Arc Sinus & Arc Cosinus - ChronoMath

Si on a l'égalité x = sin y, on notera y = asn x (ou y = arc sin x), sans majuscule, les nombres y dont le sinus est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images).

En effet, la fonction sinus a pour période 2π et, de plus sin y = sin(π - y), donc :

Si x = sin y, on a aussi x = sin(y + 2kπ) et x = sin(π - y + 2kπ)

• C'est dire, par exemple que asn(1/2) a pour images π/6 , 5π/6 , 13π/6 , 17π/6 , ...

∗∗∗ Dans le bon vieux temps des années 1980, les matheux faisaient de la programmation : on n'avait pas encore Mathematica ou Maple. Les langages comme BASIC sur Apple ou MS-DOS ne possédaient que la fonction ATN (Arc tangente), d'où l'astuce : Vérifier que l'instruction u = 2*ATN(x/(1 + sqr(1 - x*x)) retourne Asn(x) dans la variable u.

∗∗∗ Étude d'une fonction Arc sinus un peu compliquée...

Fonctions Arc cosinus & arc cosinus

• Nom de la fonction : Arc cosinus. C'est une fonction trigonométrique, réciproque de la fonction cosinus restreinte à l'intervalle J = [0, π] sur lequel cette dernière est bijective puisque continue et strictement décroissante de J sur [-1,+1].

• Origine du nom, abréviation : decosinuset de arc (de cercle). L'Arc cosinus d'un nombre x est l'angle y (exprimé en radians) de l'intervalle [0, π] dont le cosinus est x.

• Ensemble de définition : [-1,+1].

• Notation : y = Arccos(x) ou y = Acs(x).

• Exemple : Arccos(1/2) = π/3.

• Pourquoi Arc et non angle ? Tout simplement parce que sur le cercle trigonométrique (centré à l'origine et de rayon 1), y représente la mesure de l'arc AM défini par l'angle ^AOM.

• Périodique : non.

• Fonction dérivée :

• Nom de la courbe associée : néant. Mais, par symétrie, c'est un arc de sinusoïde.

• Définition équivalente : fonction réciproque (aussi dite, à tort, fonction inverse) de la fonction cosinus restreinte à l'intervalle J = [0,π] sur lequel cette dernière est bijective : continue et strictement décroissante de J sur [-1,+1].

• Applications : recherche d'un angle dont le cosinus est donné. Touche cos-1 ou Acs des calculatrices.

Si on a l'égalité x = cos y, on notera y = acsx (ou y = arccos x), sans majuscule, les nombres y dont le cosinus est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images).

En effet, la fonction cosinus a pour période 2π et, de plus cos y = cos(- y), donc :

Si x = cosy, on a aussi x = cos(y + 2kπ) et x = cos(2kπ - y)

• C'est dire, par exemple que acs(1/2) a pour images π/3 , -π/3 , 13π/3 , 11π/3 , ...

∗∗∗ Dans le bon vieux temps des années 1980, les matheux faisaient de la programmation : on n'avait pas encore Mathematica ou Maple. Les langages comme BASIC sur Apple ou MS-DOS ne possédaient que la fonction ATN (Arc tangente), d'où l'astuce : Vérifier que l'instruction u = 1.5707963267949897 - 2*ATN(x/(1 + sqr(1 - x*x)) retourne Acs(x) dans la variable u.

∗∗∗ Prouver que : 2Acs(3/4) = Acs(1/8)

Puisque cos x = sin(π/2 - x), on remarquera que :

Arcsinx + Arccosx = π/2

D'autre part, cos2(Asin(x)) + sin2(Asin(x)) = 1, donc :

Si -1 ≤ x ≤ 1, cos(Asinx) = √(1 - x)2

On a aussi cos2(Acos(x)) + sin2(Acos(x)) = 1, donc :

Si -1 ≤ x ≤ 1, sin(Acos(x)) = √(1 - x)2