2 Đa Tạp Affine Và đa Tạp Xạ ảnh - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ >
Luận Văn - Báo Cáo >
Thạc sĩ - Cao học >

2 Đa tạp affine và đa tạp xạ ảnh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (789.67 KB, 82 trang )

Định nghĩa 1.2.1.4 Một tập đại số affine 𝑉 được gọi là một đa tạp affine nếu 𝐼(𝑉)� [𝑋 ].là một idean nguyên tố trong 𝕂Chú ý là nếu V được định nghĩa trên 𝕂 thì sẽ không đủ nếu ta chỉ kiểm traI(V/K) có nguyên tố trong 𝕂[X] hay không. Ví dụ, xét idean X12 − 2X 22 trongℚ [X 1 , X 2 ].Định nghĩa 1.2.1.5 Cho 𝑉 là một đa tạp. Chiều của 𝑉, ký hiệu bởi 𝑑𝑖𝑚(𝑉), là bậc� (𝑉) trên 𝕂�.siêu việt của 𝕂Ví dụ 1.2.1.6𝑛� (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ). Tương tự, nếu� �𝒜𝕂Chiều của 𝒜𝑛𝕂� là 𝑛, vì 𝕂�� = 𝕂𝑉 ⊂ 𝒜𝑛𝕂� được cho bởi phương trình đa thức khác hằngthì dim(𝑉 ) = n − 1.Định nghĩa 1.2.1.7𝑓(𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 0,� [𝑋] là tập cácCho 𝑉 là một đa tạp, 𝑃 ∈ 𝑉 và 𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ∈ 𝕂phần tử sinh của 𝐼𝑉 . Khi đó, 𝑉 là không kỳ dị (hoặc trơn) tại 𝑃 nếu ma trận 𝑚 × 𝑛�𝜕𝑓𝑖(𝑃 )�𝜕𝑋𝑗1≤𝑖≤𝑚1≤𝑗≤𝑛có hạng 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚(𝑉 ). Nếu 𝑉 không kỳ dị tại mọi điểm thì ta nói rằng 𝑉 là không kỳdị (hoặc trơn).Ví dụ 1.2.1.8Cho 𝑉 được định nghĩa bởi phương trình đa thức khác hằng𝑓 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 0. Khi đó Ví dụ 1.2.1.6 nói rằng dim(𝑉 ) = 𝑛 − 1, do đó 𝑃 ∈ 𝑉 làmột điểm kỳ dị nếu và chỉ nếu𝜕𝑓𝜕𝑓(𝑃 ) = ⋯ =(𝑃) = 0.𝜕𝑋1𝜕𝑋𝑛1.2.2 Đa tạp xạ ảnhĐịnh nghĩa 1.2.2.1 Không gian xạ ảnh 𝑛 chiều trên 𝕂, ký hiệu 𝒫 𝑛 hay 𝒫𝕂�𝑛 , là tậptất cả các bộ ( 𝑛 + 1 ) phần tử(𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) ∈ 𝔸𝑛+1sao cho tồn tại ít nhất một phần tử 𝑥𝑖 khác 0.Hai bộ (𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) và (𝑦1 , … , 𝑦𝑛+1 ) được gọi là tương đương nếu tồn tại một số� \{0} sao cho 𝑥𝑖 = 𝜆𝑦𝑖 với mọi 𝑖. Một lớp quan hệ tương đương𝜆∈𝕂� \{0}}{(𝜆𝑥1 , … , 𝜆𝑥𝑛+1 ): 𝜆 ∈ 𝕂được ký hiệu bởi [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] và 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 được gọi là các tọa độ thuần nhất củamột điểm trong 𝒫 𝑛 . Tập các điểm 𝕂 – hữu tỷ trong 𝒫 𝑛 là tập𝒫𝕂𝑛 = {[𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫 𝑛 :tất cả 𝑥𝑖 ∈ 𝕂}.Nhận xét 1.2.2.2 Chú ý là nếu 𝑃 = [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 , ta không thể suy ra mỗi𝑥𝑖 ∈ 𝕂. Tuy nhiên, nếu chọn một 𝑖 nào đó sao cho 𝑥𝑖 ≠ 0 thì ta có 𝑥𝑗 /𝑥𝑖 ∈ 𝕂 vớimọi 𝑗.� [𝑋 ] = 𝕂� [𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ] là thuần nhất bậc 𝑑Định nghĩa 1.2.2.3 Một đa thức 𝑓 ∈ 𝕂nếu�.𝑓 (𝜆𝑋1 , … , 𝜆𝑋𝑛+1 ) = 𝜆𝑑 𝑓(𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝜆 ∈ 𝕂� [𝑋] là thuần nhất nếu nó được sinh bởi các đa thức thuần nhất.Một idean 𝐼 ⊂ 𝕂Với mỗi idean thuần nhất 𝐼 ta liên kết một tập con của 𝒫𝕂�𝑛 bởi quy tắc𝑉𝐼 = �𝑃 ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑓 (𝑃) = 0 với mọi 𝑓 ∈ 𝐼 thuần nhất�.Định nghĩa 1.2.2.4 Một tập đại số xạ ảnh là tập bất kỳ có dạng 𝑉𝐼 với một idean 𝐼thuần nhất. Nếu 𝑉 là một tập đại số xạ ảnh thì idean thuần nhất của 𝑉, ký hiệu là� [𝑋] sinh bởi𝐼(𝑉), là idean của 𝕂� [𝑋 ]: 𝑓 là thuần nhất và 𝑓 (𝑃) = 0 với mọi 𝑃 ∈ 𝑉�.�𝑓 ∈ 𝕂Một 𝑉 như vậy được định nghĩa trên 𝕂, ký hiệu là 𝑉/𝕂, nếu idean 𝐼(𝑉) của nóđược sinh bởi các đa thức thuần nhất trong 𝕂[𝑋 ]. Nếu 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂 thìtập các điểm 𝕂 – hữu tỷ của 𝑉 là tập𝑉 (𝕂) = 𝑉 ∩ 𝒫𝕂𝑛 .Ví dụ 1.2.2.5 Một đường trong 𝒫2 là một tập đại số cho bởi phương trình tuyếntính𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍 = 0� không đồng thời bằng 0. Nếu giả sử 𝑐 ≠ 0 thì một đường như vậyvới 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕂được định nghĩa trên một trường bất kỳ chứa 𝑎/𝑐 và 𝑏 /𝑐. Một cách tổng quát hơn,một siêu phẳng trong 𝒫 𝑛 được cho bởi phương trình𝑎1 𝑋1 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 𝑋𝑛+1 = 0� không đồng thời bằng 0.với các 𝑎𝑖 ∈ 𝕂Nhận xét 1.2.2.6 Một điểm của 𝒫ℚ𝑛 có dạng [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] với 𝑥𝑖 ∈ ℚ. Nhân vớimột số hữu tỷ 𝜆 ∈ ℚ thích hợp, ta có thể loại bỏ mẫu số và các nhân tử chung khỏicác 𝑥𝑖 . Nói cách khác, mỗi 𝑃 ∈ 𝒫ℚ𝑛 có thể viết dưới dạng tọa độ thuần nhất thỏa𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ∈ ℤ và gcd(𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 ) = 1.Như vậy, nếu một idean của tập 𝑉/ℚ được sinh bởi các đa thức thuần nhất𝑓1 , … , 𝑓𝑚 ∈ ℚ[𝑋] thì việc mô tả 𝑉 (ℚ) tương đương với việc tìm nghiệm của phươngtrình thuần nhất𝑓1 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) = ⋯ = 𝑓𝑚 (𝑋1 , … , 𝑋𝑛+1 ) = 0với các số 𝑥1 , … , 𝑥𝑛+1 nguyên tố cùng nhauĐịnh nghĩa 1.2.2.7 Một tập đại số xạ ảnh được gọi là một đa tạp xạ ảnh nếu idean� [𝑋 ].thuần nhất 𝐼(𝑉) của nó là một idean nguyên tố trong 𝕂𝑛Rõ ràng 𝒫𝕂�𝑛 có thể chứa nhiều thành phần giống với 𝒜𝕂� . Chẳng hạn, với mỗi0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, ta có phép nhúng sau𝜙𝑖 : 𝒜𝑛𝕂� ⟶ 𝒫𝕂�𝑛 ,(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ⟼ [𝑥1 : … : 𝑥𝑖−1 : 1: 𝑥𝑖 : … : 𝑥𝑛 ].Ta ký hiệu 𝐻𝑖 là siêu phẳng trong 𝒫𝕂�𝑛 xác định bởi 𝑋𝑖 = 0,𝐻𝑖 = {𝑃 = [𝑥1 : . . . : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑥𝑖 = 0},Và 𝑈𝑖 là phần bù của 𝐻𝑖 ,𝑈𝑖 = {𝑃 = [𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ∈ 𝒫𝕂�𝑛 : 𝑥𝑖 ≠ 0} = 𝒫𝕂�𝑛 \𝐻𝑖 .Khi đó, tồn tại một song ánh tự nhiên𝑛𝜙𝑖−1 : 𝑈𝑖 ⟶ 𝒜𝕂�,𝑥𝑖−1 𝑥𝑖+1𝑥𝑛+1𝑥1 𝑥2[𝑥1 : … : 𝑥𝑛+1 ] ⟼ � , , … ,�.,,…,𝑥𝑖 𝑥𝑖𝑥𝑖𝑥𝑖𝑥𝑖Với mỗi 𝑖 cố định, thông thường ta sẽ xác định 𝒜𝑛𝕂� với tập 𝑈𝑖 trong 𝒫𝕂�𝑛 thông quaánh xạ 𝜙𝑖 .� [𝑋 ]. Khi đó,Bây giờ cho 𝑉 là một tập đại số xạ ảnh với idean thuần nhất 𝐼(𝑉 ) ⊂ 𝕂𝑛𝑛−1� [𝑌] được𝑉 ∩ 𝒜𝕂� = 𝜙𝑖 (𝑉 ∩ 𝑈𝑖 ) là một tập đại số affine với idean 𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝕂�� ⊂ 𝕂cho bởi𝐼�𝑉 ∩ 𝒜𝑛𝕂� � = {𝑓 (𝑌1 , … , 𝑌𝑖−1 , 1, 𝑌𝑖+1 , … , 𝑌𝑛 ): 𝑓 (𝑋0 , … , 𝑋𝑛 ) ∈ 𝐼(𝑉 )}.Chú ý là các tập hợp 𝑈0 , … , 𝑈𝑛 phủ toàn bộ 𝒫𝕂�𝑛 , do đó một đa tạp xạ ảnh 𝑉 bất kỳ sẽđược phủ bởi 𝑉 ∩ 𝑈0 , … , 𝑉 ∩ 𝑈𝑛 , với mỗi tập hợp như vậy là một đa tạp affinethông qua một ánh xạ 𝜙𝑖−1 thích hợp. Quy trình thay thế đa thức 𝑓 (𝑋0 , … , 𝑋𝑛 ) bởiđa thức 𝑓 (𝑌1 , … , 𝑌𝑖−1 , 1, 𝑌𝑖+1 , … , 𝑌𝑛 ) được gọi là nghịch thuần nhất hóa(dehomogenization) tương ứng với 𝑋𝑖 .� [Y], ta địnhQuy trình này cũng có thể được thực hiện ngược lại. Với mỗi f(Y) ∈ 𝕂nghĩa𝑋1𝑋𝑖−1 𝑋𝑖+1𝑋𝑛,, … , �,𝑓 ∗ (𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ) = 𝑋𝑖𝑑 𝑓 � , … ,𝑋𝑖𝑋𝑖𝑋𝑖𝑋𝑖Trong đó, 𝑑 = deg (𝑓) là số nguyên nhỏ nhất sao cho 𝑓 ∗ là một đa thức. Ta nói 𝑓 ∗là thuần nhất hóa (homogenization) của 𝑓 tương ứng với 𝑋𝑖 .𝑛Định nghĩa 1.2.2.8 Cho 𝑉 ⊂ 𝒜𝕂� là một tập đại số affine với idean 𝐼 (𝑉 ). Ta có thểxem 𝑉 như là tập con của 𝒫𝕂�𝑛 thông qua𝜙𝑖𝑛𝑛𝑉 ⊂ 𝒜𝕂� �⎯⎯⎯� 𝒫𝕂�.Bao đóng xạ ảnh của 𝑉, ký hiệu là 𝑉� , là một tập đại số xạ ảnh với idean thuần nhất𝐼(𝑉� ) sinh bởiĐịnh lý 1.2.2.9{𝑓 ∗ (𝑋 ): 𝑓 ∈ 𝐼 (𝑉 )}.𝑛(a) Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó, 𝑉� là một đa tạp xả ảnh và 𝑉 = 𝑉� ∩ 𝒜𝕂�.𝑛(b) Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh. Khi đó, 𝑉 ∩ 𝒜𝕂� là một đa tạp affine, và ta có𝑛𝑉 ∩ 𝒜𝕂�hoặc𝑛��𝑉=𝑉∩ 𝒜𝕂�.(c) Nếu một đa tạp affine (xạ ảnh) 𝑉 được định nghĩa trên 𝕂, thì 𝑉� (tương ứng𝑛𝑉 ∩ 𝒜𝕂� ) cũng được định nghĩa trên 𝕂.Từ Định lý 1.2.2.9, ta suy ra mỗi đa tạp affine có thể được xác định bởi một đatạp xạ ảnh duy nhất. Thực tế, vì ta cảm thấy dễ dàng hơn về mặt ký hiệu khi làmviệc với tọa độ affine, ta sẽ thường nói rằng « cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh » và viếtxuống một phương trình không thuần nhất nào đó. Khi đó, ta hiểu ngầm rằng 𝑉 làmột đóng xạ ảnh của một đa tạp affine 𝑊 tương ứng. Các điểm trong tập 𝑉\𝑊được gọi là điểm ở vô tận trên 𝑉.Ví dụ 1.2.2.10 Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi phương trình𝑉: 𝑌 2 = 𝑋 3 + 17.Với cách nói trên, ta thực tế phải hiểu rằng 𝑉 là một đa tạp trong 𝒫𝕂�2 cho bởiphương trình𝑌� 2 𝑍̅ = 𝑋� 3 + 17𝑍̅ 3 ,Thông qua phép xác định 𝑋 = 𝑋� /𝑍̅ và 𝑌 = 𝑌�/𝑍̅.Đa tạp này có một điểm ở vô tận là [0: 1: 0], nhận được khi ta cho 𝑍̅ = 0. Vậy,trongtrường hợp cụ thể 𝕂 = ℚ, ta có2: 𝑦 2 = 𝑥 3 + 17� ∪ {[0: 1: 0]}.𝑉 (ℚ) = �(𝑥, 𝑦) ∈ 𝒜ℚTrong Ví dụ 1.2.1.3 ta đã nêu ra một số điểm của 𝑉 (ℚ). Trong Chương 2, ta sẽđưa ra quy tắc để tính được vô số các điểm trên 𝑉 (ℚ). Đa tạp 𝑉 là một đường congelliptic, và như vậy, đây là ví dụ đầu tiên về các đa tạp mà chúng ta sẽ quan tâmchính trong đề tài này.Định nghĩa 1.2.2.11𝑛𝑛Cho 𝑉/𝕂 là một đa tạp xạ ảnh và chọn 𝒜𝕂� ⊂ 𝒫𝕂� sao cho𝑛𝑛𝑉 ∩ 𝒜𝕂� ≠ ∅. Chiều của 𝑉 là chiều của 𝑉 ∩ 𝒜𝕂�.Định nghĩa 1.2.2.12Cho 𝑉 là một đa tạp xạ ảnh và 𝑃 ∈ 𝑉. Chọn 𝒜𝑛 ⊂ 𝒫 𝑛 với𝑃 ∈ 𝒜𝑛 . Khi đó, 𝑉 là không kỳ dị (hoặc trơn) tại 𝑃 nếu 𝑉 ∩ 𝒜𝑛 không kỳ dị tại 𝑃.1.3 Tổng quan về đường cong ellipticTrong phần này ta sẽ xem xét các khái niệm và định lý về một đường congelliptic trên trường bất kỳ.Định nghĩa 1.3.1 Đường cong elliptic 𝐸 trên trường 𝕂 được được định nghĩa bởiphương trình𝑌 2 𝑍 + 𝑎1 𝑋𝑌𝑍 + 𝑎3 𝑍 3 = 𝑋 3 + 𝑎2 𝑋 2 𝑍 + 𝑎4 𝑋𝑍 2 + 𝑎6 𝑍 3 ,𝑎𝑖 ∈ 𝕂 ∀𝑖.(1.1)𝑎𝑖 ∈ 𝕂 ∀𝑖(1.2)Như đã nhận xét ở trên, để thuận tiện về mặt ký hiệu, ta sẽ viết sử dụng phươngtrình affine không thuần nhất𝑦 2 + 𝑎1 𝑥𝑦 + 𝑎3 = 𝑥 3 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎4 𝑥 + 𝑎6 ,để thay thế cho phương trình (1.1), và ngầm hiểu rằng 𝐸 là một đa tạp trong khônggian xạ ảnh 𝒫𝕂2 . Chú ý là phương trình (1.2) nhận được thông qua phép biến đổi𝑥 = 𝑋/𝑍 và 𝑦 = 𝑌/𝑍, và được gọi là phương trình Weiertrass.Chú ý là đường cong elliptic được định nghĩa bởi phương trình (1.1) chỉ có duynhất một điểm ở vô tận là [0: 1: 0] (tương tự Ví dụ 1.2.2.10). Ta ký hiệu điểm nàylà 𝒪. Như vậy, tập hợp tất cả các điểm của 𝐸 trong trường 𝕂 sẽ là𝐸 (𝕂) ≔ {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝕂2 thỏa phương trình Weierstrass}⋃{𝒪 },Ta ký hiệu số các điểm trong 𝐸 (𝕂) là #𝐸 (𝕂).Khi char(𝕂) ≠ 2, phép thế 𝑦 ⟼ 2𝑦 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎3 đưa phương trình Weierstrass(1.2) về dạng đơn giản hơn làtrong đó,𝑦 2 = 4𝑥 3 + 𝑏2 𝑥 2 + 2𝑏4 𝑥 + 𝑏6 ,𝑏2 = 𝑎12 + 4𝑎2 ,𝑏4 = 2𝑎4 + 𝑎1 𝑎3 ,𝑏6 = 𝑎32 + 4𝑎6 .(1.3)𝑥−3𝑏2Và khi char(𝕂) ≠ 2,3, phép thế (𝑥, 𝑦) ⟼ (dạng36,𝑦108) đưa phương trình (1.3) về𝑦 2 = 𝑥 3 − 27𝑐4 𝑥 − 54𝑐6 ,trong đó,𝑐4 = 𝑏22 − 24𝑏4 ,𝑐6 = −𝑏23 + 36𝑏2 𝑏4 − 216𝑏6 .Nói tóm lại, ta luôn có thể đưa phương trình Weierstrass (1.2) về dạngkhi char(𝕂) ≠ 2,3.𝑦 2 = 𝑥 3 + 𝐴𝑥 + 𝐵Phương trình (1.4) được gọi là phương trình Weierstrass dạng ngắn.Định nghĩa 1.3.2 Cho 𝐸 là đường cong eliptic trên trường 𝕂 được định nghĩa bởiphương trình Weierstrass dạng ngắn (1.4).Biểu thức 𝛥 = Δ(𝐸 ) = 4𝐴3 + 27𝐵2 được gọi là biệt thức của 𝐸.Đường cong elliptic 𝐸 được gọi là không kỳ dị nếu 𝛥 ≠ 0. Nếu Δ = 0, ta nói đườngcong elliptic 𝐸 là kỳ dị.Ví dụ 1.3.3Xét đường cong elliptic 𝐸: 𝑦 2 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 3𝑥. Lần lượt thực hiệccác phép biến đổi như trên, ta sẽ đưa 𝐸 về phương trình Weierstrass dạng ngắn. Tacó 𝑎1 = 𝑎3 = 0, 𝑎2 = 2, 𝑎4 = −3, 𝑎6 = 0. Suy ra 𝑏2 = 8, 𝑏4 = −6, 𝑏6 = 0. Do đó,𝑐4 = 208, 𝑐6 = −2240. Vậy phương trình Weiertrass dạng ngắn của 𝐸 là 𝑦 2 =𝑥 3 − 5616𝑥 + 120960 với Δ(𝐸 ) = −31345665638 = −216 314 .Ta sẽ chỉ tập trung nghiên cứu đường cong elliptic không kỳ dị từ đây về sau. Dođó, khi nhắc đến một đường cong elliptic và không đề cập gì thêm nữa thì ta sẽngầm hiểu đường cong này là không kỳ dị.(1.4)

Xem Thêm