Tập Lồi (1) – Định Nghĩa Và Một Số Ví Dụ - CS Study Fun

Có thể bạn quan tâm

Định nghĩa (tập lồi): Tập $X\subset \mathbb{R}^n$ gọi là tập lồi nếu

$x,y\in X\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y\in X, \forall \lambda\in [0,1]$

Nghĩa là nếu $x,y\in X$ thì đoạn thẳng $\left[x,y\right]\in X$ .

Ví dụ:

$\mathbb{R}^n, \emptyset, \{x\}$ là các tập lồi.
$\{x:a^Tx\leq b\}$ là tập lồi, nửa không gian ngăn cách bởi đường thẳng $a^Tx=b$ .

Định nghĩa (tập affine): Tập $X\subset \mathbb{R}^n$ gọi là tập affine nếu

$x,y\in X\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y\in X, \forall \lambda\in\mathbb{R}$

Nghĩa là nếu $x,y\in X$ thì đường thẳng đi qua $x,y$ cũng nằm trong $X$ .

Định lý (Tính chất của tập affine):

Tập affine là tập lồi
Nếu $X$ affine và $a\in X$ , tập $L=\{y:\exists x\in X, y=x-a\}$ là không gian con của $\mathbb{R}^n=X-a$ , đồng thời $L$ là duy nhất đối với $X$ không phụ thuộc vào $a$ . Ta cũng viết $X=a+L$ .
Tập $X$ là tập affine nếu và chỉ nếu $\exists A,b$ sao cho $X=\{x:Ax=b\}$ .

Chứng minh (1): Đường thẳng qua $x,y$ chứa đoạn thẳng $\left[x,y\right]$ nên tính chất này là hiển nhiên.

Chứng minh (2): Nếu $y\in L$ , suy ra $y=x-a$ , ta có $\lambda y=\lambda x-\lambda a=\lambda x+(1-\lambda)a-a\in L$ vì $\lambda x+(1-\lambda)a\in X$ .

Nếu $y_1,y_2\in L$ , suy ra $y_1=x_1-a, y_2=x_2-a$ , ta có $y_1+y_2=(x_1+x_2)-2a=2\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}-a-a\in L$ vì $2\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}-a\in X$ .

Để chứng minh $L$ là duy nhất, xét $L_1=X-a_1,L_2=X-a_2$ với $a_1\neq a_2\in X$ . Xét $y\in L_1$ , suy ra

$y=x-a_1=x-a_2+a_2-a_1$

với $x\in X$ . Rõ ràng $x-a_2\in L_2$ và $a_2-a_1\in L_2$ vì $a_1-a_2\in L_2$ , suy ra $y\in L_2$ , tức là $L_1\subset L_2$ . Tương tự ta cũng có $L_2\subset L_1$ . Vậy $L_1=L_2$ .

Chứng minh (3):

“ $\Rightarrow$ “: Hiển nhiên.

“ $\Leftarrow$ “: Vì $X=a+L$ , xét không gian trực giao $L^\perp$ của $L$ . Không gian này có hệ cơ sở $a_1,\ldots,a_k$ . Đặt

$A=\left[\begin{array}{c}a_1^T\\\vdots\\a_k^T\end{array}\right]$

Ta có

$Ax=\left[\begin{array}{c}a_1^Tx\\\vdots\\a_k^Tx\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a_1^Ta\\\vdots\\a_k^Ta\end{array}\right]=b$

Định nghĩa (hình cầu): Hình cầu tâm $a$ , bán kính $r$ trong $\mathbb{R}^n$ là tập $\{x:||x-a||\leq r\}$ với $||.||$ là một chuẩn nào đó trong $\mathbb{R}^n$ .

Nhận xét: Dễ dàng chứng minh được hình cầu là một tập đóng, lồi và giới nội.

Định nghĩa (lân cận $\epsilon$ ): Lân cận $\epsilon$ của tập $X$ là tập $Y=\{y:\exists x\in X, ||x-y||\leq\epsilon\}$ .

Định lý: Lân cận $\epsilon$ của tập lồi $X$ là tập lồi.

Chứng minh: Xét $x,y\in Y$ , nghĩa là tồn tại $x',y'\in X$ sao cho $||x-x'||\leq\epsilon,||y-y'||\leq\epsilon$ . Giả sử $z=\lambda x+(1-\lambda)y, 0<\lambda<1$ . Ta sẽ chứng minh khoảng cách từ $z$ đến $z'=\lambda x'+(1-\lambda)y'$ không lớn hơn $\epsilon$ . Thật vậy