Xét Tính Chẵn, Lẻ Của Hàm Số.
Có thể bạn quan tâm
A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)có tập xác định D.
• Hàm số \(f\) được gọi là hàm số chẵn nếu với \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\) .
• Hàm số \(f\) được gọi là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\)thì \( - x \in D\) và \(f\left( x \right) = - f\left( { - x} \right)\)
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\)
• \(f\) là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\)
• \(f\) là hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\)
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
• Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
• Bước 2. Kiểm tra:
+ Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) thì chuyển qua bước 3.
+ Nếu tồn tại \({x_0} \in D\) mà \( - {x_0} \notin D\) thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
• Bước 3. Xác định \(f\left( { - x} \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right):\)
+ Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) thì kết luận hàm số là chẵn.
+ Nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)thì kết luận hàm số là lẻ.
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)
b) \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \)
c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} + \sqrt {5 - x} \)
d) \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x} + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\)
Giải
a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)
Với mọi \(x \in R\) ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}} = - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) = - f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\)là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)
Với mọi \(x \in R\)ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^4} + \sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = {x^4} + \sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 5 \ge 0\\5 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 5\\x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le x \le 5\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 5;5} \right]\)
Với mọi \(x \in \left[ { - 5;5} \right]\)ta có \( - x \in \left[ { - 5;5} \right]\) và \(f\left( { - x} \right) = \sqrt { - x + 5} + \sqrt {5 - \left( { - x} \right)} = \sqrt {5 - x} + \sqrt {x + 5} = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 5} + \sqrt {5 - x} \) là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định: \[\left\{ \begin{array}{l}2 + x \ge 0\\2 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x < 2\]
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - 2;2} \right)\)
Ta có \({x_0} = - 2 \in \left[ { - 2;2} \right)\) nhưng \( - {x_0} = 2 \notin \left[ { - 2;2} \right)\)
Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2 + x} + \frac{1}{{\sqrt {2 - x} }}\) không chẵn và không lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^4} - 4x + 2\)
b) \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|\)
c) \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}\)
d) \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)
Giải
a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)
Ta có \[f\left( { - 1} \right) = 7;\,\,f\left( 1 \right) = - 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right)\\f\left( { - 1} \right) \ne - f\left( 1 \right)\end{array} \right.\]
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)
Với mọi \(x \in R\) ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = \left| {\left| { - x + 2} \right| - \left| { - x - 2} \right|} \right| = \left| {\left| {2 - x} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right| = \left| {\left| {x - 2} \right| - \left| {x + 2} \right|} \right|\)
Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \left| {\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 2} \right|} \right|\) là hàm số chẵn.
c) Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x \ne 0\,\,\forall x\)
Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = R\) .
Mặt khác \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + x \ne 0\,\,\forall x\) do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)
Với mọi \(x \in R\) ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} = - 2x\sqrt {{x^2} + 1} = - f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}}\)là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số: \(D = R\)
Dễ thấy với mọi \(x \in R\) ta có \( - x \in R\)
Với mọi \(x > 0\) ta có \( - x < 0\) suy ra \(f\left( { - x} \right) = - 1\), \(f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Với mọi \(x < 0\) ta có \( - x > 0\) suy ra \(f\left( { - x} \right) = 1;\,\,f\left( x \right) = - 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Và \(f\left( { - 0} \right) = - f\left( 0 \right) = 0\)
Do đó với mọi \(x \in R\)ta có \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\) Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1\,\,khi\,\,x < 0\\0\,\,khi\,\,x = 0\\1\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\)là hàm số lẻ.Ví dụ 3. Tìm \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) là hàm số chẵn.
Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\) Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)với mọi xx thỏa mãn điều kiện \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\) Ta có \(f\left( { - x} \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện xác định \( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1\).
+ Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\) Điều kiện xác định: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\) Suy ra tập xác định của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\) Dễ thấy với mọi \(x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\) là hàm số chẵn. + Với \(m = - 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) Tập xác định của hàm số \(D = R\) Dễ thấy với mọi \(x \in R\) ta có \( - x \in R\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) là hàm số chẵn. Vậy \(m = \pm 1\) là giá trị cần tìm.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Đề bài Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:a) \(f\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + 4\) b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 1}}\) c) \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} - \sqrt {1 - x} \) d) \(f\left( x \right) = \frac{{x - 5}}{{x - 1}}\) e) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\) f) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 1}}\) g) \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right| + \left| {x + 1} \right|}}{{\left| {2x - 1} \right| + \left| {2x + 1} \right|}}\) h) \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x + 2} \right| + \left| {x - 2} \right|}}{{\left| {x - 1} \right| - \left| {x + 1} \right|}}\)
Bài toán 2. Tìm \(m\) để hàm số: \(y = f\left( x \right) = \frac{{x\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2m - 1} \right)}}{{x - 2m + 1}}\) là hàm số chẵn.
Bài toán 3. Cho hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\) có cùng tập xác định \(D\). Chứng minh rằng:a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\)là hàm số lẻ. b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\)là hàm số lẻ.
Bài toán 4.a) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng: \(y = {x^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 3\) b) Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: \(y = {x^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} + {m^2} - 1\)
Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: \(y = {x^2} + \sqrt {3 - x} + \sqrt {3 + x} \)
2. Hướng dẫn giải và đáp số Bài toán 1.a) Hàm số lẻ. b) Hàm số chẵn. c) Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 1;1} \right]\) nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} = - f\left( x \right)\) Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. d) Tập xác định của hàm số là: \(D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\) Ta có \(x = - 1 \in D\) nhưng \( - x = 1 \notin D\) Do đó hàm số không chẵn và không lẻ. e) Tập xác định của hàm số là: \(D = R\) Ta có \(f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) = 6\) Suy ra \(f\left( { - 1} \right) \ne f\left( 1 \right);\,\,f\left( { - 1} \right) \ne - f\left( 1 \right)\) Do đó hàm số không chẵn và không lẻ. f) Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{ - {x^3}}}{{\left| { - x} \right| - 1}} = \frac{{ - {x^3}}}{{\left| x \right| - 1}} = - f\left( x \right)\,\,\forall x \in D\) Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. g) Tập xác định của hàm số là \(D = R\)nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\left| { - x - 1} \right| + \left| { - x + 1} \right|}}{{\left| { - 2x - 1} \right| + \left| { - 2x + 1} \right|}} = f\left( x \right)\)
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. h) Điều kiện xác định: \(\left| {x - 1} \right| \ne \left| {x + 1} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne x + 1\\x - 1 \ne - \left( {x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 0\) Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\), do đó \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\left| { - x + 2} \right| + \left| { - x - 2} \right|}}{{\left| { - x - 1} \right| - \left| { - x + 1} \right|}} = - f\left( x \right)\) Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài toán 2. Đáp số \(m = \frac{1}{2}\).
Bài toán 3.a) Ta có hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) Do hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\) lẻ nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right);\,\,g\left( { - x} \right) = - g\left( x \right)\) suy ra \(y\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right) + g\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) - g\left( x \right) = - \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = - y\left( x \right)\) Suy ra hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) là hàm số lẻ. b) Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\) lẻ. Khi đó hàm số \(y = f\left( x \right)g\left( x \right)\) có tập xác định là \(D\) nên \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Ta có \(y\left( { - x} \right) = f\left( { - x} \right)g\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\left( { - g\left( x \right)} \right) = - f\left( x \right)g\left( x \right) = - y\left( x \right)\) Do đó hàm số \(y = f\left( x \right)g\left( x \right)\) lẻ.
Bài toán 4.a) Tập xác định của hàm số: \(D = R\) , suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ \[ \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){\left( { - x} \right)^2} + \left( {m + 3} \right)\left( { - x} \right) + m - 3 = - \left[ {{x^3} - \left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x + m - 3} \right]\]
\( \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 9} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right) = 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 9 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\) b) Tập xác định của hàm số: \(D = R\) suy ra \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){\left( { - x} \right)^3} + {m^2} - 1 = {x^4} - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} + {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow 2\left( {{m^2} - 3m + 2} \right){x^3} = 0\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: \(D = R\)\(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)Ta có: \(y\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} + \sqrt {3 - \left( { - x} \right)} + \sqrt {3 + \left( { - x} \right)} = {x^2} + \sqrt {3 + x} + \sqrt {3 - x} = y\left( x \right)\) Do đó hàm số \(y = {x^2} + \sqrt {3 - x} + \sqrt {3 + x} \) là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.
Từ khóa » Cách Xác định Hàm Số Chẵn Lẻ Lớp 10
-
Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Hay, Chi Tiết - Toán ...
-
Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số, Hàm Có Trị Tuyệt đối Và Bài Tập
-
Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Chính Xác 100% [ Bài Tập Minh Họa]
-
Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Hay, Chi Tiết - Toán Lớp ... - Haylamdo
-
Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lớp 10 - O₂ Education
-
Cách Xác định Hàm Số Chẵn Lẻ Lớp 10 - Xây Nhà
-
Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số
-
Xác định Hàm Số Chẵn Lẻ - Payday Loanssqa
-
Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số
-
CÁCH XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ ...
-
Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số - Chuyên đề Môn Toán Lớp 10
-
Hàm Số Chẵn Lẻ, Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số - Toán Thầy Định
-
Cách Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Hay, Chi Tiết
-
Hàm Số Chẵn Là Gì? Hàm Số Lẻ Là Gì?