50 Bài Tập Về Ứng Dụng Đạo Hàm để Giải Phương Trình ...

Ứng dụng Đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

1. Lý thuyết

a) Các công thức đạo hàm

Đạo hàm các hàm số cơ bản	Đạo hàm các hàm hợp u = u(x)
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1
xα'=α.xα−1 1x'=−1x2;   x≠0x'=12x;   x>0 (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x tanx'=1cos2x=1+tan2x cotx'=−1sin2x=−1+cot2x	uα'=α.u'.uα−1 1u'=−u'u2u'=u'2u (sin u)’ = u’.cos u (cos u)’ = -u’.sin u tanu'=u'cos2u=u'.1+tan2u cotu'=−u'sin2u=−u'.1+cot2u

b) Các quy tắc tính đạo hàm

Cho các hàm số u = u(x), v = v(x)

có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

1. (u + v)’ = u’ + v’

2. (u – v)’ = u’ – v’

3. (u.v)’ = u’.v + v’.u

4. uv'=u'v−v'uv2 v=v x≠0

Chú ý:

a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)

b) 1v'=−v'v2    v=v(x)≠0

Mở rộng:

u1±u2±...±un'=u1'±u2'±...±un'

u.v.w'=u'.v.w+u.v'.w+u.v.

c) Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó: yx'=yu'. ux'

Phương pháp giải:

- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

- Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: a) Cho fx=2x3+x−2,gx=3x2+x+2. Giải bất phương trình f’(x) > g’(x).

b) Cho fx=3x+60x−64x3+5. Giải phương trình f’(x) = 0.

c) Cho y = cos2x + sin x. Giải phương trình y’ = 0.

Lời giải

a) Ta có f'x=2x3+x−2'=6x2+1

g'x=3x2+x+2'=6x+1

Ta có: f'x>g'x⇔6x2+1>6x+1⇔6x2−6x>0⇔6xx−1>0⇔x∈−∞;0∪1;+∞

Vậy phương trình có tập nghiệm là S=−∞;0∪1;+∞.

b) Ta có f'x=3x+60x−64x3+5'=3−60x2+192x4

f'x=0⇔3−60x2+192x4=0 1

Đặt t=1x2,t>0

1⇔192t2−60t+3=0⇔t=14t=116

Với t=14⇔1x2=14⇔x2=4⇔x=±2

Với t=116⇔1x2=116⇔x2=16⇔x=±4

Vậy f’(x) = 0 có 4 nghiệm x=±2, x=±4.

c) Ta có: y’ = – 2sin x.cos x + cos x = – sin 2x + cos x

Khi đó, phương trình có dạng:

−sin2x+cosx=0⇔sin2x=cosx=sinπ2−x

⇔2x=π2−x+2kπ2x=π−π2+x+2kπ ⇔x=π6+2kπ3x=π2+2kπ;k∈ℤ.

Vậy nghiệm của phương trình là x=π6+2kπ3; x=π2+2kπ,k∈ℤ.

Ví dụ 2: a) Cho y = tan x. Chứng minh y’ – y2 – 1 = 0.

b) Cho y = xsinx. Chứng minh: x.y – 2(y’– sinx) + x(2cosx – y) = 0.

Lời giải

a) y'=tan x’=1cos2x=1+tan2x

Ta có: y’ – y2 – 1 = 1 + tan2x – tan2x – 1 = 0 (đpcm).

b) y’ = (xsin x)’ = x’.sin x + x.(sin x)’ = sin x + xcos x.

Ta có: x.y – 2(y’ – sin x) + x(2cos x – y)

= x2.sin x – 2(sin x + xcosx – sin x) + x(2cosx – xsin x)

= x2sin x – 2xcos x + 2xcosx – x2sinx = 0 (đpcm).

2. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số y=x2−1. Nghiệm của phương trình y’.y = 2x + 1 là:

A. x = 2.

B. x = 1.

C. Vô nghiệm.

D. x = – 1.

Câu 2. Cho hàm số fx=13x3−22x2+8x−1, có đạo hàm là f’(x). Tập hợp những giá trị của x để f’(x) = 0 là:

A. −22.

B. 2;2.

C. −42.

D. 22.

Câu 3. Cho hàm số y = 3x3 + x2 + 1, có đạo hàm là y’. Để y'≤0 thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây?

A. −29;0.

B. −92;0.

C. −∞;−92∪0;+∞.

D. −∞;−29∪0;+∞.

Câu 4. Cho hàm số y=13x3−2m+1x2−mx−4, có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để y'≥0 với ∀x∈ℝ.

A. m∈−1;−14.

B. m∈−1;−14.

C. m∈−∞;−1∪−14;+∞.

D. m∈−1;14.

Câu 5. Cho hàm số y=−13mx3+m−1x2−mx+3, có đạo hàm là y’. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 thỏa mãn x12+x22=6.

A. m=−1+2; m=−1−2.

B. m=−1−2.

C. m=1−2; m=1+2.

D. m=−1+2.

Câu 6. Cho hàm số y = (2x2 + 1)3, có đạo hàm là y’. Để y'≥0 thì x nhận các giá trị nào sau đây?

A. Không có giá trị nào của x.

B. −∞ ;0.

C. 0 ;+∞.

D. R.

Câu 7. Cho hàm số fx=1−3x+x2x−1. Giải bất phương trình f’(x) > 0.

A. x∈ℝ\1.

B. x∈∅.

C. x∈1;+∞.

D. x∈ℝ.

Câu 8. Cho hàm số fx=x3x−1. Phương trình f’(x) = 0 có tập nghiệm S là:

A. S=0;23.

B. S=−23;0.

C. S=0;32.

D. S=−32;0.

Câu 9. Cho hàm số fx=x2−2x. Tập nghiệm S của bất phương trình f'x≥fx có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 10. Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3x – 5 với m là tham số. Tìm tập hợp M tất cả các giá trị của m để y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt:

A. M = (– 3; 3).

B. M=(−∞;−3]∪[3;+∞).

C. M = R.

D. M=(−∞;−3)∪(3;+∞).

Câu 11. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2017. Bất phương trình y’ < 0 có tập nghiệm là:

A. S = (– 1; 1).

B. S=(−∞;−1)∪(1;+∞).

C. S=(1;+∞).

D. S=(−∞;−1).

Câu 12. Cho hàm số f(x) = x4 + 2x2 – 3. Tìm x dể f’(x) > 0?

A. –1 < x < 0.

B. x < 0.

C. x > 0.

D. x < – 1.

Câu 13. Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3(m + 2)x2 – 6(m + 2)x + 1. Tập giá trị của m để y'≥0,∀x∈R là

A. [3;+∞).

B. [-2; 0].

C. [42;+∞).

D. [1;+∞).

Câu 14. Cho hàm số f(x) = acosx + 2sinx – 3x + 1. Tìm ­a để phương trình f’(x) = 0 có nghiệm?

A. |a|<5.

B. |a|≥5.

C. |a|>5.

D. |a|<5.

Câu 15. Cho hàm số f(x)=sin3x3−cosx−3sinx−cos3x3. Giải phương trình f’(x) = 0.

A. x=π12+kπx=−3π8+kπ2(k∈ℝ).

B. x=−π12+kπx=−3π8+kπ2(k∈ℝ).

C. x=−π12+kπx=3π8+kπ2(k∈ℝ).

D. x=π12+kπx=3π8+kπ2(k∈ℝ).

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	D	A	B	A	C	A	C	C	D	A	C	B	B	C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập

Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải

Các bài toán về vi phân, đạo hàm cấp cao và ý nghĩa của đạo hàm

Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 và cách giải