Xác định Nguyên Hàm Bằng Phương Pháp Tích Phân Từng Phần

Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Trung học cơ sở - phổ thông

Xác định nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (126.42 KB, 10 trang )

Tích phân Trần Só Tùng Trang 22 Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tính tích phân từng phần: udvuvvdu.=-òò Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh If(x)dx.=ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: 12If(x)dxf(x).f(x)dx.==òò + Bước 2: Đặt: 12uf(x)dudvf(x)dxv=ììÞíí=ỵỵ + Bước 3: Khi đó: Iuvvdu.=-ò Ví dụ 1: Tích tích phân bất đònh: 22xln(xx1)Ix1++=+ò. Giải: Viết lại I dưới dạng: 22xIln(xx1)dx.x1=+++ò Đặt : 2222221xuln(xx1)dxx1duxxx1x1dvx1vx1+ììï=+++ïï==Þíí+++=ïï+ỵï=+ỵ Khi đó: 2222Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.=+++-=+++-+ò Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.=ò Giải: Đặt : 1ucos(lnx)dusin(lnx)dxxdvdxvx-ì==ìïÞíí=ỵï=ỵ Khi đó: Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.=+ò (1) Xét Jsin(lnx)dx.=ò Đặt: 1usin(lnx)ducos(lnx)dxxdvdxvx.ì==ìïÞíí=ỵï=ỵ Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=-ò (2) Trần Só Tùng Tích phân Trang 23 Thay (2) vào (1), ta được: xIx.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C.2=+-Û=++ Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: 12Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx==òò ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau: Đặt : 1usin(lnx)ducos(lnx)dxxdvdxvxì==ìïÞíí=ỵï=ỵ Khi đó: 12Ix.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I.(3)=-=-ò · Sử dụng tích phân từng phần cho I2, như sau: Đặt : 1ucos(lnx)dusin(lnx)dxxdvdxvxì==-ìïÞíí=ỵï=ỵ Khi đó: 21Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+ò · Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: 12xxI[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.22=-+=++ Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh: 2ln(cosx)Idx.cosx=ò Giải: Đặt : 2uln(cosx) sinxdudxcosxdxdvvtgxcosx=ì ì=-ïïÞíí=ïï=ỵỵ Khi đó: 221Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dxcosxỉư=+=+-ç÷èøòò ln(cosx).tgxtgxxC.=+-+ Bài toán 2: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aaòò với P là một đa thức thuộc *R[X]vàR. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tích phân Trần Só Tùng Trang 24 Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : duP'(x)dxuP(x).1dvsinxdxvcosx=ì=ìïÞíí=a=-aỵï + Bước 2: Khi đó: 11IP(x)cosP'(x).cosx.dx.=-a+aaaò + Bước 3: Tiếp tục thủ tục trên ta sẽ “khử” được đa thức. · Cách 1: (Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Ta có: IP(x)cosxdxA(x)sinxB(x)cosxC.(1)=a=a+a+ò trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x). + Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx (2)a=+a++ Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x) + Bước 3: Kết luận. Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần. Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau: – Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1. – Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2. Ví dụ 4: Tính : 2Ix.sinxdx=ò (ĐHL_1999) Giải: Biến đổi I về dạng cơ bản: 21cos2x1111Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)22242-ỉư==-=-ç÷èøòòòò Xét Jxcos2xdx.=ò Đặt : 2dxdudxuxx1dvcos2xdx1vsin2x2ì==ï=ìï+Þíí=ỵï=ïỵ Khi đó: x1x1Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.2224=-=++ò (2) Thay (2) vào (1) ta được: 21x1Ixsin2xcos2xC.448=+++ Ví dụ 5: Tính : 32I(xx2x3)sinxdx.=-+-ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 25 Giải: Ta có: 32I(xx2x3)sinxdx=-+-ò 323211112222(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)=++++++++ Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được: 32322121212321212121(xx2x3)sinx[ax(3ab)x(2bc)xcd].cosx[ax(3ab)x(2bc)xcd].sinx(2)-+-=++++++------+- Đồng nhất đẳng thức, ta được: 22122112211221a0a13ab03ab1(I)và(II)2bc02bc2cd0cd3=-=ììïï+=-=-ïïíí+=-=ïïïï+=-+=-ỵỵ Giải (I) và (II), ta được: 11112222a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=- Khi đó: 322I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++ Bài toán 3: Tính ( )axaxIecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹òò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta lựa chọn một trong hai cách sau: · Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Đặt : axaxdubsin(bx)dxucos(bx).1vedvedxa=-ì=ìïÞíí==ỵïỵ Khi đó: axax1bIecos(bx)esin(bx)dx.(1)aa=+ò + Bước 2: Xét axJesin(bx)dx.=ò Đặt axaxdubcosx(bx)dxusin(bx)1vedvedxa=ì=ìïÞíí==ỵïỵ Khi đó: axaxax1b1bJesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)aaaa=-=-ò + Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được: ãax1b1bIecos(bx)[esin(bx)I]aaaa=+- ax22[a.cos(bx)b.sin(bx)eIC.ab+Û=++ · Cách 2: (Sử dụng phương pháp hằng số bất đònh). Ta thực hiện theo các bước : + Bước 1: Ta có: axaxIecos(bx)dx[Acos(bx)B.sin(bx)]eC.(3)==++ò trong đó A, B là các hằng số. Tích phân Trần Só Tùng Trang 26 + Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (3), ta được: axaxaxaxe.cos(bx)b[Asin(bx)Bcos(bx)]ea[Acos(bx)Bsin(bx)]e[(AaBb).cos(bx)BaAb)sin(bx)]e.=-+++=++- Đồng nhất đẳng thức, ta được: 2222aAAaBb1abBaAb0bBabì=ï+=ìï+Þíí-=ỵï=ï+ỵ + Bước 3: Vậy: ax22[a.cos(bx)b.sin(bx)]eIC.ab+=++ Chú ý: 1. Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân: axax12Iecos(bx)dxvàIesin(bx)dx.==òò ta nên lựa chọn cách trình bày sau: · Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau: Đặt: axaxdubsin(bx)dxucos(bx)1vedvedxa=-ì=ìïÞíí==ỵïỵ Khi đó: axaxax121b1bIecos(bx)esin(bx)dxecos(bx)I.(3)aaaa=+=+ò · Sử dụng tích phân từng phần cho I1, như sau: Đặt: axaxdubcos(bx)dxusin(bx)1vedvedxa=ì=ìïÞíí==ỵïỵ Khi đó: axaxax211b1bIesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(4)aaaa=-=-ò · Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: axax122222[a.cos(bx)b.sin(bx)]e[a.sin(bx)b.cos(bx)]eIC.IC.abab+-=+=+++ 2. Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân: ax2ax212Jesin(bx)dxvàJecos(bx)dx.==òò Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: x2Ie.cosxdx.=ò Giải: Cách 1: Viết lại I dưới dạng: xxxxx111Ie.(1cos2x)dx(edxe.cos2xdx)(ee.cos2xdx)(1)222=+=+=+òòòò · Xét xJe.cos2xdx.=ò

Tài liệu liên quan

• Xác định nguyên hàm bằng phương pháp phân tích từng phần
  • 28
  • 1
  • 0
• Xác định nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần
  • 10
  • 3
  • 30
• Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
  • 8
  • 8
  • 78
• Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
  • 7
  • 402
  • 2
• ĐỀ THI ONLINE – TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
  • 13
  • 316
  • 0
• xác định độ ẩm bằng phương pháp chuẩn độ karl fischer và phương pháp hồng ngoại
  • 17
  • 1
  • 5
• 3 tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản (tiết 1)
  • 2
  • 65
  • 0
• 4 tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản (tiết 2)
  • 3
  • 95
  • 0
• 5 tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản (tiết 3) phần 1
  • 2
  • 91
  • 0
• 6 tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến cơ bản (tiết 3) phần 2
  • 2
  • 91
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(126.42 KB - 10 trang) - Xác định nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần Tải bản đầy đủ ngay ×