Approximation De π Par La Méthode D'Archimède

Nos manuelsSe connecterSommaireAccueil du manuelMathématiques 1re SpécialitéTélécharger l'applicationLivre du professeurFermer le sommaireSommaireMes pagesAller à la pageN° PageOuverturep. 1-11AlgèbreCh. 1

Suites numériques

Ch. 2

Fonctions de référence

Ch. 3

Équations et inéquations du second degré

AnalyseCh. 4

Dérivation

Ch. 5

Applications de la dérivation

Ch. 6

Fonction exponentielle

Ch. 7

Trigonométrie

Ch. 8

Fonctions trigonométriques

GéométrieCh. 9

Produit scalaire

Ch. 10

Configurations géométriques

Probabilités et statistiquesCh. 11

Probabilités conditionnelles

Ch. 12

Variables aléatoires réelles

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de seconde

/ 353EditerTéléchargerPartagerVue papierDécouvrez la vue papier en cliquant iciPage précédente Chapitre 7TP / TICE 1 Approximation de \pi par la méthode d'Archimède Ressource affichée de l'autre côté.Faites défiler pour voir la suite. Énoncé On souhaite connaître le plus précisément possible la valeur de \pi. Pour cela, on va utiliser la méthode d'Archimède qui consiste à encadrer la circonférence d'un cercle de rayon 1 par des polygones réguliers inscrits et circonscrits ayant de plus en plus de côtés. Questions préliminaires : On note \mathrm{P}_{n} la valeur du périmètre du polygone régulier intérieur à n côtés et \mathrm{P}_{n}^{\prime} celle du polygone régulier extérieur à n côtés. 1. À l'aide de la figure, justifier que \mathrm{P}_{6}=6. 2. En sachant que \tan (30)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, justifier que \mathrm{P}_{6}^{\prime}=4 \sqrt{3}. 3. En déduire une première approximation de \pi. On admet pour la suite que \mathrm{P}_{n}=2 \times n \times \sin \left(\dfrac{180}{n}\right) et \mathrm{P}_{n}^{\prime}=2 \times n \times \tan \left(\dfrac{180}{n}\right). Ressource affichée de l'autre côté.Faites défiler pour voir la suite.Objectif Donner une approximation de \pi avec la précision souhaitée à l'aide d'une des deux méthodes. Ressource affichée de l'autre côté.Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 1Tableur

1. Créer une feuille de calcul permettant de calculer \text{P} et \text{P}' en fonction de n. Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian donc, si on veut calculer la valeur du cosinus de 130°, on écrira : =cos(RADIANS(130)). 2. Dans la colonne D, afficher la différence entre \text{P}' et \text{P.} 3. Quelle valeur faut-il donner à n pour avoir un encadrement de \pi d'amplitude 10^{-1}\: ? Quelle serait alors une approximation de \pi ? 4. Quelle valeur faut-il donner à n pour avoir un encadrement de \pi d'amplitude 10^{-2}\: ? Quelle serait alors une approximation de \pi ? Ressource affichée de l'autre côté.Faites défiler pour voir la suite.

Méthode 2Python

On souhaite créer un programme permettant de calculer une approximation de \pi avec une précision p donnée. Dans l'algorithme suivant, on note n le nombre de côtés des deux polygones et \text{P1} et \text{P2} correspondent respectivement aux périmètres \mathrm{P}_{n} et \text{P}_{n}^{\prime}. \boxed{ \begin{array} {c|l } 1&\text { p } \leftarrow \text { 1 } \\ 2&\text { n } \leftarrow \text { 6 } \\ 3&\text { P1 } \leftarrow \text { ... } \\ 4&\text { P2 } \leftarrow \text { ... } \\ 5&\text { A } \leftarrow \text { P1 / 2 } \\ 6&\text { B } \leftarrow \text { P2 / 2 } \\ 7&\text { Tant que } \text{(B-A)} > 10^{-\text{p}} : \\ 8&\quad \text { n } \leftarrow \text { n+1 } \\ 9&\quad \text { A } \leftarrow \text { ... } \\ 10&\quad \text { B } \leftarrow \text { ... } \\ 11&\text {Fin Tant que} \end{array} } 1. Reproduire et compléter cet algorithme. 2. Expliquer la condition d'arrêt de la boucle Tant que. 3. Programmer cet algorithme avec Python afin d'obtenir un encadrement de \pi avec la précision p donnée ainsi que le nombre de côtés correspondant. Choisir p = 1 pour commencer puis p = 2. On pensera à utiliser la fonction radians pour manipuler des angles en radian avec Python. from math import * Cliquez pour accéder à la correction Page suivantePlein écranOptions d’affichage

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Je contribue !

j'ai une idée !

Oups, une coquille