Viết Phương Trình đường Thẳng Là Hình Chiếu Của ...

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

• Siêu sale 15-5 Shopee

Trang trước Trang sau

Bài viết Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.

• Cách giải bài tập Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Ví dụ minh họa Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Bài tập vận dụng Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng
• Bài tập tự luyện Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với mặt phẳng (P)

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là:

- Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có

1 điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: (1; 2; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

1.(x – 1) + 0.(y - 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy)

Vậy d’ có phương trình tham số là:

Chọn C.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến

=> Phương trình (Q): - 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0

Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0

Ta có hệ :

=> M( 0; 0; - 2)∈ d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; - 2) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :

1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).

Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto

=> Phương trình AB:

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; 2; 0) và B( 0; 1; 1). Mặt phẳng (P): 3x+ y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P).

Đường thẳng AB đi qua A( -1; 2;0) và có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua A( - 1; 2; 0) có vectơ pháp tuyến chọn vecto

=> Phuong trình (Q): 0( x+ 1) + 1( y- 2) + 1( z- 0) = 0 Hay y+ z - 2= 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc d thì thỏa mãn :

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho x= 0

Ta có hệ:

=> M( 0;-2; 4) ∈d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; - 2; 4) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 0;0); B( 0; 1; 0) và C( 0; 0;1). Đường thẳng . Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các điểm sau điểm nào thuộc Δ?

A. ( 1; 2; -1)

B. ( 2; - 3; - 2)

C. (- 1; 3; -1)

D. ( 0; - 1; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Phương trình mặt phẳng hay x+ y+ z- 1= 0

+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)

=> Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B(0; 1; 0) thuộc d và nhận vecto làm vecto pháp tuyến chọn

=> Phương trình mặt phẳng ( Q): 1(x- 0) + 0( y- 1) – 1( z- 0) = 0

Hay ( Q): x- z= 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó: với mỗi điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn:

Đặt x= t =>

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

+cho t= - 1 ta được điểm H( -1;3; -1) thuộc đường thẳng Δ.

Chọn C

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; mặt phẳng (P) đi qua H(1;1;1)và song song với mặt phẳng ( Q): x-2y+ z- 2= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x- 2y + z+ D= 0

Mà điểm H( 1; 1; 1) thuộc (P) nên : 1- 2. 1+ 1+ D= 0 ⇔ D= 0

Vậy phương trình (P): x- 2y + z= 0

+ Đường thẳng d đi qua M(1 ;2; 0) và có vecto chỉ phương

+ Gọi ( R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

=> (R) qua M( 1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến

=> Phương trình ( R): 2( x- 1) + 3( y- 2) + 4( z- 0) = 0 hay 2x + 3y+ 4z – 8= 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được x= -4 và z= 4 => I( - 4; 0; 4) thuộc Δ.

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

Chọn D.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 4= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng Δ có dạng: . Tính a+ b+ c?

A. 3

B. 2

C.– 4

D. 5

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( -2; 1; 0) có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng (Q) chứa A( -2; 1; 0) và nhận vecto

=> Phương trình ( Q): 1( x+ 2) + 1( y- 1) + 1( z-0) = 0 hay x+ y+ z+ 2 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0 thay vào hệ ta được x= - 2 và z= 0

=> Điểm B( -2; 0; 0) thuộc Δ và Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ:

=> a= 0; b= 0 và c= 3 nên a+ b+c= 3

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là:

- Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có

1 điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: ( 0; 0; -1)

Phương trình mặt phẳng (Q) là: 1.(x – 0) + 0.(y - 0) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 1 = 0

- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)

Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của d trên (Oxz) biết :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (Oxz)có phương trình y= 0.

Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxz) là điểm M’ (x; 0; z) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxz)

Vậy d’ có phương trình tham số là d':

Chọn A.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt thẳng (P): -3x+ y – z - 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0; 1) và có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 1; 0; 1) có vectơ pháp tuyến

=> Phuong trình (Q): 1( x- 1) - 1( y- 0) - 4(z- 1) = 0 hay x - y - 4z + 3= 0

+ Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).

Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho z= 0

Ta có hệ:

=> M(1/2; 7/2;0) ∈d'

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(- 2; 3; 0) và B(0; 3; 1). Cho mặt phẳng ( P): x+ 2y- 2z- 4= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :

- 2+ 2.3- 2.0 - 4= 0 ( thỏa mãn).

Và 0+ 2.3 – 2. 1- 4 = 0 ( thỏa mãn) .

=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).

Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.

=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.

+ Đường thẳng AB: đi qua A(- 2; 3; 0) và nhận vecto

=> Phương trình AB:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -2; - 1; - 3) và B( 0; 1; -2). Mặt phẳng (P): x+ 2y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P).

Đường thẳng AB đi qua B( 0; 1; - 2) và có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 0; 1; -2) có vectơ pháp tuyến .

=> Phuong trình (Q): - 4( x- 0) + 3( y- 1) + 2( z+ 2) = 0 Hay - 4x + 3y+ 2z + 1= 0

+ Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc d thì thỏa mãn :

Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho y= 1

Ta có hệ :

=> M( 10; 1; 18) ∈d

+ Đường thẳng d’ đi qua điểm (10; 1; 18) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình tham số của d’ là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 2; 0;0); B( 0; -3; 0) và C( 0; 0;-2). Đường thẳng . Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các vecto sau vecto nào là vecto chỉ phương của Δ?

A. ( 1; 2; -1)

B. ( 2; - 3; - 2)

C. (1; 3; -1)

D. ( 3; - 1; 0)

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua I (1; 0; 0) có vecto chỉ phương

+ Phương trình mặt phẳng hay 3x – 2y – 3z - 6= 0

+ Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)

=> Mặt phẳng (Q) đi qua điểm I(1; 0 ;0) thuộc d và nhận vecto làm vecto pháp tuyến chọn

=> Phương trình mặt phẳng ( Q): 1(x- 1) + 0( y- 0) + 1( z- 0) = 0

Hay ( Q): x+ z- 1= 0

+ đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó; với mõi điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn:

Đặt x= t =>

=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:

Vậy một vec to chỉ phương của Δ là ( 1;3; - 1)

Chọn C

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ; mặt phẳng (P) gốc tọa độ và song song với mặt phẳng ( Q): x+ y+ z- 3= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x + y + z+ D= 0

Mà điểm O(0; 0; 0) thuộc (P) nên : 0+ 0+ 0+ D = 0 ⇔ D= 0. Vậy phương trình (P): x+ y + z= 0

+ Đường thẳng d đi qua M(- 3;1; -2) và có vecto chỉ phương

+ Gọi ( R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).

=> (R) qua M(- 3; 1; -2) và có vecto pháp tuyến

=> Phương trình ( R): 2( x+ 3) - 1( y- 1) - 1( z+ 2) = 0 hay 2x – y- z+ 5= 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:

Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được thuộc Δ.

Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng Δ: và đường thẳng Δ không có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x – y + z+ 2= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ ?

A. (3; 6; 0)

B. ( 1; - 2; 0 )

C. ( 6; 0; 12)

D. (0; 1; 2)

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 0; - 2; - 3) có vecto chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng (Q) chứa A(0; -2; - 3) và nhận vecto làm vecto pháp tuyến

=> Phương trình ( Q): - 2( x- 0) + 1( y+ 2) + 5( z+ 3) = 0 hay – 2x + y+ 5z + 17 = 0

+ Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:

=> Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> đường thẳng Δ cũng nhận vecto ( 3; 6; 0) làm vecto chỉ phương

Chọn A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x−12=y+5−1=z−34. Viết phương trình của hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng x + 3 = 0?

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x1=y−11=z−2−1 và mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0.  Hình chiếu vuông góc của d trên (P) là đường thẳng có phương trình là gì?

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x1=y−11=z−2−1, Δ: x2=y−11=z−2−4. Biết rằng Δ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Viết phương trình của (P)?

Bài 4. Trong không gian toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: x−2z=03x−2y+z−3=0 trên mặt phẳng (P): x - 2y + z + 5 = 0.

Bài 5.  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: x−1−3=y−32=z−1−2 lên mặt phẳng (P): x - 3y + z - 4 = 0.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:

• 30 đề toán, lý hóa, anh, văn 2024 (100-170k/1 cuốn)
• Đánh giá năng lực đại học quốc gia HN 2024 (sắp phát hành)
• Đánh giá năng lực đại học bách khoa HN 2024 (sắp phát hành)

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả Trang trước Trang sau phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp Các loạt bài lớp 12 khác

• Soạn Văn 12
• Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
• Văn mẫu lớp 12
• Giải bài tập Toán 12
• Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
• Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
• Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
• Giải bài tập Vật lý 12
• Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
• Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
• Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
• Giải bài tập Hóa học 12
• Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
• Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
• Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
• Giải bài tập Sinh học 12
• Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
• Chuyên đề Sinh học 12
• Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
• Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
• Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
• Giải bài tập Địa Lí 12
• Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
• Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
• Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
• Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
• Giải bài tập Tiếng anh 12
• Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
• Giải bài tập Lịch sử 12
• Giải tập bản đồ Lịch sử 12
• Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
• Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
• Giải bài tập Tin học 12
• Giải bài tập GDCD 12
• Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
• Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
• Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
• Giải bài tập Công nghệ 12