Vị Trí Tương đối Của Hai đường Tròn, Của đường Thẳng Và đường Tròn

Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn

A. Phương pháp giải

+ Vị trí tương đối của hai đường tròn :

Cho hai đường tròn (C1): tâm I1; bán kính R1 và đường tròn (C2): Tâm I2 bán kính R2.

- Nếu I1I2 > R1 + R2 thì hai đường tròn không có điểm chung .

- Nếu I1I2 = R1 + R2 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài

- Nếu I1I2 = |R1 - R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Nếu R1 - R2 < I1I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau ( với R1 > R2) .

+ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :

Cho đường thẳng d và đường tròn ( C): tâm I; bán kính R:

- Nếu d( I; d) = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

- Nếu d( I; d) > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

- Nếu d(I; d) < R thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tọa độ giao điểm của đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng∆ :

A. (1 ; 2) và ( 2 ;1) B. (1 ;2) và ( ; ).

C. ( 2 ;5) D. (1 ; 0) và (0 ;1)

Hướng dẫn giải

Thế vào (C) ta có:

( 1 + t)2 + ( 2 + 2t)2 - 2( 1 + t) - 2( 2 + 2t) + 1 = 0

⇔ 1 + 2t + t2 + 4 + 8t + 4t2 - 2 - 2t - 4 – 4t + 1 = 0

⇔ 5t2 + 4t = 0

⇔

Chọn B

Ví dụ 2 : Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x2 + y2= 4 và đường tròn(C2) : (x + 10)2 + (y - 16)2 = 1.

A. Cắt nhau. B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn C1 có tâm và bán kính: I1 ( 0; 0) và R1 = 2

+ Đường tròn ( C2) có tâm và bán kính: I2( - 10; 16) và R2 = 1.

Khoảng cách giữa hai tâm I1I2 = = 2√89 > R1 + R2 .

Vậy ( C1) và ( C2) không có điểm chung.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C1) : x2 + y2 - 2 = 0 và (C2) : x2 + y2 - 2x = 0

A. (2 ; 0) và (0 ; 2) . B. (√2; 1) và (1; -√2) .

C. (1; - 1) và (1; 1) D. ( - 1 ; 0) và (0 ; - 1) .

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai giao điểm là A( 1; 1) và B( 1; - 1) .

Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = x và đường tròn(C) : x2 + y2 - 2x = 0 .

A. ( 0; 0) B. (0; 0) và (1;1) . C. (2; 0) D. (1;1)

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và đường tròn ( C) là nghiệm hệ phương trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A( 0; 0) và B (1; 1).

Chọn B

Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): x2 + y2 – 2x + 4y = 0. Đường thẳng d: 2x - y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn ?

A. – 7 < m < 1 B. - 9 ≤ m ≤ 1 C. - 9 < m < 1 D. - 9 < m ≤ 1

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I ( 1; - 2) và bán kính R = = √5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d:

d(I; d) =

+ Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên:

d(I; d) ≤ R ⇔ ≤ √5

⇔ |4 + m| ≤ 5

⇔ - 5 ≤ 4 + m ≤ 5 ⇔ - 9 ≤ m ≤ 1

Vậy để đường thẳng d cắt đường tròn khi - 9 ≤ m ≤ 1

Chọn B.

Ví dụ 6 : Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 = 4 và đường tròn( C2) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 25.

A. Không cắt nhau. B. Cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

Đường tròn ( C1) có tâm I1( 0; 0) và bán kính R1 = 2

Đường tròn ( C2) có tâm I2(3; 4) và bán kính R2 = 5

Khoảng cách hai tâm I1I2 = = 5.

Ta có: R2 - R1 = 3 < I1I2 = 5 < R2 + R1 = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Chọn B.

Ví dụ 7 : Đường tròn x2 + y2 - 2x - 2y - 23 = 0 cắt đường thẳng d : x + y - 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10 B. 8 C. 6 D. 3√2.

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; 1) và bán kính R= 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d(I,d) = = 0

⇒ điểm I thuộc đườngthẳng d nên đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N trong đó MN là đường kính của đường tròn.

⇒ MN = 2R = 10

Vậy đường thẳng d cắt đường tròn( C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho đương tròn C1) có tâm I1(1; 0); bán kính R1 = 1 và đường tròn (C2) có tâm I2( - 5; 8), bán kính R2 = 11. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau D. Không cắt nhau

Lời giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I1I2 = = 10

⇒ I1I2 = R2 - R1 = 10

⇒ Hai đương thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho đương tròn C1) có tâm I1(2; - 3); bán kính R1 = 3 và đường tròn (C2) có tâm I2(4; 7), bán kính R2 = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C1) và ( C2)?

A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau D. Không cắt nhau

Lời giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I1I2 = = √104

⇒ I1I2 > R2 + R1 = 9

⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Chọn D.

Ví dụ 10. Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C1) : x2 + y2 - 4 = 0 và(C2) : x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0

A. (√2; √2) và (√2; - √2) B. (0 ; 2) và (0 ; - 2)

C. (2 ; 0) và (0 ;2) D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm A(0; 2) và B( 2; 0).

Chọn C.