Về Một Bổ đề Quan Trọng Của Thầy Trần Quang Hùng

Trang chủ » Cực Và đối Cực Trần Quang Hùng » Về Một Bổ đề Quan Trọng Của Thầy Trần Quang Hùng

Có thể bạn quan tâm

Thứ Ba, 3 tháng 5, 2016

Về một bổ đề quan trọng của thầy Trần Quang Hùng

Đề bài: Cho Tam giác ABC, P bất kì. D, E, F là hình chiếu của P trên BC, CA, AB. X, Y, Z thuộc PD, PE, PF sao cho $\overline{PX}.\overline{PD}=\overline{PE}.\overline{PY}=\overline{PF}.\overline{PZ}$. Chứng minh: AX, BY, CZ đồng quy. Giải Trước hết ta cần chứng minh 2 bổ đề sau: Bổ đề 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E là giao điểm của AB và CD, F điểm bất kì. Chứng minh rằng trung điểm M, N, L lần lượt của AC, EF, BD cùng thuộc một đường thẳng khi và chỉ khi F, A, D thẳng hàng. Chứng minh Gọi lần lượt là trung điểm của . Theo định lí về đường trung bình : Tương tự : Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác BCE với 3 điểm F,A, D và định lý Menelaus cho tam giác XYZ với ba điểm M, N, L $\dfrac{NX}{NY}.\dfrac{MY}{MZ}.\dfrac{LZ}{LX}=1 \Leftrightarrow \dfrac{FB}{FC}.\dfrac{AE}{AB}.\dfrac{DC}{DE}=1$ Như vậy M, N, L thẳng hàng khi và chỉ khi F, A, D thẳng hàng. Bổ đề 2: cho tam giác ABC, một đường tròn đi qua hai điểm B,C cắt AC, AB tại D, E. Đường thẳng qua D vuông AC cắt đường thẳng qua E vuông AB tại F. Chứng minh rằng AF vuông BC. (Bổ đề này đơn giản, bạn đọc tự chứng minh). Quay trở lại bài toán. Gọi YZ cắt BC tại U, XZ cắt CA tại V, XY cắt AB tại W. Q, I, O là trung điểm của AU, BV, CW. Vẽ các đường tròn đường kính AU, Áp dụng bổ đề 2 cho tứ giác EFYZ nội tiếp với các đường qua F vuông với PZ, qua E vuông PY cắt nhau tại A, ta có PA vuông YZ. Nếu PA cắt YZ tại T Thì T thuộc đường tròn đường kính AU ( kí hiệu là (Q)) và $\overline{PA}.\overline{PT}=\overline{PF}.\overline{PZ}$ Hay là phương tích của P đối với (Q) bằng $\overline{PF}.\overline{PZ}$ Tương tự phương tích của P đối với (I) bằng $\overline{PX}.\overline{PD}$, ... mà $\overline{PX}.\overline{PD}=\overline{PE}.\overline{PY}=\overline{PF}.\overline{PZ}$ Nên P có cùng phương tích với (Q), (I), (O). Vẽ các đường cao AM, BK, CL cắt nhau tại H. Ta lại có phương tích của H đối với (Q), (I), (O) lần lượt là: $\overline{HA}.\overline{HM}, \overline{HB}.\overline{HK}, \overline{HC}.\overline{HL}$ Mà: $\overline{HA}.\overline{HM}= \overline{HB}.\overline{HK}= \overline{HC}.\overline{HL}$ Nên H có cùng phương tích với 3 đường tròn. Như vậy 3 đường tròn trên đồng trục PH nên tâm của chúng là Q, I, O thẳng hàng. Giả sử VW cắt AQ tại U'. Áp dụng bổ đề 1 cho tứ giác BCVW với 3 trung điểm Q, I, O thẳng hàng, ta được U', B, C thẳng hàng hay U trùng với U'. Nhưng vậy U, V, W thẳng hàng. Áp dụng định lý Desargues cho tam giác ABC và tam giác XYZ ta có AX, BY, CZ đồng quy. Ta có điều phải chứng minh $\blacksquare $ By vào lúc tháng 5 03, 2016 Nhãn: bổ đề hình học, định lý Desargues, định lý thuận và đảo đường thẳng guass, đồng trục, hình học, phương tích, trục đẳng phương, tứ giác toàn phần

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét

Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ Đăng ký: Đăng Nhận xét (Atom)

Bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 chọn lọc

Trong bài viết này, tác giả giới thiệu một số bài BĐT nhẹ nhàng nhưng ý tưởng tương đối mới, mức độ phù hợp với đề thi tuyển sinh vào lớp...

  • Thặng dư bình phương và các tính chất Định nghĩa 1: Một số nguyên a được gọi là thặng dư bình phương mod n nếu tồn tại số nguyên x sao cho $x^2 \equiv a (mod n)$ Ta cũng có th...
  • Một số hàm số học và ứng dụng I) Hàm phần nguyên: 1) Định nghĩa Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Kí hiệu là [x]. 2) Tính chất...
  • Bất đẳng thức Vasc và ứng dụng. Trong thế giới bất đẳng thức , ngoài những bất đẳng thức kinh điển và được áp dụng rất nhiều như bất đẳng thức AM – GM, bất đẳng thức Cauc...

Blog contributors

Mèo Sữa Xem hồ sơ hoàn chỉnh của tôi

Lưu trữ Blog

  • ▼  2016 (166)
    • ▼  tháng 5 (28)
      • Dùng nguyên lí Dirichlet để giải bài toán tổ hợp -...
      • Dùng nguyên lí Dirichlet để giải bài toán tổ hợp-P...
      • Bài toán của Gergone
      • Giải hệ phương trình bằng phương pháp UCT
      • Bất đẳng thức với số thực
      • Xây dựng tập hợp thỏa mãn đề bài
      • Trường hợp nhỏ của định lý nổi tiếng của Erdos và ...
      • Dùng bước nhảy Vi-et để giải bài toán
      • Bài toán về "số chính phương tự do"
      • Chứng minh các bất đẳng thức không thuần nhất bằng...
      • Dùng bất biến, đơn biến để giải bài toán tổ hợp - ...
      • Dùng hàng điểm để chứng minh thẳng hàng.
      • Dùng đường đối trung để giải bài toán.
      • Dùng đơn biến và số dư để giải bài toán tổ hợp
      • Dùng bất biến, đơn biến để giải bài toán tổ hợp - ...
      • Dùng tính liên tục của tổ hợp để giải bài toán.
      • Câu bất đẳng thức trong đề thi Olympic Chuyên KHTN...
      • Bất đẳng thức trong đề thi Olympic chuyên KHTN 2015
      • Bài toán về số "tốt"
      • Bất đẳng thức Bonse
      • Về một bổ đề quan trọng của thầy Trần Quang Hùng
      • Khoảnh khắc đẹp
      • Bài toán tổ hợp tô màu
      • Hai bài số học của Mỹ và Trung Quốc.
      • Number theory problem in Israeli Mathematical Olym...
      • Về câu hình học đề thi Israeli
      • Về hai bài số học trong kì thi vô địch Nga
      • Dùng phép song ánh để chứng minh bài toán tổ hợp- ...

Nhãn

  • (a-b)(b-c)(c-a)
  • AB+BC=3AC
  • AM-GM
  • ánh xạ
  • APMO
  • APMO 2000
  • bài toán ngược
  • bài toán về trò chơi
  • bất biến
  • bất đẳng thức
  • bất đẳng thức 1 biến
  • bất đẳng thức 2 biến
  • bất đẳng thức Bernoulli
  • bất đẳng thức Bonse
  • bất đẳng thức Chebyshev
  • bất đẳng thức dãy số
  • bất đẳng thức độc lập
  • bất đẳng thức đối xứng 3 biến
  • bất đẳng thức hoán vị
  • bất đẳng thức jensen
  • bất đẳng thức không thuần nhất
  • bất đẳng thức Muirhead
  • bất đẳng thức nesbit
  • bất đẳng thức nhiều biến
  • bất đẳng thức schur bậc 3
  • bất đẳng thức schur bậc 4
  • bất đẳng thức số học
  • bất đẳng thức số thực
  • bất đẳng thức Vacs
  • biến đổi góc
  • biến đổi tương đương
  • bổ đề
  • bổ đề bất đẳng thức
  • bổ đề Burnside
  • bổ đề ERIQ
  • bổ đề hình
  • bổ đề hình học
  • bổ đề hình thang
  • bổ đề sawayama
  • bổ đề số học
  • bổ đề tổ hợp
  • bội chung nhỏ nhất
  • bước nhảy vi-et
  • Canada 2007
  • Cauchy-Schwarz
  • căn nguyên thủy
  • cận dưới
  • cận trên
  • Cevian nest
  • chẵn lẻ trong tổ hợp
  • chia đôi
  • chia hết
  • chia hết cho 9
  • chia kẹo Euler
  • chiến thuật chiến thắng
  • chiếu xuyên tâm
  • China 1992
  • chu trình
  • chuẩn hoá
  • chuẩn hóa
  • chuyển về hình học
  • chuyển về toạ độ
  • chữ số thập phân
  • chứng minh thẳng hàng
  • chứng minh tồn tại
  • const
  • cô si ngược dấu
  • cực và đối cực
  • dãy fibonacci
  • dãy số
  • dãy số số nguyên
  • dãy số tuyến tính
  • dãy tổng
  • dãy trội
  • dấu bằng bất đẳng thức
  • dấu bắng xảy ra tại biên
  • deg
  • denta
  • diện tích
  • dirichlet
  • dồn biến
  • dồn biến về biên
  • dùng đồng quy để suy ra thẳng hàng
  • dùng tam thức bậc 2
  • đa thức
  • đa thức bất khả quy
  • đa thức hệ số hữu tỉ
  • đa thức hệ số nguyên
  • đa thức hệ số thực
  • đại số
  • đánh giá
  • đạo hàm
  • đẳng thức quen thuộc
  • đặt ẩn phụ
  • đề thi ELMO
  • đề thi Israeli
  • đề thi Mỹ
  • đề thi Nga
  • đề thi Putnam
  • đề thi Trung Quốc
  • đề thi ucraina
  • đếm
  • đếm bằng hàm sinh
  • đếm bằng song ánh
  • đếm lặp
  • đếm trên đường tròn
  • đi qua tâm
  • điểm cố định
  • điểm đẳng động
  • điểm Fermat
  • điểm Lemoine
  • điểm liên hợp đẳng giác của tam giác
  • điểm liên hợp đẳng giác của tứ giác
  • điểm Miquel
  • điểm rơi bất đẳng thức
  • điều kiện đúng của bất đẳng thức
  • định lý 4 điểm
  • định lý Brocard
  • định lý Ceva-sin
  • định lý con bướm
  • định lý Desargues
  • định lý Dirac
  • định lý Dirichle
  • định lý EGZ
  • định lý Fermat nhỏ
  • định lý hàm số sin
  • định lý Hensen
  • định lý Legendre
  • định lý Lyness
  • định lý Lyness mở rộng
  • Định lý Menelaus
  • định lý Miquel
  • định lý Monge- D' Alembert
  • định lý Ore
  • Định lý Pascal
  • định lý Pascal suy biến
  • định lý sin
  • định lý thuận và đảo đường thẳng guass
  • định thức
  • định thức bậc 3
  • đồ thị
  • đồ thị lưỡng phân
  • đổi biến
  • đối song
  • đối trung
  • đối xứng
  • đối xứng hóa
  • đối xứng trục
  • đồng bậc hóa
  • đồng biến
  • đồng quy
  • đồng trục
  • đơn ánh
  • đơn biến
  • đơn điệu
  • đưa về dãy nhị phân
  • đưa về tập hợp
  • đường đối trung
  • đường kính Brocard
  • đường thẳng Euler
  • đường thẳng gauss
  • đường thẳng steiner
  • đường tròn Apollonius
  • đường tròn bàng tiếp
  • đường tròn chín điểm
  • đường tròn điểm
  • đường tròn Euler
  • đường tròn Lemoine
  • đường tròn mixtilinear
  • đường tròn nội tiếp
  • đường tròn tiếp xúc đường tròn
  • đường trung bình
  • ELMO 18th
  • Gergone
  • giải tích
  • giới hạn
  • góc định hướng
  • graph
  • hai đường đẳng giác
  • hai đường tròn tiếp xúc
  • hai tam giác bằng nhau
  • hàm bậc 2
  • hàm Euler.
  • hàm lồi
  • hàm số các ước
  • hàm số học
  • hàm số liên tục
  • hàm tổng các ước
  • hàng điểm
  • hàng điểm điều hoà
  • hàng điểm điều hòa
  • hằng đẳng thức
  • hệ cơ số
  • hệ phương trình
  • hệ số cao nhất
  • hệ thặng dư
  • hệ thặng dư đầy đủ
  • hệ thức lượng trong đường tròn
  • hệ thức newton
  • hệ trục tọa độ
  • hình bình hành
  • hình chiếu
  • hình học
  • Hình học
  • hội tụ
  • IMO
  • IMO 18th
  • IMO 1970
  • IMO 1982
  • IMO 1984
  • IMO 1985
  • IMO 1995
  • IMO 1996
  • IMO 2000
  • IMO 2002
  • IMO 2005
  • IMO 2008
  • IMO 2009
  • IMO SL 2002
  • Iran 1996
  • iran 2013
  • Iran TST 2011
  • juliel blog
  • Kvant
  • làm giảm số biến
  • liệt kê
  • ln
  • lớp 8
  • lũy thừa số nguyên
  • lượng giác
  • ma trận
  • module
  • mô hình tổ hợp
  • mở rộng
  • nghịch biến
  • nghịch đảo
  • nghịch đảo đối xứng
  • nghiệm
  • nghiệm phức
  • nguyên lí cực hạn
  • nguyên tố cùng nhau
  • nhân tử Lagrange
  • nhị thức newton
  • ord
  • phản chứng
  • phân giác
  • phần lẻ
  • phần nguyên
  • phần tử
  • phần tử nhỏ nhất
  • phép đếm quay quanh tâm
  • phép nghịch đảo
  • phép quay
  • phép quay vector
  • phép vị tự
  • phép vị tự quay
  • phi hàm Euler
  • phương pháp đánh giá từng số hạng
  • phương pháp đặt ẩn phụ
  • phương pháp giải bất đẳng thức
  • phương pháp hàm số
  • phương pháp sắp thứ tự các biến
  • phương pháp suy luận
  • phương pháp tọa độ
  • phương pháp uct
  • phương pháp vecto
  • phương tích
  • phương trình hàm
  • phương trình hàm đa thức
  • phương trình Mordell
  • phương trình nghiệm nguyên
  • Polish MO 2001
  • pqr
  • quy nạp
  • sai phân
  • song ánh
  • song song
  • số chính phương
  • số chính phương mod p
  • số chính phương tự do
  • số Fermat
  • số học
  • số mũ lỡn nhất
  • số mũ lớn nhất
  • số nguyên tố
  • số nguyên tố 3k+2.
  • số phức
  • số tốt
  • tách tổng
  • tam giác đều thủy túc
  • tam giác đồng dạng
  • tam giác hướng dương
  • tam giác vuông
  • tâm đẳng phương
  • tâm ngoại tiếp thuộc đường tròn
  • tâm nội tiếp
  • tâm tỉ cự
  • tâm vị tự
  • tập cân
  • tập hợp
  • tập hợp điểm
  • Thales
  • thặng dư bình phương
  • thẳng hàng
  • thỏa mãn điều kiện
  • thuật toán tối đa
  • tỉ số
  • tỉ số kép
  • tỉ số kép trong đường tròn
  • tiếp tuyến
  • tiếp xúc
  • tiêu chuẩn Brauer
  • tiêu chuẩn Eisenstein
  • tiêu chuẩn Euler
  • tiêu chuẩn Osada
  • tiêu chuẩn Perron
  • tiêu chuẩn Polya
  • tiêu chuẩn weierstrass
  • tính f(0)
  • tính liên tục
  • tính số đo góc
  • tọa độ tỉ cự
  • toàn ánh
  • toán tiếng anh
  • tổ hợp
  • tô màu
  • tồn tại
  • tồn tại vô số số
  • tổng đối xứng
  • tổng quát
  • tổng sai phân
  • trục đẳng phương
  • trung điểm
  • trùng nhau
  • trung trực
  • trực tâm
  • TST
  • tứ giác có hai đường chéo vuông góc
  • tứ giác điều hoà
  • tứ giác toàn phần
  • USA MO 1976
  • USA MO 2001
  • ước chung
  • ước chung lớn nhất
  • ước số
  • vecto
  • VMO
  • VMO 2016
  • VMO 2017
  • vuông góc
  • xây dựng dãy số
  • xây dựng tập hợp
  • xét số dư

Báo cáo vi phạm

  • Trang chủ

Tìm kiếm Blog này

Từ khóa » Cực Và đối Cực Trần Quang Hùng