5 Loại Góc Trong đường Tròn Lớp 9 - Blog Của Thư

1. Các kiến thức cần nhớ

a. Góc có đỉnh bên trong đường tròn

Định nghĩa: Trong hình $1$ , góc $BIC$ nằm trong đường tròn $(O)$ được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

Định lý: Số đo của góc đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ: Trong hình \(1\), $\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}$ $(sđ \overparen{BC} + sđ \overparen{AD})$.

b. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung  với đường tròn (hình \(2,3,4\) )  là góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.

Định lý: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ: Trong hình \(2\) , \(\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\) $(sđ \overparen{BD} - sđ \overparen{AC})$

Trong hình \(3\) , \(\widehat {BIC} = \dfrac{1}{2}\) $(sđ \overparen{BC} - sđ \overparen{AC})$

Trong hình \(4\) , \(\widehat {AIC} = \dfrac{1}{2}\) $(sđ \overparen{AmC} - sđ \overparen{AnC})$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau. Tính góc và độ dài đoạn thẳng

Phương pháp:

+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

+ Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, chứng minh các hệ thức.

Phương pháp:

+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau

+) Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song.

1. Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa góc nội tiếp

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ: Trên hình \(1\), góc $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn cung \(AB\)

Định lý

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ: Trên hình \(1\), số đo góc $\widehat {ACB}$ bằng nửa số đo cung nhỏ \(AB\) .

Hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ $) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh các tam giác đồng dạng, hệ thức về cạnh, hai góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp:

Ta thường sử dụng hệ quả

Trong một đường tròn:

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^\circ $) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, song song. Tính độ dài, diện tích

Phương pháp:

Ta sử dụng hệ quả để suy ra các góc bằng nhau từ đó chứng minh theo yêu cầu bài toán.

Định nghĩa. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Định nghĩa. Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ.

Tính chất. 

1. Số đo đường tròn bằng $360^\circ$. Số đo nửa cung tròn bằng $180^\circ$.
2. Nếu $C$ là một điểm thuộc cung AB thì $\text{sđ} \text{cung} AB = \text{sđ} \text{cung} AC + \text{sđ} \text{cung} CB$.

Định nghĩa. So sánh hai cung.

1. Hai cung được gọi là bằng nhau nếu có số đo bằng nhau.
2. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.

Định nghĩa.  Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Định nghĩa. Trong đường tròn (O) cho dây cung $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ là $xy$. Khi đó góc $\angle xAB$ được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ax$ và dây cung $AB$. Tương tự góc $\angle yAB$ là góc tạo bởi tia tiếp tuyến $Ay$ và dây cung $AB$.

Tính chất. Tính chất góc nội tiếp.

1. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
2. Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó.
3. Số đo hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
4. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
5. Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn và bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó.

Ta có: $\angle AOB = 2\angle ACB$ và $\angle ADB = \angle ACB = \angle BAx$

Ví dụ 1. Tính $x$ trong các hình sau.

a. Ta có $\angle AOB = 360^\circ – 250^\circ = 110^\circ$.

$\angle ACB$ là góc nội tiếp chắn cung $AB$ nên

• $\angle ACB = \dfrac{1}{2} \angle AOB $
• $x^\circ = 55^\circ$.

b. Do $AB||CD$ nên $\angle BAC = \angle ACD = 36^\circ$.

$\angle BDC$ và $BAC$ là hai góc nội tiếp chắn cung $BC$ nên $\angle BDC = \angle BAC = 36^\circ$.

Ví dụ 2. Tính $x$ trong hình vẽ.

Ta có $\angle BAC$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$ và $\angle BCT$ là góc giữa tia tiếp tuyến $CT$ và dây cung $BC$ nên $\angle BAC = \angle BCT = 40^\circ$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, suy ra $x^\circ = \dfrac{180^\circ – \angle BAC}{2} = 70^\circ$.

Bài tập.

1. Tính các góc có trong hình vẽ. 
2. Tính các góc trong hình vẽ. 
3. Chứng minh $\alpha + \beta = 90$ 

Giới thiệu bài học

Bài giảng "Các loại góc trong đường tròn" của cô Nhung sẽ giúp các em nắm được tính chất của các loại góc trong đường tròn để từ đó vận dụng các tính chất đó để giải các bài toán đường tròn.

Nội dung bài học

TỔNG KẾT CÁC LOẠI GÓC TRONG ĐƯỜNG TRÒN

GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN	ĐỊNH NGHĨA	ĐỊNH LÝ	LƯU Ý
GÓC Ở TÂM	-Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. -Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó	Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng số đo  cung AC cộng số đo cung CB	Khi so sánh cung ta chỉ so sánh hai cung trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau
GÓC NỘI TIẾP	Góc có đỉnh nằm trên đường trònvà hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.	Trong một đường tròn,số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.	Bốn hệ quả:trong một đường tròn: -Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. - Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. -Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoẳc bằng 900)có số đo bằng nữa số đo của góc ở tâmcùng chắn một cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
GÓC TẠO BỜI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG	Góc BAx có đỉnh A nằm trên đường tròn,cạnh Ax là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung ,ta gọi một góc như vậy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.	Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.	Hệ quả:trong một đường tròn,góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cungvà góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. -Định lý đảo (nhận biết tiếp tuyến của đường tròn) bài 30 SGK.
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN	Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn.	Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGÒAI ĐƯỜNG TRÒN	Góc có đỉnh nằm ngòai đường tròn,các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.	Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngòai đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ 1. Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$.  Vẽ đường kính $AI$. Các dây $IC,ID$ cắt $KO$ theo thứ tự ở $G,N$. Chứng minh rằng $\widehat{AND}=\frac{1}{2}\widehat{CID}$.

Giải

Ta vẽ trong hình trường hợp $O$ và $A$ nằm khác phía đối với $CD$. Các trường hợp khác chứng minh tương tự.

Để chứng minh $OG=ON$, ta sẽ chứng minh $\Delta IOG=\Delta AON$.

Ta đã có $OI=OA,\widehat{IOG}=\widehat{AON}$, cần chứng minh $\widehat{CIA}=\widehat{IAN}$, muốn vậy phải có $AN//CI$. Ta sẽ chứng minh $\widehat{AND}=\widehat{CID}$. Chú ý đến $AI$ là đường kính, ta có $\widehat{ADI}={{90}^{0}}$, do đó ta kẻ $AM\bot OK$Ta có $AMND$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{AND}=\widehat{AMD}$   (1)

Sử dụng bài 2, ta có $CMOD$ là tứ giác nội tiếp và $\widehat{AMD}=\frac{1}{2}\widehat{CMD}=\frac{1}{2}\widehat{COD}$   (2). Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AND}=\frac{1}{2}\widehat{COD}$. Ta lại có $\widehat{CID}=\frac{1}{2}\widehat{COD}$ nên $\widehat{AND}=\frac{1}{2}\widehat{CID}$.

Ví dụ 2. Từ điểm $K$ nằm ngoài đường tròn ta $(O)$ kẻ các tiếp tuyến $KA,KB$ cát tuyến $KCD$ đến $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh rằng $\widehat{ADC}=\widehat{MDB}$.

Giải

Kẻ $OH\bot CD$, cắt $AB$ ở $E$.

Theo bài  7 , $EC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, nên theo bài toán quen thuộc 3, ta có $ECMD$ là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{EBD}=\widehat{ECD}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{CBD}=\widehat{EMD}$.

Do đó hai góc bù với nhau chúng bằng nhau: $\widehat{CAD}=\widehat{BMD}\Rightarrow $$\Delta CAD\sim \Delta BMD$ (g.g) nên $\widehat{ADC}=\widehat{MDB}$