Approximation De Pi Par La Méthode D'Archimède - NumWorks

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Approximation de Pi par la méthode d'Archimède

Suites numériques

Objectif

Calcul de Pi par l'utilisation des suites numériques en suivant la méthode d'Archimède

Archimède était parvenu à établir des relations mathématiques très intéressantes entre le périmètre d'un polygone à nn côtés et celui d'un polygone à 2n2n côtés. Ces relations mathématiques lui ont permis de mettre en place le premier algorithme de l'histoire permettant d'approcher la valeur de π\pi.

En effet, plus le nombre de côtés d'un polygone est important et plus son périmètre tend à se rapprocher de la circonférence de son cercle circonscrit.

Un hexagone et un décagone inscrits dans un même cercle. Un carré et un octogone inscrits dans un même cercle.

On observe, de plus, une situation géométrique particulière lorsque l'on double le nombre de côtés du polygone.

On s'intéresse au triangle 0AB avec AB côté du polygone de taille n et O centre de son cercle circonscrit.

On choisit un cercle de rayon 1 dans lequel on inscrit un polygone à nn côtés ainsi qu'un polygone à 2n2n côtés.

On note dd la longueur d'un côté du polygone à nn côtés et cc la longueur du polygone avec 2n2n côtés. Notre objectif est d'établir une relation entre ces deux longueurs.

  1. On note H l'intersection entre le rayon du cercle et une longueur du polygone de taille nn, soit AB dans notre figure.

    1. Montrer que : CH=1−1−d24\displaystyle CH = 1 - \sqrt{1-\frac{d^2}{4}} .

      2. Le triangle OAB est un triangle isocèle dont (OH) est une hauteur. On a donc :

      CH=OC−OH=1−OH=1−1−d24\displaystyle CH = OC - OH = 1 - OH = 1 - \sqrt{1-\frac{d^2}{4}}

    2. En déduire que : c2=2−21−d24\displaystyle c^{2} = 2 - 2 \sqrt{1 - \frac{d^2}{4}}.

      3. Le triangle ACH est rectangle en H d'où :

      AC2=AH2+CH2=d24+(1−1−d24)2=d24+1−21−d24+1−d24=2−21−d24\displaystyle AC^2 = AH^2 + CH^2 = \frac{d^2}{4} + \left( 1 - \sqrt{1-\frac{d^2}{4}} \right) ^2 = \frac{d^2}{4} + 1 - 2\sqrt{1-\frac{d^2}{4}} + 1 - \frac{d^2}{4} = 2-2\sqrt{1-\frac{d^2}{4}}

  2. On pose une suite unu_n définie pour tout n≥1n \geq 1 telle que :

    un+1=2−21−un24\displaystyle u_{n+1}=\sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{u_n^2}{4}}}

    On s'intéresse dans un premier temps aux polygones dont le nombre de côtés est un multiple de 3.

    1. Dans notre contexte, à quoi correspondent les termes unu_n et un+1u_{n+1} ? Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite que nous cherchons à définir ?

      2. Dans notre contexte, le terme unu_n désigne le côté dd d'un polygone de taille nn et un+1u_{n+1} le côté cc d'un polygone de taille 2n2n. Ces polygones doublent leur nombre de côtés tout en restant inscrits dans le même cercle. Ces côtés sont donc de plus en plus nombreux et de plus en plus courts. On peut faire l'hypothèse que la suite unu_n est décroissante.

    2. Déterminer le premier terme u1u_1 qui correspond donc à la longueur d'un côté d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon 1.

      3. Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité est confondu avec le centre du cercle circonscrit au triangle. Autrement dit, le centre du cercle circonscrit se situe sur la médiane/hauteur à 1/3 de la base : la hauteur d'un tel triangle est égale à 3/2. On en déduit par le théorème de Pythagore que les côtés de ce triangle équilatéral sont égaux à 3\sqrt{3}. Ainsi :

      u1=3u_1 = \sqrt{3}.

    3. Déterminer une suite vnv_n permettant de déterminer le nombre de côté d'un polygone telle que v1v_1 est le nombre de côté d'un triangle, v2v_2 celui d'un hexagone, etc.

      4. On s'intéresse à des polygones qui double leur nombre de côtés à chaque itération, donc la suite est géométrique de raison 2 et de premier terme v1=3v_1=3. D'où :

      vn=3×2n−1\displaystyle v_n = 3 \times 2^{n-1}

    4. On sait que le périmètre du polygone tend vers la circonférence du cercle circonscrit lors que nn tend vers l'infini. En déduire l'expression d'une suite wnw_n dont les termes s'approchent de π\pi vers l'infini et vérifier en générant les premiers termes de la suite avec la calculatrice.

      5. On entre la définition d'une suite par récurrence d'ordre 1 et de premier terme u1. On définit w à partir des deux suites précédentes.

      Le périmètre du polygone est la somme de ses côtés. Cependant, la circonférence du cercle dans lequel sont inscrits les polygones vaut 2π2 \pi. Si l'on veut que notre suite tendent vers π\pi, on obtient :

      wn=un2×vn\displaystyle w_n = \frac{u_n}{2} \times v_n

      La suite semble effectivement converger vers π\pi.

      Les termes de la suite w tendent vers pi.

    5. Même question pour des polygones dont le nombre de côtés est un multiple de 4.

      6. On suit le même raisonnement mais en modifiant la valeur du premier terme de la suite unu_n ainsi que la définition de la suite vnv_n.

      Le premier terme de la suite unu_n correspond au côté d'un carré inscrit dans un cercle de rayon 1. On calcule u1=2u_1 = \sqrt{2}. Le premier terme de la suite vnv_n est lui aussi différent et on obtient vn=4×2n−1v_n=4\times2^{n-1}.

      On entre la définition d'une suite par récurrence d'ordre 1 et de premier terme u1. On définit w à partir des deux suites précédentes. w semble tendre vers pi.

      La suite semble à nouveau converger vers π\pi.

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