Vị Trí Tương đối Của đường Thẳng Và Mặt Phẳng

Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng

a)\[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 5}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}\] và \[d':\frac{{x - 6}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{1}\]

b)\[d:\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{{ - 6}} = \frac{{z + 1}}{{ - 8}}\] và \[d':\frac{{x - 7}}{{ - 6}} = \frac{{y - 2}}{9} = \frac{z}{{12}}\]

Giải

a)d qua \[M\left( {1; - 5;\,3} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {2;\,1;\,4} \right)\].

\[d'\] qua \[M'\left( {6;\, - 1;\, - 2} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow {u'} = \left( {3;\,2;\,1} \right)\].

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow {u'} \,} \right] = \left( { - 7;10;1} \right)\,;\overrightarrow {MM'} = \left( {5;4;\, - 5} \right)\] nên

\[\left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow {u'} \,} \right].\overrightarrow {MM'} = - 35 + 40 - 5 = 0\], do đó \[d\] và \[d'\]đồng phẳng.

Vì \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow {u'} \,} \right] \ne 0\] nên 2 đường thẳng cắt nhau.

b)\[d\]qua \[M\left( {2;\,0;\, - 1} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {4;\, - 6;\, - 8} \right)\].

\[d'\] qua \[M'\left( {7;\,2;\,0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow {u'} = \left( { - 6;\,9;\,12} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {u'} = - \frac{3}{2}\overrightarrow u \] nên \[d\] , \[d'\]song song hoặc trùng nhau.

Hơn nữa \[\overrightarrow {MM'} = \left( {5;\,2;\,1} \right)\] không cùng phương với \[\overrightarrow u \], \[\overrightarrow {u'} \] nên 2 đường thẳng song song nhau.

Bài toán 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng:

\[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = t}\end{array}} \right.\], \[{d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\].

Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau.

Giải

Đường thẳng \[{d_1}\] qua \[{M_1}\left( {2;\, - 2;\,0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 2;\,1;\,1} \right)\].

Đường thẳng \[{d_2}\] qua \[{M_2}\left( {1;\,0;\,2} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,3;\,1} \right)\].

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;\,0;\, - 4} \right),\,\,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1;\, - 2;\,2} \right)\].

Nên \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 2 + 0 - 8 = - 6 \ne 0\].

Vậy 2 đường thẳng chéo nhau.

Bài toán 4: Cho hai đường thẳng \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 3 - 4t}\\{z = - 3 - 3t}\end{array}} \right.\] và \[d'\] là giao tuyến của hai mặt phẳng: \[\left( \alpha \right):x + y - z = 0\] và

Chứng minh hai đường thẳng song song nhau.

Giải

Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[M\left( {0;\, - 3;\, - 3} \right)\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {1;\, - 4;\, - 3} \right)\].

Đường thẳng \[d'\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left( {1;\, - 4;\, - 3} \right)\].

Do đó, \[d\] và \[d'\] có cùng vectơ chỉ phương nên hai đường thẳng \[d\] và \[d'\] hoặc song song hoặc trùng nhau.

Ngoài ra vì điểm \[M\left( {0;\, - 3;\, - 3} \right)\] không nằm trên \[d'\] nên hai đường thẳng song song nhau.

Bài toán 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

\[{d_1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{4}\] và \[{d_2}:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\].

a) Chứng tỏ rằng đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.

Giải

a) \[{d_1}\] qua \[{M_1}\left( {1;\, - 2;\,5} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\, - 3;\,4} \right)\].

\[{d_2}\] qua \[{M_2}\left( {7;\,2;\,1} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;\,2;\, - 2} \right)\].

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;\,16;\,13} \right),\,\,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {6;\,4;\, - 4} \right)\]

Nên \[\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 2} \right)6 + 16.4 + 13\left( { - 4} \right) = 0\].

Vậy hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng.

b) Mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa 2 đường thẳng nên có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 2;\,16;\,2} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[{M_1}\] nên có phương trình:

\[ - 2\left( {x - 1} \right) + 16\left( {y + 2} \right) + 13\left( {z - 5} \right) = 0\] hay \[2{\rm{x}} - 16y - 13{\rm{z}} + 31 = 0\]

Bài toán 6: Cho hai đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{4}\] và \[d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 + 3t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = - 1 - 3t}\end{array}} \right.\].

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Giải

a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2{\rm{s}}}\\{y = - 2 - 3{\rm{s}}}\\{z = 5 + 4{\rm{s}}}\end{array}} \right.\].

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2{\rm{s}} = 7 + 3t}\\{ - 2 - 3{\rm{s}} = 2 + 2t}\\{5 + 4{\rm{s}} = - 1 - 3t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{s = 0}\\{t = - 2}\end{array}} \right.\].

Suy ra có giao điểm \[A\left( {1;\, - 2;\,5} \right)\] nên \[d\] và \[d'\] cắt nhau.

b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa \[d\] và \[d'\] là: \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {1;\,18;\,13} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] chứa \[d\] nên đi qua \[M\left( {1;\, - 2;\,5} \right)\].

Vậy phương trình mặt phẳng chứa \[d\] và \[d'\] là:

\[1\left( {x - 1} \right) + 18\left( {y + 2} \right) + 13\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 18y + 13{\rm{z}} - 30 = 0\].

Bài toán 7: Cho điểm \[A\left( {1;\, - 1;\,1} \right)\] và hai đường thẳng:

\[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3t}\end{array}} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 1 + 2t'}\\{z = 4 + 5t'}\end{array}} \right.\].

Chứng minh \[\left( {{d_1}} \right),\,\left( {{d_2}} \right)\] và A cùng thuộc một mặt phẳng.

Giải

\[\left( {{d_2}} \right)\] qua \[B\left( {0;\,1;\,4} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {1;\,2;\,5} \right)\].

MP\[\left( {A,{d_2}} \right)\] qua B và có VTPT \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( { - 4;\, - 8;\, - 4} \right)\] hay \[\left( {1;\,2;\, - 1} \right)\] nên có phương trình:

\[1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) - 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - z + 2 = 0\]

Ta có \[\left( {{d_1}} \right)\] qua \[M\left( {0;\, - 1;\,0} \right)\] và\[N\left( { - 1;\,1;\,3} \right)\].

Vì M, N thuộc mp \[\left( {A,{d_2}} \right)\] nên \[{d_1}\] thuộc mp \[\left( {A,{d_2}} \right)\].

Vậy A, \[\left( {{d_1}} \right),\,\left( {{d_2}} \right)\] cùng thuộc một mặt phẳng.

Bài toán 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.\].

Gọi \[d'\] là giao tuyến của hai mặt phẳng: \[\left( \alpha \right):3y - z - 7 = 0\] và \[\left( {\alpha '} \right):3{\rm{x}} + 3y - 2{\rm{z}} - 17 = 0\].

a) Chứng minh \[d\], \[d'\] chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[d'\] và vuông góc với \[d\]. Tìm tọa độ giao điểm H của \[d\] và \[\left( P \right)\].

Giải

a) Đường thẳng \[d'\] là giao tuyến của hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {0;\,3;\, - 1} \right)\] và \[\overrightarrow {n'} = \left( {3;\,3;\, - 2} \right)\] nên \[d'\] có một vectơ chỉ phương là:

\[\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left[ {\overrightarrow n ,\,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( { - 3;\, - 3;\, - 3} \right)\] hay \[\left( {1;\,1;\,3} \right)\].

Vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_d}} \] của \[d\] là \[\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)\].

Ta có: \[\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\] nên \[d \bot d'\].

Hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( { - 1 + t} \right) - \left( {2 - t} \right) - 7 = 0}\\{3\left( {1 + 2t} \right) + 3\left( { - 1 + t} \right) - 2\left( {2 - t} \right) - 17 = 0}\end{array}} \right.\] vô nghiệm nên\[d\] và \[d'\] không có điểm chung. Vậy chúng chéo nhau.

b) Cho \[y = 0\] thì \[z = - 7\], \[x = 1\], ta có \[A\left( {1;\,0;\, - 7} \right) \in d'\]. Vì \[d \bot d'\] nên mặt phẳng đi qua A và vuông góc với \[d\] sẽ đi qua \[d'\]. Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] là:

\[2\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 0} \right) - \left( {z + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} + y - z - 9 = 0\].

Tọa độ giao điểm \[H\left( {x;\,y;\,z} \right)\] của \[d\] và \[\left( P \right)\] thỏa mãn hệ

Bài toán 9: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

a) \[d:\frac{{x - 12}}{4} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}\] , \[\left( P \right):3{\rm{x}} + 5y - z - 2 = 0\].

b) \[d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{4} = \frac{z}{3}\], \[\left( P \right):3x - {\rm{3}}y + 2z - 5 = 0\]

c) \[d:\frac{{x - 13}}{8} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 4}}{3}\], \[\left( P \right):x + 2y - 4z + 1 = 0\].

Giải

a) Đường thẳng \[d\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {4;\,3;\,1} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {3;\,5;\, - 1} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow u .\overrightarrow n = 12 + 15 - 1 = 26 \ne 0\]. Vậy đường thẳng \[d\] cắt \[\left( P \right)\].

b) \[d\] qua \[A\left( { - 1;\,3;\,0} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {2;\,4;\,3} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {3;\, - 3;\,2} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow u .\overrightarrow n = 6 - 12 + 6 = 0\] nên \[d\] song song \[\left( P \right)\] hoặc \[d\] thuộc \[\left( P \right)\].

Mà \[A \notin \left( P \right)\] nên \[d//\left( P \right)\].

c) \[d\] qua \[M\left( {13;\,1;\,4} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {8;\,2;\,3} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {1;\,2;\, - 4} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\] mà \[M \in \left( P \right)\] nên đường thẳng \[d\] nằm trên \[\left( P \right)\].

Bài toán 10: Chứng minh đường thẳng:

a) \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5t}\\{y = - \frac{7}{5} + 9t}\\{z = \frac{2}{5} + t}\end{array}} \right.\] thuộc mặt phẳng \[\left( P \right):4x - 3y + 7z - 7 = 0\].

b) \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\] cắt mặt phẳng \[\left( P \right):4x - y + 5z - 1 = 0\].

Giải

a) Đường thẳng \[d\] qua \[A\left( {0;\, - \frac{7}{5};\,\frac{2}{5}} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {5;\,9;\,1} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {4;\, - 3;\,7} \right)\].

Ta có : \[\overrightarrow n .\overrightarrow u = 0\] và \[A \in \left( P \right)\] nên \[d\] nằm trên \[\left( P \right)\].

b) Đường thẳng \[d\] có VTCP \[\overrightarrow u = \left( {2;\,3;\,4} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {4;\, - 1;\,5} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow n .\overrightarrow u = 8 - 3 + 20 = 25 \ne 0\] nên \[d\] cắt mp\[\left( P \right)\].

Bài toán 11: Tìm k để đường thẳng \[d\] là giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( P \right):2kx + y - z + 1 = 0\], \[\left( Q \right):x - ky + z - 1 = 0\] nằm trong mặt phẳng (Oyz).

Giải

Giao tuyến \[d\] có VTCP:

\[\overrightarrow u = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - k}&1\end{array}} \right|;\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2k}\\1&1\end{array}} \right|;\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2k}&1\\1&{ - k}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1 - k;\, - 1 - 2k;\, - 2{k^2} - 1} \right)\].

Mp(Oyz) có VTPT \[\overrightarrow i = \left( {1;\,0;\,0} \right)\]

Để \[d\] nằm trong mặt phẳng (Oyz) thì cần có:

\[\overrightarrow i .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)1 + \left( { - 1 - 2k} \right).0 + \left( { - 2{k^2} - 1} \right).0 = 0 \Leftrightarrow k = 1\].

Thay \[k = 1\] vào phương trình của 2 mặt phẳng chứa d:

\[\left( P \right):2x + y - z + 1 = 0\], \[\left( Q \right):x - y + z - 1 = 0\].

Ta có điểm \[M\left( {0;\,0;\,1} \right)\] thuộc \[d\] và cùng thuộc mặt phẳng (Oyz) nên thỏa mãn.

Vậy để \[d\] nằm trong mặt phẳng (Oyz) thì cần và đủ là: \[k = 1\].

Bài toán 12: Trong không gian có hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \[A\left( {2;\,1;\,0} \right)\], \[B\left( {1;\,2;\,2} \right)\], \[C\left( {1;\,1;\,0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 20 = 0\].

Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\].

Giải

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\,1;\,2} \right)\], phương trình AB: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\].

D thuộc đường thẳng AB \[ \Rightarrow D\left( {2 - t;\,1 + t;\,2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {C{\rm{D}}} = \left( {1 - t;\,t;\,2t} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\]: \[\overrightarrow n = \left( {1;\,1;\,1} \right)\].

Vì C không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên:

\[C{\rm{D}}//\left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0 \Leftrightarrow 1.\left( {1 - t} \right) + 1.t + 1.2t = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}\].

Vậy \[D\left( {\frac{5}{2};\,\frac{1}{2};\, - 1} \right)\].

Bài toán 13: Chứng minh các mặt phẳng: \[\left( {{P_m}} \right):\left( {2 + m} \right)x + \left( {1 + m} \right)y + \left( {1 + m} \right)z + m - 1 = 0\] luôn đi qua một đường thẳng cố định.

Giải

\[\left( {{P_m}} \right):2{\rm{x}} + y + z - 1 + m\left( {x + y + z + 1} \right) = 0\].

Mặt phẳng \[\left( {{P_m}} \right)\] đi qua các điểm \[M\left( {x;\,y;\,z} \right)\] có tọa độ không phụ thuộc m khi và chỉ khi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + y + z - 1 = 0}\\{{\rm{x}} + y + z + 1 = 0}\end{array}} \right.\].

Vậy các mặt phẳng \[\left( {{P_m}} \right)\] đi qua đường thẳng cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \[2{\rm{x}} + y + z - 1 = 0\] và \[{\rm{x}} + y + z + 1 = 0\] tức là đường thẳng AB cố định.

Bài toán 14: Chứng minh các đường thẳng \[{d_k}\] là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \[x + k{\rm{z}} - k = 0\], \[\left( {1 - k} \right)x - ky = 0\], \[k \ne 0\] luôn nằm trên mặt phẳng cố định

Giải

Giao tuyến \[{d_k}\] chứa các điểm \[M\left( {x;\,y;\,z} \right)\] có tọa độ thỏa mãn hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + k{\rm{z}} - k = 0}\\{\left( {1 - k} \right)x - ky = 0}\end{array}} \right.;\,k \ne 0\].

Suy ra: \[x - \left( {1 - k} \right)x + k{\rm{z}} - k + ky = 0\].

\[ \Rightarrow k\left( {x + y + z - 1} \right) = 0 \Rightarrow x + y + z - 1 = 0\], vì \[k \ne 0\]

Vậy các đường thẳng \[{d_k}\] luôn luôn nằm trong mặt phẳng cố định \[\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\]

Bài toán 15: Trong không gian Oxyz có tập hợp các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] có phương trình là: \[m{\rm{x}} - 2\left( {m - 1} \right)y + \left( {m + 1} \right)z - 1 = 0\] và đường thẳng d có phương trình tham số:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\].

a) Chứng tỏ rằng các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] đi qua một đường thẳng cố định \[\Delta \].

b) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và \[\Delta \] chéo nhau.

Giải

a) Phương trình các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] có thể viết thành:

\[2y + z - 1 + m\left( {x - 2y + z} \right) = 0\].

Đẳng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y + z - 1 = 0}\\{x - 2y + z = 0}\end{array}} \right.\].

Hệ phương trình này xác định một đường thẳng \[\Delta \] cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng \[2y + z - 1 = 0\], \[x - 2y + z = 0\].

\[\Delta \] có VTCP \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {4;\,1;\, - 2} \right)\]và đi qua \[B\left( { - 1;\,0;\,1} \right)\].

Vậy các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] đi qua đường thẳng cố định \[\Delta :\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\].

b) d qua \[A\left( {1;\,0;\, - 2} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u = \left( { - 2;\,3;\, - 1} \right)\]

Ta có \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {AB} \ne 0\] nên d và \[\Delta \] chéo nhau.