Viết Phương Trình Cho Một Hình Elip. Các Dòng Của Thứ Tự Thứ Hai ...

Lịch tuần trăng Viết phương trình cho một hình elip. Các dòng của thứ tự thứ hai. Ellipse và phương trình chính tắc của nó. Vòng tròn

11.1. Các khái niệm cơ bản

Xem xét các đường được xác định bởi phương trình bậc hai đối với các tọa độ hiện tại

Các hệ số của phương trình là số thực, nhưng ít nhất một trong các số A, B hoặc C khác 0. Những đường như vậy được gọi là đường (đường cong) bậc hai. Nó sẽ được thiết lập dưới đây rằng phương trình (11.1) xác định một đường tròn, hình elip, hyperbol hoặc parabol trong mặt phẳng. Trước khi tiếp tục khẳng định này, chúng ta hãy nghiên cứu các tính chất của các đường cong được liệt kê.

11.2. Vòng tròn

Đường cong đơn giản nhất của bậc hai là một đường tròn. Nhắc lại rằng đường tròn bán kính R có tâm tại một điểm là tập hợp tất cả các điểm Μ của mặt phẳng thỏa mãn điều kiện. Cho một điểm trong hệ tọa độ hình chữ nhật có tọa độ x 0, y 0 a - một điểm tùy ý của đường tròn (xem Hình 48).

Sau đó, từ điều kiện, chúng tôi nhận được phương trình

(11.2)

Phương trình (11.2) thỏa mãn tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường tròn đã cho và không thỏa mãn tọa độ của bất kỳ điểm nào không nằm trên đường tròn.

Phương trình (11.2) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn

Đặc biệt, giả sử và, chúng ta thu được phương trình của một đường tròn có tâm tại điểm gốc .

Phương trình đường tròn (11.2) sau các phép biến đổi đơn giản sẽ có dạng. Khi so sánh phương trình này với phương trình tổng quát (11.1) của một đường cong bậc hai, dễ dàng thấy rằng phương trình của một đường tròn được thỏa mãn hai điều kiện:

1) các hệ số tại x 2 và y 2 bằng nhau;

2) không có phần tử nào chứa tích xy của tọa độ hiện tại.

Hãy xem xét vấn đề nghịch đảo. Đưa vào phương trình (11.1) các giá trị và chúng ta thu được

Hãy biến đổi phương trình này:

(11.4)

Theo đó phương trình (11.3) xác định một đường tròn với điều kiện . Trung tâm của nó là ở điểm và bán kính

.

Nếu , thì phương trình (11.3) có dạng

.

Nó được thỏa mãn bởi tọa độ của một điểm duy nhất . Trong trường hợp này, họ nói: "vòng tròn đã suy biến thành một điểm" (có bán kính bằng không).

Nếu , thì phương trình (11.4), và do đó là phương trình tương đương (11.3), sẽ không xác định bất kỳ dòng nào, vì vế phải của phương trình (11.4) là âm và vế trái không âm (giả sử: “vòng tròn tưởng tượng”).

11.3. Hình elip

Phương trình hình nón của một hình elip

Hình elip là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm đã cho của mặt phẳng này, được gọi là thủ thuật , là một giá trị không đổi lớn hơn khoảng cách giữa các foci.

Ký hiệu các trọng tâm bằng F1 Và F2, khoảng cách giữa chúng bằng 2 C, và tổng khoảng cách từ một điểm tùy ý của hình elip đến foci - đến 2 Một(xem hình 49). Theo định nghĩa 2 Một > 2C, I E. Một > C.

Để suy ra phương trình của một hình elip, chúng ta chọn một hệ trục tọa độ để các foci F1 Và F2 nằm trên trục và gốc tọa độ trùng với trung điểm của đoạn F 1 F 2. Sau đó, các foci sẽ có các tọa độ sau: và.

Cho là một điểm tùy ý của hình elip. Sau đó, theo định nghĩa của một hình elip, tức là

Trên thực tế, đây là phương trình của một hình elip.

Ta biến đổi phương trình (11.5) về dạng đơn giản hơn như sau:

Tại vì Một>từ, sau đó . Chúng ta hãy đặt

(11.6)

Sau đó, phương trình cuối cùng có dạng hoặc

(11.7)

Có thể chứng minh rằng phương trình (11.7) tương đương với phương trình ban đầu. Nó được gọi là phương trình chính tắc của hình elip .

Ellipse là một đường cong bậc hai.

Nghiên cứu hình dạng của một hình elip theo phương trình của nó

Hãy thiết lập hình dạng của elip bằng cách sử dụng phương trình chính tắc của nó.

1. Phương trình (11.7) chỉ chứa x và y trong các lũy thừa chẵn, vì vậy nếu một điểm thuộc elip thì các điểm,, cũng thuộc nó. Theo đó, hình elip đối xứng với các trục và cũng như đối với điểm, được gọi là tâm của elip.

2. Tìm giao điểm của elip với các trục tọa độ. Đặt, chúng ta tìm thấy hai điểm và tại đó trục giao với hình elip (xem Hình 50). Đưa vào phương trình (11.7), ta tìm được các giao điểm của elip với trục: và. điểm MỘT 1 , A2 , B1, B2đã gọi các đỉnh của hình elip. Phân đoạn MỘT 1 A2 Và B1 B2, cũng như độ dài của chúng 2 Một và 2 bđược gọi tương ứng trục chính và trục nhỏ hình elip. Con số Một Và bđược gọi là lớn và nhỏ, tương ứng. trục trục hình elip.

3. Từ phương trình (11.7), mỗi số hạng ở bên trái không vượt quá một, tức là có bất bình đẳng và hoặc và. Do đó, tất cả các điểm của elip nằm bên trong hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng.

4. Trong phương trình (11.7), tổng các số hạng không âm và bằng một. Do đó, khi một số hạng tăng lên thì số hạng kia sẽ giảm đi, nghĩa là nếu nó tăng lên thì nó lại giảm đi và ngược lại.

Từ những gì đã nói, hình elip có hình dạng như trong Hình. 50 (đường cong khép kín hình bầu dục).

Thông tin thêm về hình elip

Hình dạng của hình elip phụ thuộc vào tỷ lệ. Khi hình elip biến thành đường tròn, phương trình elip (11.7) có dạng. Như một đặc điểm của hình dạng của một hình elip, tỷ lệ thường được sử dụng nhiều hơn. Tỷ số giữa một nửa khoảng cách giữa tiêu điểm và bán trục chính của hình elip được gọi là độ lệch tâm của elip và o6o được ký hiệu bằng chữ ε ("epsilon"):

với 0 0, nó theo sau từ (11.13) đó. Do đó, parabol nằm bên phải trục y.

3. Khi ta có y \ u003d 0. Do đó, parabol đi qua gốc tọa độ.

4. Với sự gia tăng không giới hạn của x, mô-đun y cũng tăng vô hạn. Parabol có dạng (hình dạng) như hình 61. Điểm O (0; 0) được gọi là đỉnh của parabol, đoạn FM \ u003d r được gọi là bán kính tiêu điểm của điểm M.

Phương trình, ( p> 0) cũng xác định các parabol, chúng được thể hiện trong Hình 62

Dễ dàng chứng minh rằng đồ thị của một tam thức vuông, trong đó, B và C là bất kỳ số thực nào, là một parabol theo định nghĩa của nó ở trên.

11,6. Phương trình tổng quát của dòng bậc hai

Phương trình đường cong bậc hai có trục đối xứng song song với trục tọa độ

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm phương trình của một hình elip có tâm tại một điểm có trục đối xứng song song với các trục tọa độ Ox và Oy và các bán trục tương ứng bằng Một Và b. Chúng ta hãy đặt tại tâm của hình elip O 1 điểm gốc của hệ tọa độ mới, có trục và bán trục Một Và b(xem hình 64):

Và cuối cùng, các parabol trong Hình 65 có phương trình tương ứng.

Phương trình

Phương trình của một hình elip, hyperbol, parabol và phương trình của một đường tròn sau khi biến đổi (mở ngoặc, di chuyển tất cả các số hạng của phương trình theo một hướng, đưa các số hạng tương tự, giới thiệu ký hiệu mới cho các hệ số) có thể được viết bằng một phương trình duy nhất của hình thức

trong đó các hệ số A và C không đồng thời bằng 0.

Câu hỏi đặt ra: có phương trình nào dạng (11.14) xác định được một trong các đường cong (hình tròn, hình elip, hyperbol, parabol) bậc hai không? Câu trả lời được đưa ra bởi định lý sau.

Định lý 11.2. Phương trình (11.14) luôn định nghĩa: hoặc là hình tròn (đối với A = C) hoặc là hình elip (đối với A C> 0), hoặc là hyperbol (đối với A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Phương trình tổng quát của bậc hai

Bây giờ hãy xem xét phương trình tổng quát của bậc hai với hai ẩn số:

Nó khác với phương trình (11.14) bởi sự hiện diện của một số hạng với tích các tọa độ (B¹ 0). Có thể, bằng cách quay trục tọa độ một góc a, để biến đổi phương trình này sao cho số hạng có tích tọa độ không có trong nó.

Sử dụng công thức để quay trục

Hãy biểu diễn các tọa độ cũ theo tọa độ mới:

Chúng tôi chọn góc a để hệ số tại x "y" biến mất, tức là, để bằng

Do đó, khi quay các trục qua một góc a thỏa mãn điều kiện (11.17), phương trình (11.15) rút gọn thành phương trình (11.14).

Đầu ra: phương trình tổng quát bậc 2 (11.15) xác định trên mặt phẳng (trừ các trường hợp suy biến và suy biến) các đường cong sau: đường tròn, elip, hyperbol, parabol.

Lưu ý: Nếu A = C thì phương trình (11.17) mất ý nghĩa. Trong trường hợp này cos2α = 0 (xem (11.16)), thì 2α = 90 °, tức là α = 45 °. Vì vậy, tại A = C, hệ tọa độ nên quay một góc 45 °.

Các đường cong của bậc thứ hai trên một mặt phẳng được gọi là các đường được xác định bởi các phương trình trong đó tọa độ thay đổi x Và y chứa trong mức độ thứ hai. Chúng bao gồm hình elip, hyperbola và parabol.

Dạng tổng quát của phương trình đường cong bậc hai như sau:

ở đâu A, B, C, D, E, F- số và ít nhất một trong các hệ số A, B, C không bằng không.

Khi giải các bài toán với đường cong bậc hai, phương trình chính tắc của một elip, hyperbol và parabol thường được xem xét nhất. Thật dễ dàng để chuyển cho họ từ các phương trình tổng quát, ví dụ 1 của các bài toán với hình elip sẽ được dành cho điều này.

Hình elip được cho bởi phương trình chính tắc

Định nghĩa hình elip. Hình elip là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng, trong đó tổng khoảng cách đến các điểm, được gọi là foci, là một hằng số và lớn hơn khoảng cách giữa các foci.

Các tiêu điểm được đánh dấu như trong hình bên dưới.

Phương trình chính tắc của một hình elip là:

ở đâu Một Và b (Một > b) - độ dài của các bán trục, tức là một nửa độ dài của các đoạn bị cắt bởi hình elip trên các trục tọa độ.

Đường thẳng đi qua tiêu điểm của elip là trục đối xứng của nó. Một trục đối xứng khác của elip là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng này. Chấm XUNG QUANH giao điểm của các đường này đóng vai trò là tâm đối xứng của hình elip, hoặc đơn giản là tâm của elip.

Trục abscissa của hình elip giao nhau tại các điểm ( Một, XUNG QUANH) Và (- Một, XUNG QUANH), và trục y tại các điểm ( b, XUNG QUANH) Và (- b, XUNG QUANH). Bốn điểm này được gọi là các đỉnh của elip. Đoạn giữa các đỉnh của hình elip trên trục abscissa được gọi là trục chính của nó và trên trục tọa độ - trục nhỏ. Các đoạn của chúng từ đỉnh đến tâm của hình elip được gọi là các bán trục.

Nếu Một = b, thì phương trình của elip có dạng. Đây là phương trình cho một đường tròn bán kính Một, và hình tròn là một trường hợp đặc biệt của hình elip. Một hình elip có thể thu được từ một vòng tròn bán kính Một, nếu bạn nén nó vào Một/b thời gian dọc theo trục Oy .

ví dụ 1 Kiểm tra xem dòng cho bởi phương trình tổng quát , một hình elip.

Giải pháp. Chúng tôi thực hiện các phép biến đổi của phương trình tổng quát. Chúng ta áp dụng phép chuyển số hạng tự do sang vế phải, phép chia từng số hạng của phương trình cho cùng một số và rút gọn phân số:

Trả lời. Phương trình kết quả là phương trình chính tắc của elip. Do đó, đường thẳng này là một hình elip.

Ví dụ 2 Viết phương trình chính tắc của một elip nếu các bán kính của nó lần lượt là 5 và 4.

Giải pháp. Chúng tôi xem xét công thức cho phương trình chính tắc của elip và thay thế: trục bán chính là Một= 5, bán trục nhỏ là b= 4. Chúng ta nhận được phương trình chính tắc của hình elip:

Các điểm và được đánh dấu bằng màu xanh lục trên trục chính, nơi

đã gọi thủ thuật.

đã gọi độ lệch tâm hình elip.

Thái độ b/Mộtđặc trưng cho "tính chướng ngại" của hình elip. Tỷ lệ này càng nhỏ, hình elip càng được kéo dài dọc theo trục chính. Tuy nhiên, mức độ kéo dài của hình elip thường được biểu thị dưới dạng độ lệch tâm, công thức của nó được đưa ra ở trên. Đối với các hình elip khác nhau, độ lệch tâm thay đổi từ 0 đến 1, luôn luôn nhỏ hơn một.

Ví dụ 3 Viết phương trình chính tắc của một hình elip nếu khoảng cách giữa tiêu điểm là 8 và trục chính là 10.

Giải pháp. Chúng tôi đưa ra kết luận đơn giản:

Nếu trục chính là 10, thì một nửa của nó, tức là bán trục Một = 5 ,

Nếu khoảng cách giữa các tiêu điểm là 8, thì số C của tọa độ tiêu điểm là 4.

Thay thế và tính toán:

Kết quả là phương trình chính tắc của hình elip:

Ví dụ 4 Viết phương trình chính tắc của một hình elip nếu trục chính của nó là 26 và độ lệch tâm là.

Giải pháp. Như sau từ cả kích thước của trục chính và phương trình độ lệch tâm, bán trục chính của hình elip Một= 13. Từ phương trình độ lệch tâm, chúng ta biểu thị số C, cần thiết để tính toán độ dài của bán trục nhỏ:

.

Chúng tôi tính bình phương chiều dài của bán trục nhỏ:

Chúng tôi soạn phương trình chính tắc của hình elip:

Ví dụ 5 Xác định tiêu điểm của elip được cho bởi phương trình chính tắc.

Giải pháp. Cần tìm một số C, xác định tọa độ đầu tiên của tiêu điểm của hình elip:

.

Chúng tôi lấy tiêu điểm của hình elip:

Ví dụ 6 Tiêu điểm của hình elip nằm trên trục Con bò đựcđối xứng về gốc tọa độ. Viết phương trình chính tắc của một hình elip nếu:

1) khoảng cách giữa các tiêu điểm là 30 và trục chính là 34

2) trục nhỏ là 24 và một trong các tiêu điểm là tại điểm (-5; 0)

3) độ lệch tâm, và một trong các tiêu điểm ở điểm (6; 0)

Chúng ta tiếp tục giải các bài toán trên ellipse cùng nhau

Nếu - một điểm tùy ý của hình elip (được đánh dấu bằng màu xanh lục trong hình vẽ ở phần trên bên phải của elip) và - khoảng cách đến điểm này từ foci, thì công thức cho khoảng cách như sau:

Đối với mỗi điểm thuộc elip, tổng khoảng cách từ các tiêu điểm là một giá trị không đổi bằng 2 Một.

Các đường thẳng được xác định bởi các phương trình

đã gọi đạo diễn hình elip (trong hình vẽ - các đường màu đỏ dọc theo các cạnh).

Từ hai phương trình trên, suy ra rằng đối với bất kỳ điểm nào của hình elip

,

khoảng cách của điểm này đến các ma trận trực tiếp ở đâu và là ở đâu.

Ví dụ 7 Cho một hình elip. Viết phương trình cho các ma trận trực tiếp của nó.

Giải pháp. Chúng tôi xem xét phương trình ma trận trực tiếp và thấy rằng cần phải tìm độ lệch tâm của hình elip, tức là. Tất cả dữ liệu cho điều này là. Chúng tôi tính toán:

.

Chúng tôi nhận được phương trình của ma trận trực tiếp của elip:

Ví dụ 8 Viết phương trình chính tắc của một hình elip nếu các tiêu điểm của nó là các điểm và các ma trận là các đường thẳng.

Định nghĩa 7.1. Tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng mà tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F 1 và F 2 là một hằng số cho trước được gọi là hình elip.

Định nghĩa về hình elip đưa ra cách xây dựng hình học sau đây. Ta cố định hai điểm F 1 và F 2 trên mặt phẳng và ký hiệu một giá trị không đổi không âm bằng 2a. Cho khoảng cách giữa hai điểm F 1 và F 2 bằng 2c. Hãy tưởng tượng rằng một sợi chỉ không thể kéo dài có độ dài 2a được cố định tại các điểm F 1 và F 2, chẳng hạn, với sự trợ giúp của hai cây kim. Rõ ràng là điều này chỉ có thể xảy ra với a ≥ c. Kéo sợi chỉ bằng bút chì, vẽ một đường, đó sẽ là một hình elip (Hình 7.1).

Vì vậy, tập được mô tả không trống nếu a ≥ c. Khi a = c, elip là một đoạn có các đầu là F 1 và F 2, và khi c = 0, tức là nếu các điểm cố định trong định nghĩa của một elip trùng nhau thì nó là một đường tròn bán kính a. Loại bỏ những trường hợp suy biến này, chúng tôi sẽ tiếp tục giả sử, theo quy luật, rằng a> c> 0.

Các điểm cố định F 1 và F 2 trong định nghĩa 7.1 của elip (xem Hình 7.1) được gọi là thủ thuật hình elip, khoảng cách giữa chúng, ký hiệu là 2c, - tiêu cự, và các đoạn F 1 M và F 2 M, nối một điểm M tùy ý trên hình elip với tiêu điểm của nó, - bán kính tiêu cự.

Dạng của elip hoàn toàn được xác định bởi tiêu cự | F 1 F 2 | = 2с và tham số a, và vị trí của nó trên mặt phẳng - bởi một cặp điểm F 1 và F 2.

Theo định nghĩa của một hình elip, nó đối xứng với một đường thẳng đi qua các tiêu điểm F 1 và F 2, cũng như về một đường thẳng chia đôi đoạn F 1 F 2 và vuông góc với nó (Hình 7.2, a). Những dòng này được gọi là trục hình elip. Giao điểm O của chúng là tâm đối xứng của elip, và nó được gọi là trung tâm của hình elip, và các giao điểm của hình elip với các trục đối xứng (các điểm A, B, C và D trong Hình 7.2, a) - các đỉnh của hình elip.

Số a được gọi là bán trục chính của một hình elip, và b = √ (a 2 - c 2) - của nó bán trục nhỏ. Dễ dàng thấy rằng với c> 0, bán trục chính a bằng khoảng cách từ tâm của hình elip đến các đỉnh của nó nằm trên cùng trục với tiêu điểm của elip (đỉnh A và B trong Hình 7.2, a), và bán trục nhỏ b bằng khoảng cách từ tâm hình elip đến hai đỉnh khác của nó (đỉnh C và D trong Hình 7.2, a).

Phương trình elip. Xét một số elip trên mặt phẳng có các điểm F 1 và F 2, trục chính 2a. Gọi 2c là tiêu cự, 2c = | F 1 F 2 |

Ta chọn một hệ trục tọa độ hình chữ nhật Oxy trên mặt phẳng sao cho gốc tọa độ của nó trùng với tâm của elip, và các trọng tâm nằm trên abscissa(Hình 7.2, b). Hệ tọa độ này được gọi là kinh điển cho hình elip đang được xem xét và các biến tương ứng là kinh điển.

Trong hệ tọa độ đã chọn, các foci có tọa độ F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Sử dụng công thức về khoảng cách giữa các điểm, ta viết điều kiện | F 1 M | + | F 2 M | = 2a trong tọa độ:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Phương trình này không thuận tiện vì nó chứa hai căn bậc hai. Vì vậy, chúng ta hãy biến đổi nó. Chúng tôi chuyển căn thứ hai trong phương trình (7.2) sang vế phải và bình phương nó:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Sau khi mở ngoặc và giảm các điều khoản like, chúng tôi nhận được

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

trong đó ε = c / a. Chúng ta lặp lại thao tác bình phương để loại bỏ căn thứ hai: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, hoặc, với giá trị của tham số đã nhập ε, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Vì a 2 - c 2 = b 2> 0 nên

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

Phương trình (7.4) được thỏa mãn bởi tọa độ của tất cả các điểm nằm trên elip. Nhưng khi suy ra phương trình này, các phép biến đổi không tương đương của phương trình ban đầu (7.2) đã được sử dụng - hai phương trình bình phương loại bỏ các gốc bình phương. Bình phương một phương trình là một phép biến đổi tương đương nếu cả hai vế đều chứa các đại lượng có cùng dấu, nhưng chúng tôi đã không kiểm tra điều này trong các phép biến đổi của mình.

Chúng ta có thể không kiểm tra tính tương đương của các phép biến đổi nếu chúng ta xem xét những điều sau đây. Một cặp điểm F 1 và F 2, | F 1 F 2 | = 2c, trên mặt phẳng xác định một họ các hình elip với các điểm tại các điểm này. Mỗi điểm của mặt phẳng, ngoại trừ các điểm thuộc đoạn F 1 F 2, đều thuộc một số hình elip của họ xác định. Trong trường hợp này, không có hai hình elip nào cắt nhau, vì tổng bán kính tiêu điểm xác định duy nhất một hình elip cụ thể. Vì vậy, họ hình elip được mô tả không có giao điểm bao gồm toàn bộ mặt phẳng, ngoại trừ các điểm của đoạn F 1 F 2. Xét tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (7.4) với giá trị cho trước của tham số a. Tập hợp này có thể được phân phối giữa một số hình elip không? Một số điểm của tập hợp thuộc hình elip với bán trục chính là a. Giả sử có một điểm trong tập hợp này nằm trên một hình elip với bán trục chính a. Khi đó tọa độ của điểm này tuân theo phương trình

những, cái đó. phương trình (7.4) và (7.5) có nghiệm chung. Tuy nhiên, có thể dễ dàng xác minh rằng hệ thống

cho ã ≠ a không có nghiệm. Để làm điều này, chỉ cần loại trừ x khỏi phương trình đầu tiên là đủ:

mà sau khi biến đổi dẫn đến phương trình

không có giải pháp cho a, bởi vì. Vì vậy, (7.4) là phương trình của một elip với bán trục chính a> 0 và bán trục nhỏ b = √ (a 2 - c 2)> 0. Nó được gọi là phương trình chính tắc của hình elip.

Chế độ xem hình elip. Phương pháp hình học xây dựng một hình elip được thảo luận ở trên cho ta một ý tưởng đầy đủ về sự xuất hiện của một hình elip. Nhưng dạng của một hình elip cũng có thể được nghiên cứu với sự trợ giúp của phương trình chính tắc của nó (7.4). Ví dụ, khi xét y ≥ 0, bạn có thể biểu thị y theo x: y = b√ (1 - x 2 / a 2), và sau khi kiểm tra hàm số này, hãy xây dựng đồ thị của nó. Có một cách khác để xây dựng một hình elip. Đường tròn bán kính a có tâm tại gốc của hệ tọa độ chính tắc của elip (7.4) được mô tả bởi phương trình x 2 + y 2 = a 2. Nếu nó được nén với hệ số a / b> 1 cùng trục y, sau đó bạn nhận được một đường cong được mô tả bởi phương trình x 2 + (ya / b) 2 \ u003d a 2, tức là một hình elip.

Nhận xét 7.1. Nếu nén cùng một đường tròn với hệ số a / b

Độ lệch tâm elip. Tỷ lệ giữa tiêu cự của hình elip với trục chính của nó được gọi là độ lệch tâm elip và được ký hiệu là ε. Đối với một hình elip đã cho

phương trình chính tắc (7.4), ε = 2c / 2a = с / a. Nếu trong (7.4) các tham số a và b liên quan với nhau bởi bất đẳng thức a

Với c = 0, khi hình elip biến thành hình tròn và ε = 0. Trong các trường hợp khác, 0

Phương trình (7.3) tương đương với phương trình (7.4) vì phương trình (7.4) và (7.2) là tương đương. Do đó, (7.3) cũng là một phương trình elip. Ngoài ra, quan hệ (7.3) thú vị ở chỗ nó đưa ra một công thức đơn giản không có gốc cho độ dài | F 2 M | một trong các bán kính tiêu điểm của điểm M (x; y) của elip: | F 2 M | = a + εx.

Một công thức tương tự cho bán kính tiêu điểm thứ hai có thể nhận được từ các cân nhắc đối xứng hoặc bằng cách tính toán lặp lại, trong đó, trước phương trình bình phương (7.2), căn thứ nhất được chuyển sang vế phải chứ không phải vế thứ hai. Vì vậy, với bất kỳ điểm M (x; y) nào trên elip (xem Hình 7.2)

| F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7,6)

và mỗi phương trình này là một phương trình elip.

Ví dụ 7.1. Hãy tìm phương trình chính tắc của một hình elip với bán trục chính 5 và độ lệch tâm 0,8 và dựng nó.

Biết bán trục chính của elip a = 5 và độ lệch tâm ε = 0,8, ta tìm được bán trục nhỏ của nó b. Vì b \ u003d √ (a 2 - c 2) và c \ u003d εa \ u003d 4 nên b \ u003d √ (5 2 - 4 2) \ u003d 3. Vậy phương trình chính tắc có dạng x 2/5 2 + y 2/3 2 \ u003d 1. Để tạo hình elip, thuận tiện là vẽ một hình chữ nhật có tâm tại gốc của hệ tọa độ chính tắc, các cạnh của chúng song song với các trục đối xứng của elip và bằng các trục tương ứng (Hình 7.4). Hình chữ nhật này giao với

các trục của elip tại các đỉnh A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3), và chính elip nội tiếp trong nó. Trên hình. 7.4 cũng cho thấy tiêu điểm F 1.2 (± 4; 0) của hình elip.

Tính chất hình học của hình elip. Chúng ta hãy viết lại phương trình đầu tiên trong (7.6) dưới dạng | F 1 M | = (а / ε - x) ε. Lưu ý rằng giá trị của a / ε - x đối với a> c là dương, vì tiêu điểm F 1 không thuộc elip. Giá trị này là khoảng cách đến đường thẳng đứng d: x = a / ε từ điểm M (x; y) ở bên trái đường thẳng này. Phương trình elip có thể được viết dưới dạng

| F 1 M | / (а / ε - x) = ε

Có nghĩa là hình elip này bao gồm các điểm M (x; y) của mặt phẳng mà tỷ số độ dài của bán kính tiêu điểm F 1 M với khoảng cách đến đường thẳng d là một giá trị không đổi bằng ε (Hình. 7,5).

Đường thẳng d có "kép" - đường thẳng đứng d ", đối xứng với d đối với tâm của hình elip, được cho bởi phương trình x \ u003d -a / ε. Đối với d", hình elip đó là được mô tả theo cách tương tự như đối với d. Cả hai dòng d và d "được gọi là ma trận hình elip. Các ma trận của hình elip vuông góc với trục đối xứng của elip, trên đó có các tiêu điểm của nó và cách tâm của elip một khoảng a / ε \ u003d a 2 / c (xem Hình 7.5) .

Khoảng cách p từ ma trận đến tiêu điểm gần nó nhất được gọi là tham số tiêu điểm của hình elip. Tham số này bằng

p \ u003d a / ε - c \ u003d (a 2 - c 2) / c \ u003d b 2 / c

Hình elip có một tính chất hình học quan trọng khác: bán kính tiêu điểm F 1 M và F 2 M tạo các góc bằng nhau với tiếp tuyến của elip tại điểm M (Hình 7.6).

Thuộc tính này có một ý nghĩa vật lý rõ ràng. Nếu một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm F 1, thì chùm tia ló ra khỏi tiêu điểm này, sau khi phản xạ khỏi hình elip, sẽ đi dọc theo bán kính tiêu điểm thứ hai, vì sau khi phản xạ nó sẽ cùng góc với đường cong như trước khi phản xạ. . Như vậy, tất cả các tia ra khỏi tiêu điểm F 1 sẽ tập trung ở tiêu điểm thứ hai F 2 và ngược lại. Dựa trên cách giải thích này, thuộc tính này được gọi là thuộc tính quang học của một hình elip.

Hình elip là quỹ tích của các điểm trong một mặt phẳng, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đó đến hai điểm đã cho F_1 và F_2 là một giá trị không đổi (2a), lớn hơn khoảng cách (2c) giữa các điểm đã cho này (Hình. 3,36, a). Định nghĩa hình học này thể hiện thuộc tính tiêu điểm của một hình elip.

Thuộc tính tiêu điểm của hình elip

Điểm F_1 và F_2 được gọi là tiêu điểm của elip, khoảng cách giữa chúng 2c = F_1F_2 là tiêu cự, trung điểm O của đoạn F_1F_2 là tâm của elip, số 2a là độ dài trục chính của ellipse (tương ứng, số a là bán trục chính của ellipse). Các đoạn F_1M và F_2M nối một điểm M tùy ý của elip với các tiêu điểm của nó được gọi là bán kính tiêu điểm của điểm M. Đoạn thẳng nối hai điểm của hình elip được gọi là dây của elip.

Tỷ số e = \ frac (c) (a) được gọi là độ lệch tâm của hình elip. Từ định nghĩa (2a> 2c), nó theo sau rằng 0 \ leqslant e 0, chúng tôi nhận được b ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2b ^ 2. Chia cả hai phần cho a ^ 2b ^ 2 \ ne0, chúng ta đi đến phương trình chính tắc của hình elip:

\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1.

Do đó, hệ tọa độ được chọn là hệ chính tắc.

Nếu các tiêu điểm của hình elip trùng với nhau, thì elip đó là một đường tròn (Hình 3.36.6), vì a = b. Trong trường hợp này, bất kỳ hệ tọa độ hình chữ nhật nào có gốc tại điểm O \ tương đương F_1 \ trang bị F_2, và phương trình x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 là phương trình của đường tròn tâm O và bán kính a.

Bằng cách suy luận ngược lại, có thể chỉ ra rằng tất cả các điểm có tọa độ thỏa mãn phương trình (3.49) và chỉ chúng thuộc quỹ tích của các điểm, được gọi là ellipse. Nói cách khác, định nghĩa giải tích của một hình elip tương đương với định nghĩa hình học của nó, thể hiện thuộc tính tiêu điểm của hình elip.

Thuộc tính thư mục của một hình elip

Ma trận của một hình elip là hai đường thẳng đi song song với trục tung của hệ tọa độ chính tắc ở cùng một khoảng cách \ frac (a ^ 2) (c) từ nó. Với c = 0, khi elip là một đường tròn, không có ma trận trực tiếp (chúng ta có thể giả sử rằng ma trận trực tiếp bị loại bỏ vô hạn).

Hình elip có độ lệch tâm 0