Calcul De Pi Selon Archimède - BibM@th

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Archimède a inventé, vers 250 avant J-C, une méthode originale pour le calcul de l'aire d'un disque. Il encadre en effet cette valeur par l'aire d'un polygone régulier inscrit dans ce disque, et par l'aire d'un polygone régulier exinscrit :

Cette méthode préfigure le calcul intégral de Newton et Leibniz, près de 2000 ans avant son invention effective. En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède parvient à l'excellente approximation :

$$ \frac{223}{71}\leq \pi\leq \frac{22}7.$$ Détail de la méthode

On se propose d'approcher l'aire d'un disque de rayon 1. Considérons un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le disque, et notons $c$ la longueur de son côté. L'angle au centre vaut $\frac{2\pi}n$ et on a la figure suivante :

Par la formule d'Al-Kashi, on a $$c^2=2\left(1-\cos\left(\frac{2\pi}n\right)\right)=4\sin^2\left(\frac\pi n\right)$$ soit $c=2\sin\left(\frac\pi n\right).$ De plus, la hauteur a pour longueur $\cos\left(\frac \pi n\right)$ et finalement l'aire du polygone inscrit est $$A_{\textrm{inscrit}}=n\sin\left(\frac \pi n\right)\cos\left(\frac\pi n\right).$$

Considérons maintenant un polygone régulier à $n$ côtés exinscrit au disque, et notons $c$ son côté. On a la figure :

On a donc : $c=2\tan\left(\frac\pi n\right).$ La hauteur du triangle considéré vaut $1.$ On en déduit que l'aire du polygone exinscrit est : $$A_{\textrm{exinscrit}}=n\tan\left(\frac \pi n\right).$$ Finalement, l'aire du disque unité, qui vaut $\pi$, peut être encadrée de la façon suivante : $$n\sin\left(\frac\pi n\right)\cos\left(\frac\pi n\right)\leq \pi\leq n\tan\left(\frac\pi n\right).$$ Il reste à calculer $\sin(\pi/n)$ et $\cos(\pi/n)$ sans bien sûr connaitre la valeur de $\pi.$ On peut le faire, par exemple si $n=2^k\times 6,$ en utilisant une récurrence et les formules $$\sin\left(\frac{\pi}{2^k 6}\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{2^{k+1} 6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1} 6}\right)$$ et $$\cos\left(\frac{\pi}{2^k 6}\right)=2\cos^2\left(\frac{\pi}{2^{k+1} 6}\right)-1$$ (rappelons qu'on peut initier la récurrence par $\cos(\pi/6)=\sqrt 3/2$ et $\sin(\pi/6)=1/2$).

En réalité, Archimède encadrait non pas l'aire du disque par l'aire des deux polygones, mais le périmètre du cercle par le périmètre des deux polygones. Ceci amène à l'encadrement $$n\sin\left(\frac\pi n\right)\leq \pi\leq n\tan\left(\frac\pi n\right)$$ qui est plus précis, mais plus difficile à justifier (pourquoi le périmètre du polygone exinscrit devrait forcément être plus grand que le périmètre du cercle ? Ceci vient en réalité de l'inégalité $x\leq \tan x$ pour tout $x\in[0,\pi/2[$, que l'on peut aussi justifier par des considérations d'aire.). Consulter aussi...

• Biographie d'Archimède
• Méthode de Monte-Carlo

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