Arc Cosinus - Wikipédia

Pour les articles homonymes, voir Arccos.

Fonction arc cosinusReprésentation graphique (dans un repère non normé).

Notation	arccos ⁡ ( x ) {\displaystyle \arccos(x)}
Réciproque	cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} sur [ 0 ; π ] {\displaystyle [0;\pi ]}
Dérivée	− 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Primitives	x arccos ⁡ ( x ) − 1 − x 2 + C {\displaystyle x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]}
Ensemble image	[ 0 ; π ] {\displaystyle [0;\pi ]}

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En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul (0° ou 0 rad) et l'angle plat (180° ou π {\displaystyle \pi } rad).

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée arccos {\displaystyle \arccos } ( Arccos {\displaystyle \operatorname {Arccos} } [1] ou Acos {\displaystyle \operatorname {Acos} } en notation française, et cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} , parfois acos {\displaystyle \operatorname {acos} } ou acs {\displaystyle \operatorname {acs} } , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [ 0 ; π ] {\displaystyle [0;\pi ]} donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation y = x {\displaystyle y=x} .

Définition

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La fonction arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] {\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]} est définie comme la fonction réciproque de cos {\displaystyle \cos } sur [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} , c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

∀ x ∈ [ 0 , π ] arccos ⁡ ( cos ⁡ x ) = x . {\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}

En langue naturelle : Pour tout x {\displaystyle x} inclus dans l'intervalle de 0 {\displaystyle 0} à π, l'image de la fonction arc cosinus sur l'antécédent cosinus de x {\displaystyle x} , est x {\displaystyle x} .

Ensemble de définition

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-1 et 1 sont les valeurs minimales et maximales du rapport entre la coordonnée en abscisse du point placé sur le cercle unité, et le rayon du cercle.

Propriétés

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Relations trigonométriques

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Non-parité

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Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente, la fonction arccos {\displaystyle \arccos } n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante[2] : ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] arccos ⁡ ( − x ) = π − arccos ⁡ x . {\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}

Relation avec le sinus

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Pour X = arccos ⁡ x {\displaystyle X=\arccos x} , on a sin ⁡ X ≥ 0 {\displaystyle \sin X\geq 0} (car X ∈ [ 0 , π ] {\displaystyle X\in [0,\pi ]} ) et cos 2 ⁡ X + sin 2 ⁡ X = 1 {\displaystyle \cos ^{2}X+\sin ^{2}X=1} , donc[réf. souhaitée] : sin ⁡ ( arccos ⁡ x ) = 1 − x 2 . {\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}

« Inversion » des formules trigonométriques

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Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque cos ⁡ 2 x = 2 cos 2 ⁡ x − 1 {\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1} , on a arccos ⁡ ( 2 X 2 − 1 ) = 2 arccos ⁡ X {\displaystyle \arccos \left(2X^{2}-1\right)=2\arccos X} , mais seulement pour X ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\in [0,1]} [réf. souhaitée].

Dérivée

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Comme dérivée d'une fonction réciproque, arccos {\displaystyle \arccos } est dérivable sur ] − 1 ; 1 [ {\displaystyle ]-1;1[} et vérifie[3] : arccos ′ ⁡ x = − 1 1 − x 2 . {\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra).

Forme intégrale indéfinie

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Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie[4] : arccos ⁡ x = ∫ 1 x − 1 1 − t 2 d t . {\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}

Primitives

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Les primitives de la fonction arccos {\displaystyle \arccos } s'obtiennent par intégration par parties[5] : ∫ arccos ⁡ ( x )   d x = x arccos ⁡ ( x ) − 1 − x 2 + C . {\displaystyle \int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}

Relation entre arc cosinus et arc sinus

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arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x = π 2 {\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}

En effet, π 2 − arccos ⁡ x {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x} est compris entre − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} et π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} et son sinus est égal au cosinus de arccos ⁡ x {\displaystyle \arccos x} , c'est-à-dire à x {\displaystyle x} , donc π 2 − arccos ⁡ x = arcsin ⁡ x {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\arcsin x} .

(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

Forme logarithmique complexe

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On peut exprimer la fonction arccos {\displaystyle \arccos } à l’aide du logarithme complexe[6] : arccos ⁡ ( x ) = − i ln ⁡ ( x + i 1 − x 2 ) = π 2 + i ln ⁡ ( i x + 1 − x 2 ) = π 2 − arcsin ⁡ ( x ) . {\displaystyle \arccos(x)=-\mathrm {i} \,\ln \left(x+\mathrm {i} \,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} \,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}

Références

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1. ↑ Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles : Filière : scientifique (MPSI), 35 p. (lire en ligne [PDF]), « Techniques fondamentales de calcul en analyse », p. 10
2. ↑ Abramowitz Stegun, 4.4.15, p. 80.
3. ↑ Abramowitz Stegun, 4.4.53, p. 82.
4. ↑ Abramowitz Stegun, 4.4.2, p. 79.
5. ↑ Abramowitz Stegun, 4.4.59, p. 82.
6. ↑ Abramowitz Stegun, 4.4.27, p. 80.

Voir aussi

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Sur les autres projets Wikimedia :

• Arc cosinus, sur Wikimedia Commons
• Fonction arccos, sur Wikiversity

Articles connexes

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• Arc sinus

Liens externes

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• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :
  • Enciclopedia De Agostini
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Treccani
• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Cosine », sur MathWorld
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1046 p. (lire en ligne ), chap. 4.4 (« Inverse Circular Functions. »)

v · mTrigonométrie
Trigonométrie du cercle	Fonctions trigonométriques Cosinus Sinus Tangente Cotangente Sécante Cosécante sinus verse Fonctions circulaires réciproques Arc cosinus Arc sinus Arc tangente Arc cotangente Arc sécante Arc cosécante Intégrales trigonométriques Cosinus intégral Sinus intégral Relations Identité trigonométrique Identité trigonométrique pythagoricienne Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes
Trigonométrie hyperbolique	Fonction hyperbolique Cosinus hyperbolique Sinus hyperbolique Tangente hyperbolique Cotangente hyperbolique Sécante hyperbolique Cosécante hyperbolique Fonction hyperbolique réciproque Cosinus hyperbolique réciproque Sinus hyperbolique réciproque Tangente hyperbolique réciproque Cotangente hyperbolique réciproque Sécante hyperbolique réciproque Cosécante hyperbolique réciproque
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