Bài 1: Sự đồng Biến Và Nghịch Biến Của Hàm Số - Hoc24

HOC24

Lớp học Học bài Hỏi bài Giải bài tập Đề thi ĐGNL Tin tức Cuộc thi vui Khen thưởng

• Tìm kiếm câu trả lời Tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi của bạn

Đóng Đăng nhập Đăng ký

Lớp học

• Lớp 12
• Lớp 11
• Lớp 10
• Lớp 9
• Lớp 8
• Lớp 7
• Lớp 6
• Lớp 5
• Lớp 4
• Lớp 3
• Lớp 2
• Lớp 1

Môn học

• Toán
• Vật lý
• Hóa học
• Sinh học
• Ngữ văn
• Tiếng anh
• Lịch sử
• Địa lý
• Tin học
• Công nghệ
• Giáo dục công dân
• Tiếng anh thí điểm
• Đạo đức
• Tự nhiên và xã hội
• Khoa học
• Lịch sử và Địa lý
• Tiếng việt
• Khoa học tự nhiên
• Hoạt động trải nghiệm
• Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp
• Giáo dục kinh tế và pháp luật

Chủ đề / Chương

Bài học

HOC24

Khách vãng lai Đăng nhập Đăng ký Khám phá Hỏi đáp Đề thi Tin tức Cuộc thi vui Khen thưởng

• Lớp 12
• Toán lớp 12 (Chương trình cũ)
• Chương 1:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chủ đề

• Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
• Bài 2: Cực trị hàm số
• Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Bài 4: Đường tiệm cận
• Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
• Bài 6: Ôn tập chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

• Lý thuyết
• Trắc nghiệm
• Giải bài tập SGK
• Hỏi đáp
• Đóng góp lý thuyết

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên \(K\).

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) và \(x_1< x_2\) thì \(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\), tức là

\(x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\) ;

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) và \(x_1< x_2\) thì \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\), tức là

\(x_1< x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(K\) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên \(K\).

Nhận xét:

a) \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(K\) \(\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0\), \(\forall x_1,x_2\in K\) , (\(x_1\ne x_2\)) ;

\(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(K\) \(\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0\), \(\forall x_1,x_2\in K\), (\(x_1\ne x_2\)).

b) Nếu hàm số đồng biến trên \(K\) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải ;

Nếu hàm số nghịch biến trên \(K\) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

@37704@

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí:

Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên \(K\).

a) Nếu \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\in K\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(K\).

b) Nếu \(f'\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\in K\) thì hàm số \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(K\).

Chú ý: Nếu \(f'\left(x\right)=0\), \(\forall x\in K\) thì \(f\left(x\right)\) không đổi trên \(K\).

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a) \(y=2x^4+1\) ;

b) \(y=\sin x\) trên khoảng \(\left(0;2\pi\right)\).

Giải:

a) Hàm số đã cho xác định trên \(R\).

Ta có \(y'=8x^3\). Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(y=2x^4+1\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;0\right)\), đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\).

b) Xét trên khoảng \(\left(0;2\pi\right)\) ta có \(y'=\cos x\). Bảng biến thiên:

Vậy hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên các khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

@37705@

Chú ý: Ta có định lí mở rộng sau đây:

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'\left(x\right)\ge0\) (\(f'\left(x\right)\le0\)), \(\forall x\in K\) và \(f'\left(x\right)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên \(K\).

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=2x^3+6x^2+6x-7\).

Giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi \(x\in R\).

Ta có \(y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\)

Do đó \(y'=0\Leftrightarrow x=-1\) và \(y'>0\) với mọi \(x\ne-1\)

Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.

II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Quy tắc

1. Tìm tập xác định.

2. Tính đạo hàm \(f'\left(x\right)\). Tìm các điểm \(x_i\left(i=1,2,3,...,n\right)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

2. Áp dụng

Ví dụ 3: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x+2\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\in R\).

Ta có: \(y'=x^2-x-2\) , \(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.\). Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(2;+\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;2\right)\).

Ví dụ 4: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=\dfrac{x-1}{x+1}\).

Giải:

Hàm số xác định với mọi \(x\ne-1\).

Ta có: \(y'=\dfrac{\left(x+1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}\). \(y'\) không xác định tại \(x=-1\).

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\).

Ví dụ 5: Chứng minh rằng \(x>\sin x\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) bằng cách xét khoảng đơn điệu của hàm số \(f\left(x\right)=x-\sin x\).

Giải:

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x-\sin x\) \(\left(0\le x< \dfrac{\pi}{2}\right)\),

Ta có \(f'\left(x\right)=1-\cos x\ge0\) (\(f'\left(x\right)=0\) chỉ tại \(x=0\)) nên ta có \(f\left(x\right)\) đồng biến trên nửa khoảng \([0;\dfrac{\pi}{2})\).

Do đó, với \(0< x< \dfrac{\pi}{2}\) ta có \(f\left(x\right)=x-\sin x>f\left(0\right)=0\)

hay \(x>\sin x\) trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\).

@36668@

• Lý thuyết
• Trắc nghiệm
• Giải bài tập SGK
• Hỏi đáp
• Đóng góp lý thuyết

Bài trước Bài tiếp theo

Khoá học trên OLM (olm.vn)

• Toán lớp 12
• Ngữ văn lớp 12
• Tiếng Anh lớp 12
• Vật lý lớp 12
• Hoá học lớp 12
• Sinh học lớp 12
• Lịch sử lớp 12
• Địa lý lớp 12
• Giáo dục công dân lớp 12

Đề thi đánh giá năng lực

• Đại học Quốc gia Hà Nội
• Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh
• Đại học Bách khoa Hà Nội

Khoá học trên OLM (olm.vn)

• Toán lớp 12
• Ngữ văn lớp 12
• Tiếng Anh lớp 12
• Vật lý lớp 12
• Hoá học lớp 12
• Sinh học lớp 12
• Lịch sử lớp 12
• Địa lý lớp 12
• Giáo dục công dân lớp 12

Đề thi đánh giá năng lực

• Đại học Quốc gia Hà Nội
• Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh
• Đại học Bách khoa Hà Nội

Đóng góp

Lưu lại Lớp học Lớp 12 Lớp 11 Lớp 10 Lớp 9 Lớp 8 Lớp 7 Lớp 6 Lớp 5 Lớp 4 Lớp 3 Lớp 2 Lớp 1 Môn học Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Tiếng anh thí điểm Đạo đức Tự nhiên và xã hội Khoa học Lịch sử và Địa lý Tiếng việt Khoa học tự nhiên Hoạt động trải nghiệm Hoạt động trải nghiệm, hướng nghiệp Giáo dục kinh tế và pháp luật Bộ sách Chương trình cũ Hỗ trợ học sinh học sách Cánh Diều Hỗ trợ học sinh học sách Kết nối tri thức với cuộc sống Hỗ trợ học sinh học sách Chân trời sáng tạo Explore English Global Success Friends Plus I-learn Smart World Chủ đề cha Đang tải dữ liệu... Lọc câu hỏi Đang tải dữ liệu... Nội dung