ≥ 9 (vì a+b+c=1) + + ≥9 Ta có: a b c a b c a a b b c c ⇔ 1+1+1+ + + + + + ≥ 9 b c a c a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥6 b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: a b b c c a a b b c c a + + + + + ≥2 . +2 . +2 . b a c b a c b a c b a c a b b c c a ⇔ + + + + + ≥ 2+ 2+ 2=6 b a c b a c ⇔. [. ( ) ( ) ( )]. ( ). (. ). (. √. √. ). √. 4(1-x)(1-y)(1-z). <span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 1 + + ≥9 a b c 13) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) Giải: a) Ta có: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca ⇔ 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) ⇔ (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca) Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: a<b+c; b<c+a;c<a+b ⇒ a . a< a(b+ c); b .b <b(c+ a); c . c< c(a+b) ⇒ a 2< ab+ac ; b 2< bc + ba ; c 2< ca+ cb 2 2 2 ⇒ a + b +c <2(ab+ bc+ ac) Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1+b2 2 √ 1. b2=2 b Tương tự: 1+c2 2c ; 1+a2 2a 2 2 2 ⇒ a(1+b ) + b(1+c ) + c(1+a ) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) 1 14) Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì x2 + y2 + z2 3 Giải: 1 Ta có: x2 + y2 + z2 3 1 1 1 2 ⇔ x 2+ + y 2 + + z 2 + − ≥ 0 9 9 9 3 1 1 1 1 1 1 2 2 ⇔ x 2 − 2. x . + + y 2 − 2. y . + + z 2 − 2. z . + + ( x + y + z )− ≥0 3 9 3 9 3 9 3 3 1 2 2 z − ¿ 2+ . 1− ≥ 0 3 3 3 ¿ 1 2 y − ¿ +¿ 3 1 x − ¿ 2+ ¿ 3 ⇔¿ 1 2 2 2 z − ¿ + .1 − ≥ 0 3 3 3 1 2 y − ¿ +¿ 3 1 x − ¿2 +¿ 3 ⇔¿ 1 2 z− ¿ ≥0 3 1 y − ¿2 +¿ (là bất đẳng thức đúng) 3 1 2 x − ¿ +¿ 3 ⇔¿ 15) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì. <span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a b c √ ab √ bc √ ca. Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1 1 1 1 2 + ≥2 . = a b a b √a . b 1 1 1 1 2 + ≥2 . = b c b c √b . c 1 1 1 1 2 + ≥2 . = c a c a √c . a 1 1 1 1 1 1 + + ) ⇒ 2( + + )≥2( a b c √ ab √ bc √ca 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + ⇔ a b c √ ab √ bc √ ca. √ √ √. 16) Cho a. 0, b. 0. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4. 0,c. Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2. abc(a + b + c). 2ab hai lần. 17) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi số thực x,y khác 0 x 2 y2 x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. (. 2. 2. x y x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. Giải: Ta có:. (. x2 y2 ⇔ ( 2 + 2 +2)+2 − y x. 3. ). ( xy + yx ). 2. ). 0. x y x y + −1+3 −3 + ≥ 0 y x y x x y x y x y ⇔ + +1 + −1 −3 + − 1 ≥ 0 y x y x y x x y x y ⇔ + −1 + −2 ≥ 0 y x y x x2 + y 2 − xy x2 + y 2 −2 xy ⇔ . ≥0 xy xy ⇔. (. ). (. (. )(. ). ) (. (. )(. ). ). 2. x− y ¿ ¿ y 3 2 x− + y ¿ 2 4 ⇔¿. [( ) ] Vậy. (là bất đẳng thức đúng). x 2 y2 x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. (. ). 18) Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: a + b + Giải:. 1 a+b. 5 2. <span class='text_page_counter'>(6)</span> Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: a+b +. 1 3 1 1 3 1 1 3 5 = (a+b)+ + (a+b) ≥ . 2 √ ab+2 . (a+ b)= +1= a+b 4 a+b 4 4 a+b 4 2 2. √. 19) Chứng minh rằng với a,b,c là các số dương thì ta có: a2 b2 c2 a b c + 2 2+ 2 2 ≥ + + 2 2 b +c c + a a + b b+ c c +a a+b Giải: Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giải sử a 2. 2. b. 2. c>0. Ta có. a (b +c) − a(b + c ) a2 b +a2 c − ab2 −ac 2 a 2 b − ab2 +a2 c − ac 2 ab(a − b)+ ac( a− c ) a2 a − = = = = b2 +c 2 b+c (b 2+ c2 )(b+ c) (b 2+ c 2)(b+ c) (b 2+ c2 )(b+ c) (b 2+ c 2)(b+ c) Tương tự ta có: bc( b −c )+ ba (b − a) b2 b − = 2 2 c + a c +a (c2 + a2)( c+ a) ca (c −a)+cb (c − b) c2 c − = 2 2 a + b a+ b (a2+ b2 )(a+b) 2 2 2 ab(a −b)+ac (a − c) bc(b − c)+ ba (b − a) a b c a b c + + − − − =¿ Do đó: + 2 2 2 2 2 2 2 2 (b +c )(b+c ) (c 2 +a2 )(c +a) b +c c + a a + b b+ c c+ a a+b 1 1 ca (c −a)+cb(c − b) − 2 2 + = ab(a-b) +……………………………………. 2 2 2 2 ( b +c )( b+c ) (c +a )(c +a) (a + b )(a+b) 0 20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a + b 16abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: b+c ¿2 1 = (a + b +c)2 4a(b + c) ⇒ b+ c ≥ 4 a ¿ 2 Mà (b + c) 4bc nên b+c 4a.4bc hay b + c 16abc √5 21) Cho x2 + 4y2 = 1. Chứng minh |x − y|≤ 2 Hướng dẫn: Đặt x – y = A ⇒ x = A + y rồi thay vào biểu thức x2 + 4y2 = 1……..dùng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều phải chứng minh 22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc Giải: Ta có: a2 – (b – c2) a2 ⇒ (a+b-c)(a-b+c) a2 2 Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b (c+a-b)(c-a+b) c2 ⇒ [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2 ⇒ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc 23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2 với mọi x,y,z Giải: 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2 2 2 2 ⇔ 2 x +2 y +2 z −2 xy −2 yz − 2 zx ≥ 0 2 2 2 2 x+ y+ z ¿ + x + y + z ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔¿ 2 2 Vậy 3(x + y + z2 ) (x+y+z)2 a2 b2 24) a) Chứng minh + ≥ √ a+ √ b (với a,b > 0) b a. [. √ √. ]. <span class='text_page_counter'>(7)</span> b) Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4 Giải: a2 b2 a2 b2 a) + ≥ √ a+ √ b ⇔ + + √ a+ √ b ≥2 √ a+2 √ b b a b a a2 b2 ⇔ + √ b+ + √ a ≥2 √ a+2 √ b b a Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:. √ √. √. 2. 2. a b + √ b+ +√a b a. √ √ √ 2. 2. 2. √ √ √ √ √√ √√ 2. a . √ b+2 b. 2. b . √ a=2 √ a+ 2 √b a. a b + ≥ √ a+ √ b b a b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) 2 b 2 ¿ + 3b ¿ = (a – b)2[(a + 0 2 4 ⇒ a4 + b4 a3b + ab3 ⇒ 2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3 4 4 ⇒ 2(a + b ) a3(a + b) + b3(a + b) ⇒ 2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3) 4 4 ⇒ 2(a + b ) 2( a3+ b3) vì a + b 2 >0 3 3 4 4 Vậy a +b a +b 12 ab 25) a) Cho a 0, b 0. Chứng minh: a+b ≥ 9+ab 1 2 2 1 4 4 b) Cho a +b ≥ . Chứng minh rằng: a +b ≥ 4 32 Giải: 12 ab ⇔ (a + b)(9 + ab) a) a+b ≥ 12ab 9+ab Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: a+b ≥ 2 √ ab; 9+ab ≥ 2 √ 9 ab ⇒(a+b)(9+ ab)≥ 2 √ ab. 2 √ 9 ab=12 ab b) Ta có: 1 1 2 1 a2 +b 2 ¿2 = . = 2 4 32 1 a2 − b2 ¿2 ≥ ¿ 2 a 4 + b4 = 1 2 2 2 a +b ¿ + ¿ 2 1 ¿ 2 26) Cho a+b+c abc. Chứng minh rằng a2+b2+c2 abc Giải: Vì a+b+c abc nên có hai trường hợp xảy ra - Trường hợp : |a|≥ 1 ;|b|≥ 1;|c|≥ 1 Ta có: a2 +b 2+ c 2 ≥|a|+|b|+|c|≥ a+ b+c ≥ abc - Trường hợp: trong ba số |a|;|b|;|c| có ít nhất một số nhỏ hơn 1 Không mất tính tổng quát, giả sử |c|≤1 2|ab|≥|abc|≥ abc Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 1 1 2 + ≥ 27) Cho x 1, y 1. Chứng minh 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy Giải: 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy. Vậy. (). <span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 1 1 − + − ≥0 2 2 1+xy 1+ xy 1+ x 1+ y ⇔. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. 2 2 a+ b 28) Chứng minh rằng √ a +b ≥ với mọi a,b √2 Giải: Nếu tổng a+b < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a+b 0, ta có: 2 2 2 2 2 a+ b ¿ ⇔ 2 a + 2b − a −2 ab+b ≥ 0 √ a2 +b2 ≥ a+2b ⇔ √2( a2 +b2 )≥ a+ b ⇔ 2( a2+ b2 )≥ ¿ √ 2 a −b ¿ ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔¿ 2 2 a+ b Vậy √ a +b ≥ với mọi a,b √2 29) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c Giải: 1 1 4 + ≥ Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh x y x+ y a3 b3 c 3 30) Cho a,b,c>0. Chứng minh : + + ≥ ab+ bc+ca b c a a3 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ; ab ;………… b 1 (a+b)(1 − ab) 1 ≤ 31) Chứng minh rằng: − ≤ 2 2 (a +1)(b 2+1) 2 Giải: Ta có: 2 xy |x|−| y|¿2 ≥ 0 ⇔ x 2+ y 2 −2|xy|≥ 0 ⇔ 2 2 ≤1 .(∗) x +y ¿ Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2 1− ab ¿2 a+ b ¿2 +¿ ¿ (a+ b)(1− ab) ¿ ( a+b)(1 −ab) ⇒ 2 =¿ (a +1)(b2 +1) 2 1 − ab¿ 1 a+b ¿2 +¿ ≤ 2 Áp dụng (*) ta có: ¿ (a+ b)(1− ab) ¿ ¿ ( a+b)(1 −ab) 1 ⇒ 2 ≤ (a +1)(b2 +1) 2 1 ( a+b)(1 −ab) 1 ⇔− ≤ 2 ≤ 2 (a +1)(b2 +1) 2 ⇔. (. | |. |. |. |. |. |. |. ). <span class='text_page_counter'>(9)</span> 32) Cho a. 0, b. 0. Chứng minh rằng:. 1 a+b ¿ 2+ (a+ b)≥ a √ b+b √ a 4 1 ¿ 2. Giải:. 1 1 1 1 1 1 a+b ¿ 2+ (a+ b)= (a+b)(a+ b+ )= (a+b)(a+ +b+ ) 4 2 2 2 4 4 Ta có: 1 ¿ 2 Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 1 1 1 (a+ b)(a+ + b+ ) .2 √ ab(2 a . + 2 b . )=√ ab( √ a+ √ b)=a √ b+b √ a 2 4 4 2 4 4 2 1 a+b ¿ + (a+ b)≥ a √ b+b √ a 4 Vậy 1 ¿ 2 2 2 x +y 33) Cho xy =1, x>y. Chứng minh rằng ≥ 2 √2 x− y Giải: 2 x − y ¿ +2 xy ¿ ¿ Ta có: (theo BĐT côsi) x 2+ y 2 =¿ x−y 1 1 1 + +. ..+ >1 , 999 34) Chứng minh: √ 1 .1999 √2 .1998 √ 1999. 1 Giải: 1 2 ≤ Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b 2 √ ab ⇔ dấu ‘=’ xảy ra khi a = b √ ab a+ b Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b Ta có: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + +. ..+ > + +. ..+ = + +. . .+ 1+1999 2+1998 1999+1 2000 2000 2000 √1 .1999 √2 .1998 √ 1999. 1 ⏟. √. √. 1999 so. 0 ,001+0 , 001+. ..+0 ,001 =1, 9999 ⏟ 1999so. 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (a+b-c)2 0 2 2 2 ⇒ a +b +c +2ab+2ca-2bc 0 ⇒ 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2 Mà a2+b2+c2=5/3 < 2 ⇒ 2ab+2ca-2bc 2 2 bc+2 ca −2 bc 2 ⇒ < (do abc>0) 2 abc 2 abc 1 1 1 1 ⇒ + − < a b c abc 36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức a+c b+d c+ a d+ b + + + ≥4 37) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: a+b b+ c c+ d d+ a Giải:. 1 1 1 1 + − < a b c abc. <span class='text_page_counter'>(10)</span> (a+ c). b). 4 4(a+b+ c+ d) = =4 ( a+b1 + c +d1 )+(d +b)( d 1+a + b+c1 ) ≥ a+(a+b+cc).+d4 + d+( d+a+b+ c a+ b+c +d. 1 1 4 + ≥ ) x y x+ y 38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: √ 4 a+1+ √ 4 b+ 1+ √ 4 c +1≤ √ 21 Giải: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 7 4 a+1+ 3 7 3 3 √ 21 10 ( 4 a+1). ≤ . = 4 a+ √ 4 a+1= 7 3 7 2 14 3 Tương tự: 21 10 √ 4 b+ 1≤ √ 4 b+ 14 3 √21 4 c + 10 √ 4 c+ 1≤ 14 3 21 21 ⇒ √ 4 a+1+ √ 4 b +1+ √ 4 c +1 ≤ √ (4 a+ 4 b+ 4 c+10)= √ . 14= √21 14 14 Vậy √ 4 a+1+ √ 4 b+ 1+ √ 4 c +1≤ √ 21 2 x +3 >2 với mọi x 39) a) Chứng minh: √ x 2 +2 2006 2005 + > √ 2005+ √ 2006 b) Chứng minh √ 2005 √ 2006 Giải: a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 2 √ (x 2+2). 1=2 √ x 2+2 (theo côsi cho hai số dương) dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x x 2 +3 >2 với mọi x Vậy √ x 2 +2 2005+1 2006 −1 + > √ 2005+ √ 2006 2005 2006 √ √ b) 1 1 ⇔ √ 2005+ + √ 2006 − > √2005+ √ 2006 √2005 √ 2006 1 1 ⇔ − > 0 (BĐT đúng) √ 2005 √ 2006 2006 2005 + > √ 2005+ √ 2006 Vậy √2005 √ 2006 √a+ 2 √a −1+ √ a− 2 √a − 1 <1 40) Cho a 2. chứng minh rằng: √a+ √2 a −1+ √ a− √2 a − 1 Giải: (áp dụng bất đẳng thức phụ. √√. ( (. √. ) ). (. ). <span class='text_page_counter'>(11)</span> √ a− 1+ 2 √a − 1+1+ √a − 1− 2 √ a −1+1. ¿ ¿ √ 2a − 1+ 2 √ 2 a −1+1+ √ 2 a− 1− 2 √2 a −1+1 ¿ √ a −1+1 ¿2 ¿ a − √ 1− 1 ¿ ¿2 ¿ √ 2 a −1+1 ¿2 √2( √a − 1+1)+ √ a −1 −1 ¿ ¿ √ 2 a− 1+1+ √2 a − 1−1 |√2 a − 1−1|¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √¿ √2 ¿ ¿ √a+ 2 √a −1+ √ a− 2 √a − 1 = √ 2(√ a+2 √ a −1+ √ a −2 √ a −1) =¿ √a+ √2 a −1+ √ a− √2 a − 1 √ a+2 √2 a −1+ √a − 2 √2 a −1 √2 .2 √ a −1 = √ 2a − 2 = 2 a −2 <1 vì a 2 nên 2a – 2 < 2a – 1 ¿ 2 a −1 2 √ 2 a − 1 √ 2a − 1 2 b +d ¿ 2 a+c ¿ +¿ 41) Chứng minh bất đẳng thức: ¿ 2 2 √ a +b + √ c 2 +d 2 ≥ √ ¿ Giải: b+d ¿2 ¿ b+d ¿2 ¿ ¿2 ¿ b+d ¿2 ¿ ⇔ 2 √ a2 +b2 . √c 2 +d 2 ≥2 ac+2 bd a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ √ a2 +b 2+ √c 2 +d 2 ¿2 ≥ ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ ¿ 2 2 √ a +b + √c 2 +d 2 ≥ √ ¿ Nếu ac + bd 0 thì BĐT đúng Nếu ac + bd > 0 thì ⇔ √( a2 +b2 )(c 2 +d 2) ≥ ac+ bd ac+bd ¿2 ¿ bd ¿2 +2 acbd ¿ ac ¿2 +¿ ⇔ √(a 2+b 2)(c2 +d 2 )2 ≥ ¿. √. (vì a. 2). <span class='text_page_counter'>(12)</span> 2. ¿. bd ¿ +2 acbd ac ¿ 2+(¿ ⇔ a2 d 2+b 2 c2 )− 2(ad).(bc)≥ 0 ⇔ a2 c 2+ b2 d 2+ a2 d2 +b 2 c 2 ¿ 2 ad − bc ¿ ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔¿ 2 b +d ¿ 2 a+c ¿ +¿ Vậy ta có: ¿ 2 2 √ a +b +√ c 2 +d 2 ≥ √ ¿ 42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1. 1 1 + 2 2 ≥6 a) Chứng minh rằng: ab a + b 2 3 + 2 2 ≥ 14 b) Chứng minh rằng: ab a + b Giải: Áp dụng các bất đẳng thức phụ: 1 1 4 + ≥ x y x+ y x+ y ¿2 ¿ ( HS tự chứng minh ) ¿ ¿ 1 4 ≥ xy ¿ a) Ta có: 2 a+b ¿ ¿ a+b ¿ 2 ¿ a+b ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 1 1 1 4 + 2 2= +( + 2 2 )≥ . ¿ ab a + b 2 ab 2 ab a +b 2 b) a+b ¿ 2 ¿ a+b ¿ 2 ¿ 2 a+b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 3 1 3 3 1 4 + 2 2= +( + 2 2 )≥ . ¿ ab a + b 2 ab 2 ab a +b 2 2 43) Cho a,b 0. Chứng minh a b – 3ab + ab2 + 1 0. Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải: Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z 3 √3 xyz Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3 √3 a2 b .ab 2 . 1 - 3ab = 3ab – 3ab = 0 Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 ⇒ a = b = 1 a2 b2 c2 a+ b+c 44) Cho ba số dương a,b,c . Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c +a a+b 2. <span class='text_page_counter'>(13)</span> Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a2 b+ c b2 c+ a c 2 a+b a 2 b+ c b 2 c +a c 2 a+b + + + + + ≥2 . +2 . +2 . b+c 4 c +a 4 a+ b 4 b+ c 4 c +a 4 a+ b 4 =a+b+c 2 2 2 a b c a+ b b+c c +a a+b a+b+ c ⇒ + + + ≥ a+ b+c − − − = b+c c+ a a+ b 4 4 4 4 2 2 2 45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện a + b = 2 và (a – d)(b – c) = 1. Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2 Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1 Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 9 46) Cho a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 5 ⇒ Hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b thế vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+ α≥α 1 47) Chứng minh rằng nếu x+y+z =1 thì x2+y2+z2 3 Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x 2 +3 y 2+3 z 2 ( x + y + z =2 xy+ 2 yz+2 zx)+( x + y −2 xy)+( y + z − 2 yz)+( z + x − 2 zx) x2+y2+z2 = = 3 3 2 z− x¿ ¿ x + y + z ¿2 ¿ ¿ y − z ¿2 +¿ x − y ¿2 +¿ x+ y+ z ¿2 +¿ ¿ ¿¿ 1 48) Chứng minh rằng: 2( √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) (với n là số nguyên dương) √n Giải: 2(n+1 −n) 2 1 = < (1) Ta có: 2( √ n+1 − √ n)= n+1+ n n+ 1+ n √ √ √ √ √n 2(n −n+1) 2 1 = > (2) Mặt khác: 2( √ n − √ n −1)= √ n+ √ n −1 √n+ √ n− 1 √ n 1 Vậy √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) √n 1 ≤ x 3+ y 3 ≤ 1 49) Cho x,y 0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng √2 Giải: Ta có: x2 + y2 = 1 ⇒ x2 1 và y2 1 mà x 0, y 0 ⇒ 0 x 1 và 0 x 1 ⇒ x3 x2 , y3 y2 ⇒ x3 + y3 x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ( √ x . √ x 3 + √ y . √ y 3 ≤( √ x 2+ √ y 2)( √ x 32 + √ y 32)=(x + y )(x 3+ y3 ) (theo bunhiacopxki) Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = 4 ⇒ x+y √2 1 (2) 3 3 3 3 3 3 ⇒ 1≤( x+ y )(x + y )≤ √2(x + y )⇒ x + y ≥ √2. √. √. √. <span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 ≤ x 3+ y 3 ≤ 1 √2 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12. Chứng minh rằng: √ 3 a+2 √ a+1+√3 b +2 √b+ 1+ √3 c +2 √ c+ 1≤ 3 √17 Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: Từ (1) và (2) ta có:. √ 3 a+2 √ a+1=. 1 1 3 a+ 2 √ a+1+17 3 a+ 18+ 2 √ a (3 a+ 2 √ a+1) .17 ≤ = ≤ √ 2 2 √17 √17. 3 a+18+. 4+a 2. 2 1 7 a+ 40 ¿ 4 √17. (. Tương tự: 1 7 b+ 40 4 √17 √3 c +2 √ c+1 ≤ 117 7 c+4 40 √. √ 3 b+2 √b +1≤. ( (. ). ) ). 1 7(a+ b+c )+ 120 1 7 . 12+120 1 = = .51 4 4 √17 √17 √17 ¿ 3 √17 51) a) Chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 3( x 2 + y 2+ z2 ) x2 + y2 + z2 b)Gọi m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: m≤ 2 Giải: a) HS tự giải b) Vai trò x,y,z như nhau, giả sử x y z. Vì m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 ⇒ √ m là số nhỏ nhất trong ba số |x − y|,| y − z|,|z − x| ⇒ (x-y)2 m, (y-z)2 m Mặt khác: |z − x|=x − z=( x − y )+( y − z )=|x − y|+| y − z|≥ 2 √ m (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m ⇒ 3(x 2 + y 2+ z2 ) x2 + y2 + z2 ⇒ m 2 2 √ab 4 ≤ √ ab 52) Cho a,b là các số dương. Chứng minh: √a+ √ b Hướng dẫn: Bình phương hai vế 53) Chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a,b HD: Chuyển vế biến đổi tương đương x6 y6 4 4 54) Chứng minh rằng với mọi x,y khác 0 ta có đẳng thức: x + y ≤ 2 + 2 y x HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương 1 1 1 <1999 55) Chứng minh 1998 < 1+ + +.. .+ √2 √ 3 √1000000 1 HD: sử dụng bài toán phụ: 2( √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) để chứng minh √n 56) a) Cho a,b 1. Chứng minh: a b  1  b a  1 ab ⇒ √ 3 a+2 √ a+1+ √ 3 b+2 √ b+1+ √ 3 c+2 √ c +1≤. [. b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng: Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a .(b − 1+1) ab a √ b −1=a √ (b −1). 1 ≤ = 2 2. ]. (1+ 1a )(1+ 1b )(1+ 1c )≥ 64. <span class='text_page_counter'>(15)</span> Tương tự b √ a −1 ≤. ab 2. Vậy a √ b −1+b √ a −1 ≤. ab ab + =ab 2 2. b) Vì a+b+c = 1 nên: 1 a+b+ c b c b c b c b c b c bc 1+ =1+ =1+1+ + =1+ + 1+ ≥ 2 1. +2 1 . =2 +2 ≥ 2. 2 . =4 √ a a a a a a a a a a a a a (theo BĐT côsi cho hai số không âm) Tương tự: 1 ac 1 ab 1+ ≥ 4 √ ; 1+ ≥ 4 √ b b c c 1 1 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 ⇒ a b c 57) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2 HD: biến đổi tương đương 58) Với a>0, b>0, c>0. Chứng minh các BĐT: ab bc + ≥2b a) c a ¿ bc ca a3 +b 3 b3 +c 3 c 3 +a3 b ab ¿ + + ≥ a+ b+c ¿ c ¿ + + ≥ a+b+ c ¿ c a b 2 ab 2 bc 2 ca Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số dương ở vế trái b) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp tương tự câu a c) Chứng minh bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra điều cần chứng minh 59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c 6 Giải: x2 + y2 Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với mọi x,y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a a +1 b + 1 c + 1 ⇒ ab+ bc+ ca+ a+b+ c ≤ + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b + c +3 (do a2 + b2 + c2 = 3 ) ¿ a2 +b 2+ c2 + 2 3+3 ¿ 3+ =6 2 Vậy ab+bc+ca+a+b+c 6 a b c + + ≤2 60) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: a+b b+c c + a Giải: b c a a b c + + ≥ + + =1 Ta có: a+b b+c c + a a+ b+c a+b+ c b+c +a Mặt khác: a b c b c a a b b c c a + + + + + = + + + + + a+b b+c c+ a a+b b+c c +a a+b b+c b+c b+ c c +a c +a ¿ 1+1+ 1=3 a b c ⇒ + + ≤2 a+b b+c c+ a 61) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh: 1 abc (p – a)(p – b)(p –c) 8 Giải: a+b+ c b+c −a −a= >0 (vì b + c >a – BĐT tam giác)) Ta có: p – a = 2 2. √. √. √. √ √. )(. )(. √√ √ √. √. ( )( )( ). (. )(. )(. ). <span class='text_page_counter'>(16)</span> Tương tự: p – b>0, p –c>0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: p − a+ p −b 2 p − a −b c = = (p – a)(p – b) 4 4 4 a b Tương tự: (p – b)(p –c) ; (p – c)(p – a) 4 4 abc p− c ¿2 ≤ 64 2 p −b ¿ ¿ p −a ¿ 2 ¿ ¿ 1 ⇒( p − a)( p− b)( p −c )≤ abc 8 8 8 8 a +b + c 1 1 1 ≥ + + 62) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c b b c Giải: Ta có: 8 8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c ≥a b + b c + c a ≥ a b b c + b c c a + c a a b ≥ a b c (a +b +c ) abc 1 1 1 a2 b2 c 2( ab+ bc+ca )=a 2 b2 c 2 (ab+ bc+ ca). =a3 b3 c 3 + + abc a b c 8 8 8 a +b + c 1 1 1 ≥ + + ⇒ a b c b3 b3 c 3 63) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: a b c 3 a b c + + ≤ ≤ + + 2 2 2 1+ a 1+b 1+c 2 b+ c c +a a+b Giải: a 1 ≤ Ta có: 1 + a2 2a ⇒ 2 1+ a 2 b 1 c 1 ≤ ; ≤ Tương tự: 2 2 2 1+b 1+c 2 a b c 3 ⇒ + + ≤ 2 2 2 1+ a 1+b 1+ c 2 3 a b c ≤ + + Chứng minh: dung biến đổi tương đương 2 b+ c c+ a a+b 64) Chứng minh: 1 1 1 1 2001 + + +. . .+ < 3 (1+ √ 2) 5( √ 2+ √3) 7( √3+ √ 4) 4003( √2001+ √ 2002) 2003 2( √ n+1 − √ n) 2( √ n+1 − √ n) 1 2 1 = < = − HD: Ta có: 2 (2 n+1)( √ n+ √ n+1) √ 4 n +4 n+1 √ 4 n(n+ 1) √ n √n+1 Áp dụng bài toán trên suy ra BĐT 65) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: √ x+ yz+ √ y +zx + √ z+ xy ≥1+ √ xy+ √ yz+ √ zx Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: x+ y ≥ 2 √ xy ⇔ x + y + z ≥ z +2 √ xy ⇔ 1≥ z +2 √ xy ⇔ z ≥ z2 +2 z √ xy ⇔ z + xy ≥ z 2+2 z √ xy+ xy ¿ z + √ xy ¿2 ⇔ √ z + xy ≥ z+ √ xy ⇔ z + xy ≥ ¿ Tương tự: √ x+yz ≥ x+ √ yz ; √ y+zx ≥ y + √ zx ⇒ √ x+ yz+ √ y + zx+ √ z +xy ≥( x + y + z)+ √ xy + √ yz + √ zx=1+ √ xy + √ yz + √ zx 1 ≥5 66) Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+ xy. (. ). <span class='text_page_counter'>(17)</span> Giải: x + y ¿2 ¿ 2 ¿ Ta có: (x+y) 4xy 1 4 ⇒ ≥¿ xy 4 x+ y ¿ ¿ Mặt khác: (HS tự chứng minh) ¿. x4 + y4 ≥ ¿ 1 ≥5 Suy ra: 8(x4+y4)+ xy 67) Cho các số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh: Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:. √(. a+b+. √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 2 3. b+ c+. 2 3. c +a+. 2 3. )√. 2 2 2 2 2 2 2 2 (a+ b). + (b+ c) . + (c +a). ≤ + + = . 2= √6 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 4 4 4 3 3 3 68) Cho a+b+c = 3. Chứng minh: a +b +c a +b +c Giải: Áp dụng bài toán phụ x4+y4 x3y+xy3 ta có: 3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3) 4 4 4 3 3 3 Vậy a +b +c a +b +c 69) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Chứng minh: 2 2 2 x y z + + ≥2 √1 − x 2 √ 1− y 2 √1 − z 2 Giải: Vì x,y,z>0 và x3+y3+z3 = 1 nên 1-x,1-y,1-z >0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: x2 2 2 2 2 2 x +1 − x ≥ 2 √ x (1 − x ) ⇔1 ≥ 2 x √ 1 − x ⇔ ≥ 2 x3 2 √1 − x 2 2 y z 3 3 ≥2 y ; ≥2z Tương tự: 2 2 √1 − y √1 − z 2 2 x y z2 + + ≥ 2( x 3+ y 3+ z 3 )=2 Vậy 2 2 2 √1 − x √ 1− y √1 − z 2 a+b ¿ ¿ 70) Cho a,b>0. Chứng minh: ¿ ¿ Giải: 2 a+b ¿ ¿ Ta có: ¿ ¿ 71) Chứng minh: √ a2 − b2 + √ 2 ab −b 2> a với a>b>0 HD: bình phương hai vế rồi dung phương pháp biến đổi tương đương 72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh: 1≤ x + y ≤ √ 2 Giải: Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 ⇒ x + y ≤ √ 2 2 2 2 Và (x+y) = x +y +2xy = 1 + 2xy 1 Vậy 1≤ x + y ≤ √ 2 73) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0 Giải:. √√. √√. √√. <span class='text_page_counter'>(18)</span> a+b+c = 0 ⇒ b+ c=− a; a+b=−c ⇒ ab+ 2 bc+3 ca=ab+ca +2 bc+ 2ca=a(b +c)+2 c (a+ b)=a (−a)+2 c (− c)=− a2 −2 c 2 ≤ 0 a b c + + ≥ 12 74) Cho a,b,c > 1. Chứng minh : √ b − 1 √ c −1 √ a− 1 Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: a a a + 4( √ b − 1)≥2 . 4( √ b − 1)=4 √ a ⇔ ≥ 4 √ a −4 √ b+4 √b − 1 √ b −1 √ b −1 b c ≥ 4 √ b− 4 √c + 4 ; ≥ 4 √ c −4 √ a+4 Tương tự: √c −1 √ a− 1 a b c + + ≥ 12 Vậy √b − 1 √ c −1 √ a− 1 75) Cho x,y là hai số thực sao cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2) 2 Giải: x+ y ¿ 2=4 ⇔ x 2+ y 2 =4 − 2 xy ¿ 2 xy −1 ¿ +2≤ 2 ¿ x+ y=2 ⇔¿. √. <span class='text_page_counter'>(19)</span>

Tài liệu liên quan

• Liên hệ nghiệm PT với các bất đẳng thức(phần1)- Ôn thi vào 10
  • 6
  • 455
  • 1
• TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SING ĐẠI HỌC(CẢ HD)
  • 43
  • 1
  • 7
• Các bất đẳng thức trong bộ đề TSĐH
  • 4
  • 1
  • 18
• các bất đẳng thức áp dụng hay
  • 4
  • 970
  • 16
• Các bất đẳng thức chuẩn bị cho thi vao đại học
  • 42
  • 907
  • 10
• Tài liệu Các bài tập về Bất đẳng thức và Giá trị lớn nhất nhỏ nhất doc
  • 5
  • 4
  • 168
• Tài liệu TUYỂN TẬP 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY pptx
  • 43
  • 1
  • 18
• các bài tập về bất đẳng thức
  • 12
  • 2
  • 65
• Bất đẳng thức cô sy và các bất đẳng thức suy rộng
  • 30
  • 596
  • 0
• các bài tập về bất đẳng thức 3 biến xyz
  • 7
  • 1
  • 20

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(31.34 KB - 18 trang) - TUYEN TAP CAC BAT DANG THUC THUONG GAP Tải bản đầy đủ ngay ×