§5. Parabol (Nâng Cao) - Hoc24

Trong thực tế ta cũng thường gặp đường parabol, chẳng hạn:

– Đồ thị của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) (với a ≠ 0) là một đường parabol;

– Các tia nước phun ra từ vòi phun nước (thường gặp ở các vườn hoa hay khi tưới cây) là những đường parabol;

– Đường đi của viên đạn đại bác là một đường parabol.

1. Định nghĩa đường parabol

Cho một điểm F cố định và một đường thẳng cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và được gọi là đường parabol (hay parabol) (h. 92).

Điểm F được gọi là tiêu điểm của parabol.

Đường thẳng được gọi là đường chuẩn của parabol.

Khoảng cách từ F đến được gọi là tham số tiêu của parabol.

Ta có thể vẽ parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn như sau (h. 93) : Lấy một êke ABC (vuông ở A) và một đoạn dây không đàn hồi, có độ dài bằng AB. Đính một đầu dây vào điểm F, đầu kia vào đỉnh B của êke. Đặt êke sao cho cạnh AC nằm trên , lấy đầu bút chì ép sát sợi dây rồi cho cạnh AC của êke trượt trên . Khi đó đầu M của bút chì sẽ vạch nên một phần của parabol (vì ta luôn có MF = MA).

2. Phương trình chính tắc của parabol

Cho parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn .

Kẻ FP vuông góc với . Đặt FP = p (tham số tiêu). Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của FP và điểm F nằm trên tia Ox (h. 94).

Như vậy ta có:

Và phương trình của đường thẳng là

.

Điểm M(x ; y) nằm trên parabol đã cho khi và chỉ khi khoảng cách MF bằng khoảng cách từ M tới , tức là

Bình phương hai vế của đẳng thức đó rồi rút gọn, ta được

Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể chứng minh những tính chất sau đây của parabol

a) Parabol nằm về bên phải của trục tung.

b) Ox là trục đối xứng của parabol.

c) Parabol cắt trục Ox tại điểm O và đó cũng là điểm duy nhất của Oy thuộc parabol. Gốc tọa độ O được gọi là đỉnh của parabol.

Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2 ; 5).

Giải. Phương trình chính tắc của parabol có dạng \(y^2=2px\) . Parabol qua điểm M(2;5) nên 25 = 2.p.2, do đó p = 6,25.

Từ đó ta được phương trình chính tắc của parabol đã cho là \(y^2=6,25x\) .

1) Ở môn Đại số, chúng ta đã gọi đồ thị của hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\) là parabol.

Sở dĩ ta gọi như thế vì đồ thị đó cũng thỏa mãn định nghĩa của đường parabol mà ta vừa trình bày ở trên.

Chẳng hạn, đồ thị hàm số \(y=ax^2\) ( \(a>0\) ) là parabol có tiêu điểm

và đường chuẩn d (h.95)có phương trình:

Thật vậy: \(y=ax^2\Leftrightarrow x^2=\dfrac{1}{a}y=2.\left(\dfrac{1}{2a}\right)y\) nên đồ thị của hàm số \(y=ax^2\) (với \(a>0\) ) đúng là parabol có trục đối xứng là trục Oy; tham số tiêu \(p=\dfrac{1}{2a}\) ; tiêu điểm là \(F\left(0;\dfrac{1}{4a}\right)\) ; đường chuẩn có phương trình \(y+\dfrac{1}{4a}=0\).

2) Đồ thị hàm số \(y=-x^2\) cũng là một parabol với tham số tiêu \(p=\dfrac{1}{2}\) ; trục đối xứng Oy; tiêu điểm \(F\left(0;-\dfrac{1}{4}\right)\); đường chuẩn \(y-\dfrac{1}{4}=0\) (Có thể kiểm tra được đồ thị \(y=-x^2\) là tập hợp các điểm M mà khoảng cách từ M tới \(F\left(0;-\dfrac{1}{4}\right)\) đúng bằng khoảng cách từ M tới đường thẳng \(y-\dfrac{1}{4}=0\)) . Một cách tổng quát, các parabol có thể có phương trình dạng chính tắc: \(y^2=2px\) với tham số tiêu \(p>0\) , hoặc dạng không chính tắc: \(y^2=-2px\) với tham số tiêu \(p>0\).

Với dạng chính tắc thì parabol có tiêu điểm \(F\left(0;\dfrac{p}{2}\right)\) ; đường chuẩn \(y+\dfrac{p}{2}=0\).

Với dạng không chính tắc thì tiêu điểm là \(F\left(0;-\dfrac{p}{2}\right)\) ; đường chuẩn \(y-\dfrac{p}{2}=0\).