Dãy Số – Hàm Số | Giải Tích

Trang chủ » Khái Niệm Về Dãy Số » Dãy Số – Hàm Số | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Dãy số là trường hợp đặc biệt của hàm số với tập xác định là tập số tự nhiên. Những khái niệm và tính chất của dãy số đều chuyển được sang hàm số. Trong các khái niệm về hàm số người ta dùng ngôn ngữ dãy để diễn đạt. Dưới đây, ta cùng xem những điều này một cách cụ thể.

Ta hiểu dãy số là hàm u: \mathbb N \to \mathbb R. Ta ký hiệu hàm số f: A\to \mathbb R trong đó A là tập con của tập số thực \mathbb R với điểm tụ x_0.

Trước hết ta xem dãy số có các khái niệm gì? Có khái niệm: hội tụ, bị chặn, đơn điệu. Hàm số cũng có các khái niệm như vậy.

Hội tụ: ta coi +\infty như điểm tụ (mở rộng) của tập số tự nhiên \mathbb N thì khái niệm hội tụ của hàm số tại điểm tụ x_0 cũng chính là khái niệm hội tụ của dãy tại điểm tụ +\infty. Ngoài ra các khái niệm hội tụ ra vô cùng cũng hoàn toàn như nhau. Ngược lại người ta cũng dùng khái niệm dãy hội tụ để nói khái niệm hội tụ của hàm:

Hàm f(x) hội tụ đến a khi x tiến đến x_0 nếu

với bất kỳ dãy \{x_n\}_{n=1}^\infty trong A và hội tụ đến x_0

ta đều có dãy giá trị của hàm \{f(x_n)\}_{n=1}^\infty hội tụ đến a.

Ta cũng có tiêu chuẩn Cauchy cho cả dãy hội tụ và hàm hội tụ. Chúng hoàn toàn như nhau nếu ta hiểu thế nào là lân cận của vô cùng!

Ta cũng có thế nào là dãy và hàm “phân kỳ”:

nếu ta chọn được hai dãy “con” tiến đến điểm tụ mà giá trị của dãy (hàm) vẫn cách nhau một khoảng cho trước!

Lưu ý dãy (hàm) không hội tụ đến a (khi biến số tiến đến điểm tụ) không có nghĩa là nó không hội tụ, vì rất có thể nó hội tụ đến số b nào đó khác a.

Bị chặn: dãy và hàm như nhau, cụ thể tập giá trị của chúng là tập bị chặn.

Lưu ý: dãy hội tụ thì bị chặn, nhưng hàm hội tụ khi biến chạy đến một điểm tụ nào đó thì chưa chắc bị chặn!

Đơn điệu: dãy và hàm như nhau

[f(x)-f(y)](x-y) không đổi dấu khi x, y chạy trên toàn bộ tập xác định.

Ta có dãy, hay hàm “cũng vậy”, đơn điệu tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì hội tụ.

Để kiểm tra tính đơn điệu ta có thể xét trực tiếp dấu của biểu thức [f(x)-f(y)](x-y). Nếu dương thì đơn điệu tăng, nếu âm thì giảm. Ngoài ra còn cách tính đạo hàm kể cả cho dãy số!

Trong dãy số còn có khái niệm giới hạn riêng, giới hạn trên, giới hạn dưới. Những khái niệm này tương ứng với khái niệm nào trong hàm số?

Giờ ta chuyển qua các tính chất.

Tính tuyến tính;

Tính bảo toàn thứ tự ;

Phép nhân, phép chia.

Cần lưu ý khi nào thì có dấu bằng?

Đối với dãy số tập xác định chỉ có một điểm tụ, đối với hàm số nhiều khi tập xác định là tập con của tập các điểm tụ, tập dẫn xuất của nó. Có thể thấy nếu chỉ đơn thuần xem hàm số có hội tụ khi biến chạy đến một điểm tụ thì chưa thú vị lắm! Nó chả khác dãy số là bao! Người ta còn muốn xem hàm số đó có hội tụ đến giá trị của hàm tại điểm tụ khi biến chạy đến điểm tụ đó hay không. Từ đó ta có khái niệm liên tục tại một điểm. Người ta cũng muốn đi tới cùng cái tốt này, nghĩa là liên tục tại mọi điểm trong miền xác định. Ta có khái niệm hàm liên tục trên miền xác định.

Nếu hiểu tập số tự nhiên là tập rời rạc, nghĩa là mọi điểm của nó đều là điểm cô lập thì một dãy số bất kỳ đều có thể coi là một hàm liên tục trên tập số tự nhiên.

Người ta cũng chưa muốn dừng lại việc nghiên cứu một cách độc lập từng dãy số, hay từng hàm số. Người ta còn muốn xem tập tất cả những dãy hội tụ, hay hàm liên tục thì có cấu trúc thế nào?  Chúng có cấu trúc vành giao hoán có đơn vị, có ước của không (không là miền nguyên) với

+) phép cộng (u+v)(n)=u(n)+v(n) và (f+g)(x)=f(x)+g(x);

+) phép nhân (uv)(n)=u(n)v(n) và (fg)(x)=f(x)g(x);

+) phần tử  đơn vị u(n)=1 và f(x)=1 cũng như phần tử không u(n)=0 và f(x)=0.

Người ta vẫn chưa thỏa mãn nếu chỉ dừng lại ở cấu trúc đại số như trên. Người ta còn muốn biết thế nào là hai dãy tiến về nhau, hay hai hàm gần nhau là thế nào? Người ta đưa cấu trúc topo vào đó. Cụ thể là người ta đưa khái niệm khoảng cách (metric), chẳng hạn khoảng cách Euclide

d(u, v)=(\sum_{n=1}^\infty |u_n-v_n|^2)^{1/2} và d(f, g)=(\int_0^1 |f(x)-g(x)|^2dx)^{1/2} với A=(0, 1).

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Khái Niệm Về Dãy Số