4 Phân Loại Siêu Mặt Bậc 2 Trong Không Gian 3 Chiều - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Trang chủ >
Giáo án - Bài giảng >
Tư liệu khác >

4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.2 MB, 85 trang )

www.VNMATH.comĐịnh lí 1.4.1 (zĐịnh lí phân loại) Bằng phép biến đổi tọa độ thích hợp, mỗi mặtbậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17mặt chính tắc sau:1 Mặt ellipsoid:2. Mặt ellipsoid ảo:3 . Mặt nón ảo :4. Mặt elliptic hyperboloid một tầng5. Mặt elliptic hyperboloid hai tầng6. Mặt nón bậc hai:7. Mặt elliptic paraboloid8. Mặt trụ elliptic9. Mặt trụ elliptic ảo:10. Cặp mặt phẳng ảo cắt nhau:11 Mặt hyperbolic paraboloid:12. Mặt trụ hyperbolic:9www.VNMATH.com13. Cặp hai mặt phẳng cắt nhau:14. Mặt trụ parabolic15. Cặp hai mặt phẳng song song:16. Cặp hai mặt phẳng ảo song song:1 7. Cặp hai mặt phẳng trùng nhau:Chứng minh. Định lí được chứng minh bằng cách chọn phép đổi toạ độ thíchhợp làm biến mất phần tuyến tính. Dạng toàn phương và hệ số tự do quyết định độngcủa mặt cong.Trường hợp 1: Dạng toàn phương có ba giá trị riêng khác 0:Phương trình được đưa về dạng1a. Các giá trị:cùng dấu, quy về λ1>0, λ2 >0, λ3>01. Nếu c > 0 ta có thể đặt2. Nếu c < 0, ta có thể đặt3. Nếu c = 0 ta có thể đặt1b. Các giá trị riêng khác dấu, quy về λ1>0, λ2 >0, λ3 0 ta có thể đặt5. Nếu c < 0, ta có thể đặt6. Nếu c = 0 ta có thể đặtTrường hợp 2 : Có đúng một giá trị riêng bằng không, ví dụ λ1≠0, λ2 ≠0, λ3≠0:10www.VNMATH.com2a. λ1 và λ2 cùng dấu: λ1>0, λ2 >0, λ3=0. Khi có một giá trị riêng λ3=0 thì hệ sốtự do lại có thể làm triệt tiêu. Nếu hệ số bậc nhất theo z khác 0 ta có thể đặt là ±2p,p>0. Ta cóNếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạngTa có ba trường hợp :8. Nếu c > 0 ta có thể đặt9. Nếu c < 0, ta có thể đặt10. Nếu C = 0 ta có thể đặt2b. λ1 và λ2 khác dấu: λ1 > 0, λ2 < 0, λ3 = 011. Nếu c > 0 ta có thể đặt12. Nếu c < 0 ta có thể đặt13. Nếu c = 0 ta có thể đặtTrường hợp 3: Có đúng một giá trị riêng khác 0, ví dụ λ1 > 0, λ2 = λ3 = 0. Khiđó phương trình tổng quát có dạngNếuta thực hiện phép đổi tọa độ trực giao:Trong hệ tọa độ mới này, phương trình có dạngThực hiện phép tịnh tiến tọa độ11www.VNMATH.comta có các trường hợp14. Nếu D = 0 thì phương trình tổng quát có dạngThực hiện phép tịnh tiến tọa độ theo trục x ta nhận được phương trình mới dạng:Ta có ba trường hợp:15.ta đặt16.ta đặt17.chia hai vế cho1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắcGiả sửlà hai hệ toạ độ Descartes vớilà phép chuyển toạ độvớitức là12www.VNMATH.comNói cách khác qua phép biến đổi tọa độ,Siêu mặt bậc 2 là qui tích các điểm EM trong không gian Euclid afin AV thoả mãnphương trình 0-điểm của một hàm bậc 2trong đó phần bậc hai ~ là không đồng nhất bằng 0. Nếu trên siêu mặt bậc 2 có(điểm) tâm đối xứng, tức làmãn, thì viết trong gốc tọa độ tạithoả mãn phương trình q(M) = 0 nếuphần bậc nhất triệt tiêuthoảGiả sử M là một điểm trên siêu mặt đang xét. Đường thẳng D có phương e qua Mgồm các điểm có dạng+ te . Cho nên giao của nó với siêu mặt bậc 2 cho bởi S:q(M) = 0 gồm các điểm mà t thoả mãn phương trình bậc 2vớiPhương e là phương không tiệm cận nếu φ(e, e) ≠ 0.Nếu véctơ e không thuộc hạt nhân của φ tức là φ(e, e) ≠ 0 thì siêu phẳng kínhliên hợp với phương e được cho bởiHai véctơ u, v trong không gian afin AV là liên hợp với nhau qua hàm (bậc 2) φ ,nếu φ(u, v) = 0 . Véctơ tự do e được gọi là phương chính của hàm bậc hai q(M) nếu nóliên hợp với tất cả các véctơ vuông góc với nó, tức là φ(e, u) = 0. với mọi u ⊥ e.Kết qua cơ bản của hình học giải tích là:Định lí 1.5.1 (phân loại các siêu mặt bậc hai) Mỗi siêu mặt bậc hai S: q(M) =φ(OM, OM) + 2f(OM) + c = 0 trong không gian Euclid afin AV, bằng các phép biếnđổi afin đẳng cự, đều được đưa về dạng chính tắc trong hệ toạ độ chính tắc (O, e1,…,en) với ei là các phương chính của q(M):1. Trường hợp có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2 + λr(xr)2 + c Với r < n, λi ≠ 0, λ1 ≥… ≥ λr điểm gốc O ở tâm đối xứng.2. Trường hợp không có tâm đối xứng: q(M) = λ1(x1)2 + λr(xr)2 + 2pxr+1, trong đó0 < r ≤ n – 1, λi ≠ 0, λ1 ≥ … ≥ λr , p>013

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

Hình học vi phân
- 85
- 4,994
- 160
Quyết định 644/2000/QĐ-UB-TD về việc giải quyết đơn của ông Huỳnh Văn Hoàng khiếu nại quyết định 270/QĐ-UB của ủy ban nhân dân quận 2 do Uỷ ban nhân dân thành phố Hồ Chí Minh ban hành
- 2
- 0
- 0
Công văn số 2580/BNN-KL về việc tổng kết hoạt động thực tiễn của lực lượng Kiểm lâm Việt Nam sau 35 năm hình thành và phát triển do Bộ Nông nghiệp và Phát triển nông thôn ban hành
- 1
- 0
- 0
Thông tư liên ngành 04/TTLN năm 1986 hướng dẫn áp dụng thời hiệu thi hành bản án hình sự do Toà án nhân dân tối cao - Viện kiểm sát nhân dân tối cao - Bộ Tư pháp - Bộ Nội vụ ban hành
- 3
- 0
- 0
Quyết định 09/2004/QĐ-BTS về việc thành lập Chi cục quản lý Chất lượng, An toàn vệ sinh và Thú y thuỷ sản vùng 5 do Bộ trưởng Bộ Thủy sản ban hành
- 2
- 0
- 0
Công văn số 2544/TCHQ-GSQL của Tổng Cục Hải quan về việc thủ tục chuyển cửa khẩu lô hàng nhập khẩu là thiết bị chống sét
- 1
- 0
- 0
Quyết định 02/2008/QĐ-UBND quy định chế độ thu, nộp, quản lý và sử dụng lệ phí cấp giấy phép thăm dò, khai thác, sử dụng tài nguyên nước, xả nước vào nguồn nước và hành nghề khoan nước dưới đất do Ủy ban nhân dân tỉnh Thái Nguyên ban hành
- 2
- 0
- 0
Chỉ thị 18/CT-UB-KT năm 1996 về tăng cường các biện pháp huy động vốn đầu tư phát triển cơ sở hạ tầng do Ủy ban nhân dân thành phố Hồ Chí Minh ban hành
- 2
- 0
- 0
Quyết định 75/QĐ-TTg năm 2001 về việc thành lập Ban Soạn thảo dự án Luật Xây dựng do Thủ tướng Chính phủ ban hành
- 2
- 0
- 0
Công văn số 2818TC/VP ngày 27/03/2003 của Bộ Tài chính về việc đính chính Quyết định số 23/2003/QĐ-BTC ngày 25/2/2003 của Bộ trưởng Bộ Tài chính
- 1
- 0
- 0
Công văn số 3496/VPCP-QHQT ngày 27/06/2002 của Văn phòng Chính phủ về việc mở Văn phòng liên lạc của Cơ quan Phát triển Pháp (AFD) tại thành phố Hồ Chí Minh
- 1
- 0
- 0