Phương Trình Parabol Có Dạng. Parabol - Tính Chất Và đồ Thị Của Hàm ...

Xét một đường thẳng trong mặt phẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng này. Và hình elip, và hyperbola có thể được định nghĩa một cách thống nhất là quỹ tích của các điểm mà tỉ số giữa khoảng cách đến một điểm cho trước và khoảng cách đến một đường thẳng đã cho là một hằng số

xếp hạng ε. Tại 0 1 - cường điệu. Tham số ε là độ lệch tâm của cả hình elip và hyperbol. Trong số các giá trị dương có thể có của tham số ε, một giá trị, cụ thể là ε = 1, hóa ra không được sử dụng. Giá trị này tương ứng với quỹ tích của các điểm cách đều điểm đã cho và từ đoạn thẳng đã cho.

Định nghĩa 8.1. Quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định và cách đều một đường thẳng cố định được gọi là hình parabol.

Điểm cố định được gọi là tiêu điểm của parabol, và đường thẳng ma trận của parabol. Đồng thời, người ta cho rằng độ lệch tâm parabol bằng một.

Từ các xem xét hình học, parabol đối xứng với một đường thẳng vuông góc với ma trận và đi qua trọng tâm của parabol. Đường này được gọi là trục đối xứng của parabol hay đơn giản là trục parabol. Hình parabol giao với trục đối xứng của nó tại một điểm duy nhất. Điểm này được gọi là đỉnh của parabol. Nó nằm ở giữa đoạn nối trọng tâm của parabol với giao điểm của trục của nó với ma trận (Hình 8.3).

Phương trình parabol.Để suy ra phương trình parabol, chúng ta chọn mặt phẳng nguồn gốcở trên cùng của parabol, như abscissa- trục của parabol, chiều dương được cho bởi vị trí của tiêu điểm (xem Hình 8.3). Hệ tọa độ này được gọi là kinh điển cho parabol đang được xem xét và các biến tương ứng là kinh điển.

Hãy để chúng tôi biểu thị khoảng cách từ tiêu điểm đến ma trận là p. Anh ấy được gọi là tham số tiêu cự parabol.

Khi đó tiêu điểm có tọa độ F (p / 2; 0), và ma trận trực tiếp d được mô tả bởi phương trình x = - p / 2. Quỹ tích của điểm M (x; y), cách đều điểm F và đường thẳng d, được cho bởi phương trình

Ta bình phương phương trình (8.2) và đưa ra các phương trình tương tự. Chúng tôi nhận được phương trình

được gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Lưu ý rằng bình phương trong trường hợp này là một phép biến đổi tương đương của phương trình (8.2), vì cả hai phần của phương trình đều không âm, cũng như biểu thức dưới căn.

Loại parabol. Nếu parabol y 2 \ u003d x, dạng mà chúng ta coi là đã biết, được nén với hệ số 1 / (2p) dọc theo abscissa, thì chúng ta nhận được một parabol có dạng tổng quát, được mô tả bằng phương trình (8.3).

Ví dụ 8.2. Chúng ta hãy tìm tọa độ của trọng tâm và phương trình của ma trận trực tiếp của parabol nếu nó đi qua một điểm có tọa độ chính tắc là (25; 10).

Trong hệ tọa độ chính tắc, phương trình parabol có dạng y 2 = 2px. Vì điểm (25; 10) nằm trên parabol nên 100 = 50p và do đó p = 2. Do đó, y 2 = 4x là phương trình chính tắc của parabol, x = - 1 là phương trình của ma trận trực tiếp của nó, và tiêu điểm là tại điểm (1; 0).

Tính chất quang học của một parabol. Hình parabol có như sau tài sản quang học. Nếu một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm của parabol, thì tất cả các tia sáng sau khi phản xạ khỏi parabol sẽ song song với trục của parabol (Hình 8.4). Tính chất quang học có nghĩa là tại bất kỳ điểm M nào của parabol Vector bình thường Tiếp tuyến tạo thành các góc bằng nhau với bán kính tiêu điểm MF và trục abscissa.

Đối với những độc giả còn lại, tôi đề xuất bổ sung đáng kể kiến ​​thức ở trường của họ về parabol và hyperbol. Hyperbol và parabol - nó có đơn giản không? … Đừng chờ đợi =)

Hyperbola và phương trình chính tắc của nó

Cấu trúc chung của phần trình bày tài liệu sẽ giống như đoạn trước. Hãy bắt đầu với khái niệm chung về hyperbol và vấn đề về cấu tạo của nó.

Phương trình chính tắc của một hyperbol có dạng, trong đó là các số thực dương. Lưu ý rằng, không giống như hình elip, điều kiện không được áp đặt ở đây, đó là giá trị của "a" có thể nhỏ hơn giá trị của "be".

Tôi phải nói rằng, khá bất ngờ ... phương trình của cường điệu "trường học" thậm chí không giống với bản ghi kinh điển. Nhưng câu đố này sẽ còn phải chờ chúng ta, còn bây giờ chúng ta hãy vò đầu bứt tai và nhớ xem đường cong đang xét có đặc điểm gì? Hãy phổ biến nó trên màn hình trí tưởng tượng của chúng ta đồ thị hàm số ….

Một hyperbol có hai nhánh đối xứng.

Tiến triển tốt! Bất kỳ sự cường điệu nào cũng có những đặc tính này, và bây giờ chúng ta sẽ nhìn với sự ngưỡng mộ thực sự ở đường viền cổ của đường này:

Ví dụ 4

Xây dựng một hyperbol cho bởi phương trình

Quyết định: ở bước đầu tiên, ta đưa phương trình này về dạng chính tắc. Hãy nhớ thủ tục điển hình. Ở bên phải, bạn cần lấy “một”, vì vậy chúng tôi chia cả hai phần của phương trình ban đầu cho 20:

Ở đây, bạn có thể giảm cả hai phân số, nhưng tối ưu hơn là tạo mỗi phân số ba tầng:

Và chỉ sau đó để thực hiện giảm:

Chúng tôi chọn các ô vuông trong các mẫu số:

Tại sao thực hiện các phép biến hình theo cách này lại tốt hơn? Rốt cuộc, các phân số của phía bên trái có thể được giảm ngay lập tức và nhận được. Thực tế là trong ví dụ đang xem xét, chúng ta đã có một chút may mắn: số 20 chia hết cho cả 4 và 5. Trong trường hợp chung, một số như vậy không hoạt động. Ví dụ, hãy xem xét phương trình. Ở đây, với sự chia rẽ, mọi thứ buồn hơn và không có phân số ba tầng không cần nữa:

Vì vậy, chúng ta hãy sử dụng thành quả lao động của chúng ta - phương trình chính tắc:

Làm thế nào để xây dựng một cường điệu?

Có hai cách tiếp cận để xây dựng một hyperbol - hình học và đại số. Từ góc độ thực tế mà nói, vẽ bằng la bàn ... thậm chí có thể nói là không tưởng, nên đem những phép tính đơn giản ra cứu lại có lợi hơn nhiều.

Bạn nên tuân thủ thuật toán sau, đầu tiên là bản vẽ hoàn thiện, sau đó là các nhận xét:

Trong thực tế, thường gặp sự kết hợp của phép quay qua một góc tùy ý và phép tịnh tiến song song của một hyperbol. Tình huống này được thảo luận trong bài học. Rút gọn phương trình dòng bậc 2 về dạng chính tắc.

Parabol và phương trình chính tắc của nó

Xong rôi! Cô ấy là nhất. Sẵn sàng tiết lộ nhiều bí mật. Phương trình chính tắc của một parabol có dạng, trong đó là một số thực. Dễ dàng nhận thấy rằng ở vị trí chuẩn của nó, parabol "nằm nghiêng" và đỉnh của nó ở gốc tọa độ. Trong trường hợp này, hàm đặt nhánh trên của dòng này và hàm đặt nhánh dưới. Rõ ràng, parabol đối xứng qua trục. Trên thực tế, những gì để tắm:

Ví dụ 6

Xây dựng một parabol

Quyết định: đỉnh đã biết, chúng ta hãy tìm điểm bổ sung. Phương trình xác định cung trên của parabol, phương trình xác định cung dưới.

Để rút ngắn kỷ lục, chúng tôi sẽ thực hiện các phép tính "dưới cùng một bàn chải":

Đối với ký hiệu nhỏ gọn, kết quả có thể được tóm tắt trong một bảng.

Trước khi thực hiện một bản vẽ từng điểm cơ bản, chúng tôi xây dựng một

định nghĩa của một parabol:

Parabol là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cho trước và một đường thẳng cho trước không đi qua điểm đó.

Điểm được gọi là tập trung parabolas, đường thẳng hiệu trưởng (được viết bằng một "es") các đường parabol. Hằng số "pe" của phương trình chính tắc được gọi là tham số tiêu cự, bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến ma trận. Trong trường hợp này . Trong trường hợp này, tiêu điểm có tọa độ và ma trận trực tiếp được cho bởi phương trình. Trong ví dụ của chúng tôi: Định nghĩa của một parabol thậm chí còn dễ hiểu hơn các định nghĩa của một hình elip và một hyperbol. Đối với bất kỳ điểm nào của parabol, độ dài của đoạn thẳng (khoảng cách từ tiêu điểm đến điểm) bằng độ dài của đường vuông góc (khoảng cách từ điểm đến ma trận):

Xin chúc mừng! Nhiều người trong số các bạn đã có một khám phá thực sự ngày hôm nay. Hóa ra hyperbol và parabol hoàn toàn không phải là đồ thị của các hàm "thông thường", mà có nguồn gốc hình học rõ rệt.

Rõ ràng, với sự gia tăng của tham số tiêu điểm, các nhánh của biểu đồ sẽ "trải rộng" lên và xuống, tiến đến gần trục một cách vô hạn. Với sự giảm giá trị của "pe", chúng sẽ bắt đầu co lại và kéo dài dọc theo trục

Độ lệch tâm của bất kỳ parabol nào bằng một:

Phép quay và phép tịnh tiến của một parabol

Hình parabol là một trong những đường phổ biến nhất trong toán học, và bạn sẽ phải xây dựng nó thực sự thường xuyên. Vì vậy, hãy đặc biệt chú ý đến đoạn cuối của bài, nơi tôi sẽ phân tích các phương án tiêu biểu cho vị trí của đường cong này.

! Ghi chú : như trong các trường hợp với các đường cong trước đó, nói về chuyển động quay và tịnh tiến song song của các trục tọa độ thì đúng hơn, nhưng tác giả sẽ giới hạn ở một phiên bản đơn giản của trình bày để người đọc có một ý tưởng sơ đẳng về \ U200b \ u200các phép biến đổi này.

Chúng tôi giới thiệu một hệ tọa độ hình chữ nhật, trong đó. Để trục đi qua tiêu điểm F parabol và vuông góc với ma trận, và trục đi qua giữa tiêu điểm và ma trận. Biểu thị bằng khoảng cách giữa tiêu điểm và ma trận. Sau đó, phương trình ma trận trực tiếp.

Con số được gọi là tham số tiêu điểm của parabol. Hãy là điểm hiện tại của parabol. Gọi là bán kính tiêu điểm của một điểm hyperbol. Là khoảng cách từ điểm đến ma trận. Sau đó( bản vẽ 27.)

Hình 27.

Theo định nghĩa của một parabol. Vì thế,

Hãy bình phương phương trình, chúng ta nhận được:

(15)

trong đó (15) là phương trình chính tắc của một parabol đối xứng qua trục và đi qua gốc tọa độ.

Điều tra các thuộc tính của một parabol

1) Đỉnh của parabol:

Phương trình (15) được thỏa mãn bởi các số và do đó, parabol đi qua gốc tọa độ.

2) Đối xứng parabol:

Hãy để nó thuộc về một parabol, tức là một bình đẳng thực sự. Điểm đối xứng với điểm qua trục, do đó, parabol đối xứng với trục x.

Độ lệch tâm của parabol:

Định nghĩa 4.2.Độ lệch tâm của một parabol là một số bằng một.

Vì theo định nghĩa là một parabol.

4) Tiếp tuyến của một parabol:

Tiếp tuyến của parabol tại điểm tiếp tuyến được cho bởi phương trình

Ở đâu ( bản vẽ 28.)

Hình 28.

Hình ảnh của một parabol

Hình 29.

Sử dụng ESO-Mathcad:

bản vẽ 30.)

Bản vẽ 30.

a) Dựng hình không sử dụng CNTT-TT: Để dựng một parabol, ta đặt một hệ trục tọa độ hình chữ nhật có tâm tại điểm O và một đoạn thẳng đơn vị. Chúng tôi đánh dấu tiêu điểm trên trục OX, vì chúng tôi vẽ như vậy, và ma trận trực tiếp của parabol. Ta dựng đường tròn tại một điểm và bán kính bằng khoảng cách từ đường thẳng đến ma trận của parabol. Đường tròn cắt đường thẳng tại các điểm. Chúng tôi xây dựng một parabol để nó đi qua điểm gốc và đi qua các điểm. ( bản vẽ 31.)

Hình 31.

b) Sử dụng ESO-Mathcad:

Phương trình kết quả có dạng:. Để xây dựng một dòng bậc hai trong Mathcad, chúng ta đưa phương trình về dạng:. ( bản vẽ 32.)

Hình 32.

Để tóm tắt công trình nghiên cứu lý thuyết về dòng bậc hai trong toán tiểu học và để thuận tiện cho việc sử dụng thông tin về dòng trong giải toán, chúng tôi kết luận tất cả dữ liệu về dòng bậc hai trong Bảng số 1.

Bảng số 1.

Dòng bậc hai trong toán học sơ cấp

Tên dòng thứ 2	Vòng tròn	Hình elip	Hyperbola	Parabol
Tính chất đặc trưng
Phương trình dòng
Độ lệch tâm
Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x 0 ; y 0 )
Tập trung
Đường kính đường	K là độ dốc	Độ dốc k ở đâu	Độ dốc k ở đâu

Khả năng sử dụng ICT trong nghiên cứu các dòng bậc hai

Quá trình thông tin hóa, ngày nay bao trùm tất cả các khía cạnh của đời sống xã hội hiện đại, có một số lĩnh vực ưu tiên, tất nhiên, bao gồm cả việc thông tin hóa giáo dục. Nó là cơ sở cơ bản cho việc hợp lý hóa toàn cầu hoạt động trí tuệ của con người thông qua việc sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông (ICT).

Giữa những năm 90 của thế kỷ trước và cho đến ngày nay, được đặc trưng bởi tính chất đại chúng và tính sẵn có của máy tính cá nhân ở Nga, việc sử dụng rộng rãi viễn thông, giúp đưa các công nghệ thông tin phát triển của giáo dục vào các quá trình giáo dục, cải tiến và hiện đại hoá nó, nâng cao chất lượng tri thức, tăng động cơ học tập, sử dụng tối đa nguyên tắc cá thể hoá giáo dục. Công nghệ thông tin của giáo dục là một công cụ cần thiết trong giai đoạn này của quá trình thông tin hóa giáo dục.

Công nghệ thông tin không chỉ tạo điều kiện tiếp cận thông tin và mở ra khả năng thay đổi các hoạt động giáo dục, sự cá biệt hóa và sự khác biệt hóa của nó, mà còn cho phép tổ chức sự tương tác của tất cả các môn học giáo dục theo một cách mới, xây dựng một hệ thống giáo dục trong đó học sinh sẽ một người tham gia tích cực và bình đẳng vào các hoạt động giáo dục.

Việc hình thành các công nghệ thông tin mới trong khuôn khổ các bài học chủ đề kích thích nhu cầu tạo ra các phần mềm và tổ hợp phương pháp mới nhằm nâng cao chất lượng bài học. Do đó, để sử dụng thành công và có mục đích các công cụ công nghệ thông tin trong quá trình giáo dục, giáo viên phải biết mô tả chung về nguyên tắc hoạt động và khả năng giáo dục của phần mềm và công cụ ứng dụng, sau đó dựa trên kinh nghiệm và khuyến nghị của họ, "nhúng "chúng vào quá trình giáo dục.

Việc nghiên cứu toán học hiện nay gắn liền với một số đặc điểm và khó khăn trong quá trình phát triển giáo dục phổ thông ở nước ta.

Cái gọi là khủng hoảng của giáo dục toán học xuất hiện. Lý do của nó như sau:

Trong sự thay đổi các ưu tiên trong xã hội và trong khoa học, tức là hiện nay có sự gia tăng mức độ ưu tiên của các ngành khoa học nhân văn;

Trong việc giảm số lượng các tiết học toán ở trường;

Không tách rời nội dung giáo dục toán học với cuộc sống;

Trong đó tác động không nhỏ đến tâm tư, tình cảm của học sinh.

Ngày nay, câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ: "Làm thế nào để sử dụng hiệu quả nhất tiềm năng của công nghệ thông tin và truyền thông hiện đại trong việc dạy học cho học sinh, bao gồm cả dạy toán?"

Máy tính là một trợ thủ đắc lực trong việc nghiên cứu một chủ đề như “Hàm số bậc hai”, bởi vì sử dụng các chương trình đặc biệt, bạn có thể vẽ các hàm khác nhau, khám phá một hàm, dễ dàng xác định tọa độ của các giao điểm, tính diện tích của các hình đóng, v.v. Ví dụ, trong một bài học đại số ở lớp 9, dành riêng cho sự biến đổi của đồ thị (kéo dài, nén, dịch chuyển trục tọa độ), bạn chỉ có thể thấy kết quả cố định của phép xây dựng và toàn bộ động thái của các hành động liên tiếp. của giáo viên và học sinh có thể được theo dõi trên màn hình điều khiển.

Máy tính, không giống như các phương tiện kỹ thuật khác, chính xác, trực quan và hấp dẫn mở ra các mô hình toán học lý tưởng cho học sinh, tức là đứa trẻ cần phấn đấu những gì trong những hành động thiết thực của mình.

Một giáo viên dạy Toán đã phải trải qua bao nhiêu khó khăn để thuyết phục được học sinh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc hai tại điểm tiếp xúc thực tế hợp với đồ thị của hàm số. Rất dễ dàng để chứng minh điều này trên máy tính - chỉ cần thu hẹp khoảng dọc theo trục Ox là đủ và thấy rằng trong một vùng lân cận rất nhỏ của điểm tiếp tuyến, đồ thị của hàm số và tiếp tuyến trùng nhau. Tất cả các hoạt động này đều diễn ra trước mặt học sinh. Ví dụ này tạo động lực cho việc phản xạ tích cực trong bài học. Việc sử dụng máy tính có thể thực hiện được cả trong quá trình giải thích tài liệu mới trong bài học và ở giai đoạn điều khiển. Với sự trợ giúp của các chương trình này, ví dụ, "Bài kiểm tra của tôi", học sinh có thể kiểm tra độc lập mức độ kiến ​​thức của mình về lý thuyết, thực hiện các nhiệm vụ lý thuyết và thực hành. Các chương trình thuận tiện cho tính linh hoạt của chúng. Chúng có thể được sử dụng cho cả mục đích tự kiểm soát và kiểm soát của giáo viên.

Sự kết hợp hợp lý giữa toán học và công nghệ máy tính sẽ cho phép cái nhìn phong phú và sâu sắc hơn về quá trình giải quyết một vấn đề, quá trình hiểu được các mẫu toán học. Ngoài ra, máy tính sẽ giúp hình thành văn hóa đồ họa, toán học và tinh thần của học sinh, sử dụng máy tính bạn có thể chuẩn bị các tài liệu giáo khoa: thẻ, phiếu khảo sát, bài kiểm tra, ... Đồng thời tạo cơ hội cho các em tự lập. phát triển các bài kiểm tra về chủ đề, trong đó quan tâm và sáng tạo.

Vì vậy, nhu cầu sử dụng máy tính, nếu có thể, trong các giờ học toán rộng rãi hơn là cần thiết. Việc sử dụng công nghệ thông tin sẽ nâng cao chất lượng kiến ​​thức, mở rộng tầm nhìn nghiên cứu về hàm số bậc hai, từ đó giúp tìm ra những quan điểm mới để duy trì sự hứng thú của học sinh đối với môn học và chủ đề, từ đó có thái độ tốt hơn, chú ý hơn đến nó. Ngày nay, công nghệ thông tin hiện đại đang trở thành công cụ quan trọng nhất để hiện đại hóa toàn bộ trường học - từ quản lý đến giáo dục và đảm bảo tính sẵn sàng của giáo dục.

Cấp III

3.1. Cường điệu chạm vào dòng 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y- - 48 = 0. Viết phương trình của hyperbol với điều kiện trục của nó trùng với trục tọa độ.

3.2. Viết phương trình các tiếp tuyến của hyperbol

1) đi qua một điểm Một(4, 1), B(5, 2) và C(5, 6);

2) song song với một đường thẳng 10 x – 3y + 9 = 0;

3) vuông góc với đường thẳng 10 x – 3y + 9 = 0.

hình parabol là quỹ tích của các điểm trong mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn phương trình

Tham số parabol:

Chấm F(P/ 2, 0) được gọi là tập trung parabolas, độ lớn P – tham số , dấu chấm O(0, 0) – hội nghị thượng đỉnh . Đồng thời, người trực tiếp CỦA, về đó parabol đối xứng, xác định trục của đường cong này.

Giá trị ở đâu M(x, y) là một điểm tùy ý của parabol, được gọi là bán kính tiêu cự , thẳng D: x = –P/2 – hiệu trưởng (nó không giao nhau bên trong của parabol). Giá trị được gọi là độ lệch tâm của parabol.

Thuộc tính đặc trưng chính của parabol: tất cả các điểm của parabol đều cách đều ma trận và tiêu điểm (Hình 24).

Có những dạng khác của phương trình parabol chính tắc xác định các hướng khác của các nhánh của nó trong hệ tọa độ (Hình 25):

Vì định nghĩa tham số của một parabol như một tham số t Giá trị của hoành độ của điểm của parabol có thể được lấy:

ở đâu t là một số thực tùy ý.

ví dụ 1 Xác định các thông số và hình dạng của parabol từ phương trình chính tắc của nó:

Quyết định. 1. Phương trình y 2 = –8x xác định một parabol có đỉnh tại một điểm O Con bò. Các nhánh của nó hướng về bên trái. So sánh phương trình này với phương trình y 2 = –2px, chúng tôi nhận thấy: 2 P = 8, P = 4, P/ 2 = 2. Do đó, tiêu điểm là tại điểm F(–2; 0), phương trình ma trận trực tiếp D: x= 2 (Hình 26).

2. Phương trình x 2 = –4y xác định một parabol có đỉnh tại một điểm O(0; 0), đối xứng qua trục Oy. Các nhánh của nó hướng xuống dưới. So sánh phương trình này với phương trình x 2 = –2py, chúng tôi nhận thấy: 2 P = 4, P = 2, P/ 2 = 1. Do đó, tiêu điểm là tại điểm F(0; –1), phương trình ma trận trực tiếp D: y= 1 (Hình 27).

Ví dụ 2 Xác định các thông số và kiểu đường cong x 2 + 8x – 16y- 32 = 0. Vẽ hình.

Quyết định. Chúng ta biến đổi vế trái của phương trình bằng phương pháp bình phương đầy đủ:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Kết quả là, chúng tôi nhận được

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Đây là phương trình chính tắc của một parabol có đỉnh tại điểm (–4; –3), tham số P= 8, các nhánh hướng lên (), trục x= -4. Tập trung vào điểm F(–4; –3 + P/ 2), tức là F(–4; 1) Hiệu trưởng Dđược đưa ra bởi phương trình y = –3 – P/ 2 hoặc y= -7 (Hình 28).

Ví dụ 4 Lập phương trình của một parabol có đỉnh tại một điểm V(3; –2) và tiêu điểm tại điểm F(1; –2).

Quyết định.Đỉnh và tiêu điểm của parabol này nằm trên một đường thẳng song song với trục Con bò(cùng hoành độ), các nhánh của parabol hướng sang trái (hoành độ của tiêu điểm nhỏ hơn tiêu điểm của đỉnh), khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh là P/2 = 3 – 1 = 2, P= 4. Do đó, phương trình mong muốn

(y+ 2) 2 = –2 4 ( x- 3) hoặc ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập

Tôi cấp

1.1. Xác định các tham số của parabol và xây dựng nó:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Viết phương trình của một parabol có đỉnh tại gốc tọa độ nếu bạn biết rằng:

1) parabol nằm trong nửa mặt phẳng bên trái đối xứng qua trục Con bò và P = 4;

2) parabol nằm đối xứng qua trục Oy và đi qua điểm M(4; –2).

3) ma trận trực tiếp được đưa ra bởi phương trình 3 y + 4 = 0.

1.3. Viết phương trình cho một đường cong, tất cả các điểm cách đều điểm (2; 0) và đường thẳng x = –2.

Cấp II

2.1. Xác định kiểu và các thông số của đường cong.

Mọi người đều biết parabol là gì. Nhưng làm thế nào để sử dụng nó một cách chính xác, thành thạo trong việc giải quyết các vấn đề thực tế khác nhau, chúng ta sẽ hiểu rõ dưới đây.

Đầu tiên, chúng ta hãy biểu thị các khái niệm cơ bản mà đại số và hình học cung cấp cho thuật ngữ này. Hãy xem xét tất cả các dạng có thể có của đồ thị này.

Chúng tôi tìm hiểu tất cả các đặc điểm chính của chức năng này. Hãy hiểu những điều cơ bản về xây dựng một đường cong (hình học). Hãy cùng tìm hiểu cách tìm các giá trị đỉnh, các giá trị cơ bản khác của biểu đồ dạng này.

Chúng ta sẽ tìm hiểu xem: đường cong yêu cầu được xây dựng đúng theo phương trình như thế nào, bạn cần chú ý điều gì. Hãy cùng xem ứng dụng thực tế chính của giá trị độc đáo này trong đời sống con người.

Parabol là gì và nó trông như thế nào

Đại số: Thuật ngữ này dùng để chỉ đồ thị của một hàm số bậc hai.

Hình học: Đây là đường cong bậc hai có một số tính năng cụ thể:

Phương trình parabol hình nón

Hình bên cho thấy một hệ tọa độ hình chữ nhật (XOY), một điểm cực trị, hướng của các nhánh vẽ hàm dọc theo trục abscissa.

Phương trình chính tắc là:

y 2 \ u003d 2 * p * x,

trong đó hệ số p là tham số tiêu điểm của parabol (AF).

Trong đại số, nó được viết khác:

y = a x 2 + b x + c (dạng dễ nhận biết: y = x 2).

Tính chất và đồ thị của một hàm bậc hai

Hàm số có trục đối xứng và tâm (cực trị). Miền xác định là tất cả các giá trị của trục x.

Phạm vi giá trị của hàm - (-∞, M) hoặc (M, + ∞) phụ thuộc vào hướng của các nhánh đường cong. Tham số M ở đây có nghĩa là giá trị của hàm ở đầu dòng.

Cách xác định hướng các nhánh của parabol

Để tìm hướng của loại đường cong này từ một biểu thức, bạn cần chỉ định dấu ở phía trước tham số đầu tiên của biểu thức đại số. Nếu a ˃ 0, thì chúng hướng lên trên. Nếu không, xuống.

Cách tìm đỉnh của một parabol bằng công thức

Tìm cực trị là bước chính để giải quyết nhiều vấn đề thực tế. Tất nhiên, bạn có thể mở các máy tính trực tuyến đặc biệt, nhưng tốt hơn hết là bạn có thể tự làm việc đó.

Làm thế nào để xác định nó? Có một công thức đặc biệt. Khi b không bằng 0, chúng ta phải tìm tọa độ của điểm này.

Các công thức để tìm kiếm hàng đầu:

• x 0 \ u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Ví dụ.

Có một hàm y \ u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Hãy tìm các đỉnh của hàm này.

Đối với một dòng như vậy:

• x \ u003d -16 / (2 * 4) \ u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Ta nhận được tọa độ của đỉnh (-2, -41).

Phần bù parabol

Trường hợp cổ điển là khi trong một hàm bậc hai y = a x 2 + b x + c, tham số thứ hai và thứ ba là 0, và = 1 - đỉnh là điểm (0; 0).

Chuyển động dọc theo trục abscissa hoặc trục tọa độ là do sự thay đổi của các tham số b và c tương ứng. Sự dịch chuyển của đường thẳng trên mặt phẳng sẽ được thực hiện chính xác bằng số đơn vị, bằng giá trị của tham số.

Ví dụ.

Ta có: b = 2, c = 3.

Điều này có nghĩa là chế độ xem cổ điển của đường cong sẽ dịch chuyển 2 đoạn đơn vị dọc theo trục abscissa và 3 đoạn dọc theo trục tọa độ.

Cách xây dựng một parabol bằng phương trình bậc hai

Điều quan trọng là học sinh phải học cách vẽ chính xác một hình parabol theo các thông số đã cho.

Bằng cách phân tích các biểu thức và phương trình, bạn có thể thấy những điều sau:

1. Giao điểm của đường thẳng mong muốn với vectơ hoành độ sẽ có giá trị bằng c.
2. Tất cả các điểm của đồ thị (dọc theo trục x) sẽ đối xứng với điểm cực trị chính của hàm số.

Ngoài ra, các giao điểm với OX có thể được tìm thấy khi biết phân biệt (D) của một hàm số như sau:

D \ u003d (b 2 - 4 * a * c).

Để làm điều này, bạn cần phải đánh đồng biểu thức với số không.

Sự hiện diện của các gốc parabol phụ thuộc vào kết quả:

• D ˃ 0 thì x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \ u003d 0, sau đó x 1, 2 \ u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0 thì không có giao điểm nào với vectơ OX.

Chúng tôi nhận được thuật toán để xây dựng một parabol:

• xác định hướng của các nhánh;
• tìm tọa độ của đỉnh;
• tìm giao điểm với trục y;
• tìm giao điểm với trục x.

ví dụ 1

Cho một hàm số y \ u003d x 2 - 5 * x + 4. Cần phải xây dựng một parabol. Chúng tôi hành động theo thuật toán:

1. a \ u003d 1, do đó, các nhánh hướng lên trên;
2. tọa độ cực trị: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. cắt với trục y tại giá trị y = 4;
4. tìm số phân biệt: D = 25 - 16 = 9;
5. tìm kiếm gốc rễ

• X 1 \ u003d (5 + 3) / 2 \ u003d 4; (4, 0);
• X 2 \ u003d (5 - 3) / 2 \ u003d 1; (mười).

Ví dụ 2

Đối với hàm y \ u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, bạn cần xây dựng một parabol. Chúng tôi hành động theo thuật toán trên:

1. a \ u003d 3, do đó, các nhánh hướng lên trên;
2. tọa độ cực trị: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. với trục y sẽ cắt nhau tại giá trị y \ u003d -1;
4. tìm số phân biệt: D \ u003d 4 + 12 \ u003d 16. Vì vậy, các căn:

• X 1 \ u003d (2 + 4) / 6 \ u003d 1; (1; 0);
• X 2 \ u003d (2 - 4) / 6 \ u003d -1/3; (-1/3; 0).

Từ những điểm thu được, bạn có thể xây dựng một parabol.

Ma trận trực tiếp, độ lệch tâm, tiêu điểm của một parabol

Dựa vào phương trình chính tắc, tiêu điểm F có tọa độ (p / 2, 0).

Đoạn thẳng AB là một ma trận (một loại dây cung parabol có độ dài nhất định). Phương trình của cô ấy là x = -p / 2.

Độ lệch tâm (hằng số) = 1.

Sự kết luận

Chúng tôi đã xem xét chủ đề mà học sinh học ở trường trung học. Bây giờ bạn đã biết, nhìn vào hàm bậc hai của một parabol, làm thế nào để tìm đỉnh của nó, hướng các nhánh sẽ hướng đến, liệu có phần bù dọc theo các trục hay không, và, có một thuật toán xây dựng, bạn có thể vẽ đồ thị của nó.