Bài 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 Trang 153, 154 SBT Đại Số Và Giải Tích 11

Bài 1 giới hạn của dãy số SBT Toán lớp 11. Giải bài 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 trang 153, 154. Câu 1.5: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây…; Tính các giới hạn ?

Bài 1.5: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát sau đây, khi \(n \to  + \infty \)

a) \({a_n} = {{2n – 3{n^3} + 1} \over {{n^3} + {n^2}}}\) ;

b) \({b_n} = {{3{n^3} – 5n + 1} \over {{n^2} + 4}}\) ;

c) \({c_n} = {{2n\sqrt n } \over {{n^2} + 2n – 1}}\) ;

d) \({d_n} = {{{{\left( {2 – 3n} \right)}^3}{{\left( {n + 1} \right)}^2}} \over {1 – 4{n^5}}}\) ;

e) \({u_n} = {2^n} + {1 \over n}\) ;

f) \({v_n} = {\left( { – {{\sqrt 2 } \over \pi }} \right)^n} + {{{3^n}} \over {{4^n}}}\) ;

g) \({u_n} = {{{3^n} – {4^n} + 1} \over {{{2.4}^n} + {2^n}}}\) ;

h) \({v_n} = {{\sqrt {{n^2} + n – 1}  – \sqrt {4{n^2} – 2} } \over {n + 3}}\) ;

Giải :

Advertisements (Quảng cáo)

a) -3 ;       b) +∞ ;      c) 0 ;         d) \({{27} \over 4}\) ;

e) \(\lim \left( {{2^n} + {1 \over n}} \right) = \lim {2^n}\left( {1 + {1 \over n}.{1 \over {{2^n}}}} \right) =  + \infty \) ;

f) 0 ;           g) \( – {1 \over 2}\) ;          h) – 1 ;

Bài 1.6: Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim \left( {{n^2} + 2n – 5} \right)\) ;

b) \(\lim \left( { – {n^3} – 3{n^2} – 2} \right)\) ;

Advertisements (Quảng cáo)

c) \(\lim \left[ {{4^n} + {{\left( { – 2} \right)}^n}} \right]\) ;

d) \(\lim n\left( {\sqrt {{n^2} – 1}  – \sqrt {{n^2} + 2} } \right)\)

a) +∞ ;

b) -∞ ;

c) +∞ ;

d) \( – {3 \over 2}\) ;

Bài 1.7: Cho hai dãy số (un) và (vn). Chứng minh rằng nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\)

Giải :

\(\lim {v_n} = 0 \Rightarrow \left| {{v_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi  (1)

Vì \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \({v_n} \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n, nên \(\left| {{u_n}} \right| \le \left| {{v_n}} \right|\) với mọi n.      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left| {{u_n}} \right|\) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là \(\lim {u_n} = 0\)

Bài 1.8: Biết \(\left| {{u_n} – 2} \right| \le {1 \over {{3^n}}}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) ?

 \(\lim {u_n} = 2\)