Bài 1: Khái Niệm Và Sự Hội Tụ Của Dãy Số

⇒ mâu thuẫn với giả thiết \({u_n} \ge 0,\forall n\)

Ví dụ: \({u_n} = \frac{1}{n} > 0,\forall n \in N\) nhưng \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0\)

Mệnh đề (các phép toán về giới hạn của dãy):

Giả sử \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = b\). Ta có:

\(\begin{array}{l} i)\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\\ ii)\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}{v_n} = a.b\\ iii)\,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\,(neu\,\,\,b \ne 0)\\ iv)\,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \,\,(neu\,\,{u_n} \ge 0,\forall n) \end{array} \)

Chứng minh:

i) Với \(\varepsilon > 0\) cho trước,

\(\begin{array}{l} {u_n} \to a \Rightarrow \exists {N_1}:n > {N_1}:\left| {{u_n} - a} \right| < \frac{\varepsilon }{2}\\ {v_n} \to b \Rightarrow \exists {N_2}:n > {N_2}:\left| {{v_n} - b} \right| < \frac{\varepsilon }{2} \end{array}\)

Chọn N = max {N1, N2}

\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow n > N:\left| {{u_n} + {v_n} - \left( {a + b} \right)} \right| = |{u_n} - a + {v_n} - b|}\\ { \le \left| {{u_n} - a} \right| + \left| {{v_n} - b} \right| < \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon }\\ { \Rightarrow \left( {{u_n} + {v_n}} \right) \to a + b} \end{array} \)

\(\begin{array}{l} ii)|{u_n}{v_n} - ab| = |{u_n}{v_n} - a{v_n} + a{v_n} - ab|\\ = |{v_n}({u_n} - a) + a(vn - b)|\\ = {v_n}({u_n} - a)| + |a({v_n} - b)|\\ = |{v_n}||{u_n} - a| + |a||{v_n} - b|\\ \le M|{u_n} - a| + \left| a \right|\left| {|{v_n} - b|} \right| \end{array}\)

(vì vn hội tụ nên vn bị chận bởi M)

\(\le K{\rm{ }}\left| {{u_n} - a} \right| + K\left| {{v_n} - b} \right|\)

(với K = M + |a| hoặc K = max {M, |a|} )

Do đó: \(\forall \varepsilon > 0,\exists {N_1}:n > {N_1}:\left| {{u_n} - a} \right| < \frac{\varepsilon }{{2K}}\)

\(\exists {N_2}:n > {N_2}:\left| {{v_n} - b} \right| < \frac{\varepsilon }{{2K}}\)

\(\Rightarrow n > N = \max \left\{ {{N_1},{N_2}} \right\}:\left| {{u_n}{v_n} - ab} \right| < \frac{{K\varepsilon }}{{2K}} + \frac{{K\varepsilon }}{{2K}} = \varepsilon\)

Do đó: \({u_n}{v_n} \to ab\)

\(iii)\,\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = {u_n}\frac{1}{{{v_n}}}\)

Do đó, ta chỉ cần chứng minh: nếu \({v_n} \to b\) thì \(\frac{1}{{{v_n}}} \to \frac{1}{b}(b \ne 0)\)

Mênh đề: