Chương 1: ĐA TẠP (Varieties) - Website Của Phạm Xuân Thịnh

Có thể bạn quan tâm

Topic này mở ra để thảo luận về Hình học Đại số ( Algebraic Geometry). Mời các bạn tham gia thảo luận với tôi . Chúng ta cùng nhau bàn thảo để cùng vươn tới sự thấu hiểu nào đó,phục vụ mục đích cho mỗi người. Ta lấy cuốn " Algebraic Geometry" của Hartshone làm tài liệu thảo luận chính. Tuy vậy có thể tham khảo bất cứ một cuốn sách nào có liên quan

1.Đa tạp affine:

Cho là một trường đóng đại số.

Một không gian affine trên là

Mỗi được gọi là một điểm

Cho là vành đa thức biến trên và là một đa thức. Tập không điểm của nó là

Tổng quát hơn, nếu thì ta định nghĩa tập không điểm của là tập

Nhận xét:

Nếu là ideal sinh bởi thì . Vì là vành Noether nên mọi ideal đều sinh bởi hữu hạn đa thức . Do đó

Định nghĩa:

Tập được gọi là tập đại số nếu tồn tại tập con sao cho

Mệnh đề 1.1:

Hợp của tập đại số là một tập đại số . Giao của một họ tùy ý các tập đại số là một tập đại số. Tập rỗng và toàn bộ không gian là các tập đại số

Chứng minh:

Mệnh đề được suy ra từ , ở đấy

và

Cuối cùng là

Mệnh đề trên dẫn ta tới định nghĩa sau

Định nghĩa:

Ta định nghĩa Tô pô Zariski trên là tô pô mà mỗi tập mở của nó là phần bù của một tập đại số nào đấy

Ví dụ 1.1.1:

Xét tô pô Zariski trên đường thẳng

Mọi ideal trong đều là ideal chính vì thế nó được sinh bởi một đa thức. Do đó mỗi tập đại số trong đều là tập nghiệm của một đa thức nào đó. Hơn nữa,vì là trường đóng đại số nên mọi đa thức bậc đều viết được dưới dạng

,với

Bởi thế . Từ đó suy ra các tập đại số của là tập rỗng,tập gồm hữu hạn phần tử và toàn bộ không gian. Đó là các tập đóng của không gian Tô pô Zariski trên .

Định nghĩa:

Cho là một không gian tô pô

Tập con được gọi là bất khả quy nếu nó không thể biểu diễn được thành hợp , mà là các tập con thực sự và đóng trong . Tập rỗng không được xem là tập bất khả quy.