Vấn đề 1: Phương Pháp Chứng Minh Hàm Số Y = F(x) đồng Biến ...

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Chuyên đề 1 - Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trong khoảng (a;b)

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b)

Muốn chứng minh hàm số y = f(x) Ta phải chứng minh

đồng biến trong khoảng (a;b) f'(x) ≥ 0, ∀x, x ∈(a;b) (1)

nghịch biến trong khoảng (a;b) f'(x) ≤ 0,x,∀ x ∈ (a;b) (2)

đơn điệu trong khoảng (a;b) f'(x) không đổi dấu, ∀x, x ∀ (a;b)

*Chú ý: Dấu thức ở (1) ,(2) chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm của khoảng (a;b)

*Cần nhớ Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a # 0) luôn luôn cùng dấu với a ∆

22 trang

haha99

11771

0 Download Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề 1 - Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trong khoảng (a;b)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênChuyên đề 1 Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trong khoảng (a;b) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b) Muốn chứng minh hàm số y = f(x) Ta phải chứng minh đồng biến trong khoảng (a;b) f’(x) ³ 0,"x, x ẻ (a;b) (1) nghịch biến trong khoảng (a;b) f’(x) ≤ 0,"x, x ẻ (a;b) (2) đơn điệu trong khoảng (a;b) f’(x) không đổi dấu,"x, x ẻ (a;b) *Chú ý: Dấu thức ở (1) ,(2) chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm của khoảng (a;b) *Cần nhớ Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (aạ0) luôn luôn cùng dấu với a D<0 Bài tập áp dụng: Bài 1: a,Chứng minh hàm số y = f(x) = x3 – x2 +2x – 3 đồng biến trên miền xác định của nó Giải: TXĐ:R Ta có: f’(x) = 3x2 – 2x +2 > 0,"x, x ẻ R vì Vậy: hàm số y = f(x) x3 – x2 +2x – 3 đồng biến trên miền xác định R của nó. b, Chứng minh hàm số y = f(x) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó Giải: TXĐ: D = R\ Ta có: f’(x) = < 0,"x, x ẻ D Vậy: hàm số y = f(x) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó . c,Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) = Giải: y = f(x) = = -x- TXĐ: D = R\ Ta có: f’(x) = -1 - < 0,"x, x ẻ D Vậy: hàm số y = f(x) = nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó . Bài tập tương tự: Bài 2: Chứng minh hàm số y = f(x) = đồng biến trên từng khoảng xác định của nó Vấn đề 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b).Muốn tìm khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số y = f(x) thì ta làm như sau: -Tìm tập xác định D. -Tính y’ = f’(x) -Tìm nghiệm (nếu có) của f’(x) = 0 Lập bảng biến thiên của hàm số : x y’ dấu của y’ = f’(x) y chiều biến thiên của hàm số Bài tập áp dụng: Bài 1: a,Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = -x3 – 3x2 +2 Giải:TXĐ : R y’ = f’(x) = -3x2 – 6x = -3x(x+2); y’ = 0 Bảng biến thiên x - -2 0 + y’ - 0 + 0 - y Vậy hàm số đã cho đồng biến trong khoảng (-2;0) và nghịch biến trong khoảng (-;-2) ; (0; +) b,Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = Giải:TXĐ : D = R\ Ta có: y’ = f’(x) = ; y’ = 0 -x2 + 4x =0-x(x-4) = 0 Bảng biến thiên x - 0 2 4 + y’ - 0 + + 0 - y Vậy hàm số đã cho đồng biến trong khoảng (0;2);(2;4) và nghịch biến trong khoảng (-; 0) ; (4; +) Bài tập tương tự: Bài 2: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số a, y = -x4 + 4x2 b, y = f(x) = vấn đề 3:Xác định điều kiện của 1 tham số để hàm số y = f(x) đồng biến ,nghịch biến trong khoảng (a;b) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm,trong khoảng (a;b) Muốn xác định điều kiện của tham số (m chẳng hạn)để hàm số y = f(x) Ta phải xác định điều kiện của m sao cho: đồng biến trong khoảng (a;b) f’(x) ³ 0,"x, x ẻ (a;b) (1) nghịch biến trong khoảng (a;b) f’(x) ≤ 0,"x, x ẻ (a;b) (2) *Chú ý: Dấu thức ở (1) ,(2) chỉ xảy ra tại 1 số hữu hạn điểm của khoảng (a;b) *Cần nhớ : 1,Dờu của tam thức bậc hai: *ax2 + bx + c ≥ 0,"x, x ẻ R *ax2 + bx + c ≤ 0,"x, x ẻ R 2,Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (aạ0) * a.f(x) f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và x1 < x , x2 * a.f(x) > 0 và D ³ 0 và : Bài tập áp dụng : Bài 1:a,Xác định m để hàm số sau đây đồng biến toàn miền xác định của nó: y = - (m+1)x2 + 4x – 5 Giải : TXĐ: R y’ = x2 - 2(m+1)x + 4.Để hàm số đồng biến trên R f’(x) ³ 0,"x, xẻ R D≤0 ( vì f’(x) có a = 1 > 0) (m+1)2 – 4 ≤ 0 m2 + 2m -3 ≤ 0 -3 ≤ m ≤ 1 b,Xác định m để hàm số sau đây nghịch biến biến trên mõi khoảng xác định (kạ-1 ,kạ 2) Giải: TXĐ : D = R\ y’ = . Để hàm số đồng biến trên D y’ < 0,"x, xẻ D -k2 + k + 2 < 0 Vấn đề 4:Tìm cực trị của hàm số y = f(x) Muốn tìm cực trị của hàm số y = f(x) ta lần lượt thực hiện các bước sau: -Tìm tập xác định. -Tính đạo hàm f’(x). -Tìm nghiệm x0 (nếu có) của f’(x) = 0 và tính y0 -Lập bảng biến thiên và dựa vào đây ta sẽ có kết quả. Bài tập áp dụng: Bài 1:Tìm cực trị của các hàm số sau: a, y = 2x3+3x2-36x-10 TXĐ: D=R y’= 6x2+6x-36 y’=0 6x2+6x-36 = 0 x2 + x - 6 = 0 Bảng xét dấu: x - -3 2 + y’ + 0 - 0 + y 71 -54 Điểm cực đại (-3;71);Điểm cực tiểu (2;-54). y=x+ TXĐ: x y’=1-= Bảng xét dấu x - -1 0 1 + y + 0 - - 0 + y -2 2 Điểm cực đại (-1;-2); Điểm cực tiểu (1;2). Tương tự: c, y= 2x3 – 3x2 – 12x + 5 d, y = -x4 + 4x2 + 5 Vấn đề 5 : Tính giá trị của 1 tham số để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 -Bước 1:Tìm tập xác định và tính đạo hàm f’(x) -Bước 2: phần thuận: Hàm số đạt cực trị tại x0 =>f’(x) = 0 (từ đây ta tính được giá trị của tham số, m chẳng hạn) -Bước 3: phần đảo: Thay m vừa tính được ở phần thuận vào f’(x) từ đó tìm nghiệm của f’(x) = 0 và lập bảng biến thiên để xem hàm số f(x) có đạt cực trị tại x0 không? Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho hàm số y = f(x) = -x3 – (2m – 1)x2 +(m – 5)x + 1.Tính m để hàm số đạt cực trị tại x = 1 Giải: -TXĐ : R y’ = -3x2 – 2(2m – 1)x +(m – 5) -Thuận : Hàm số đạt cực trị tại x = 1=>f’(1) = 0 -3x2 – 2(2m – 1)x +(m – 5) = 0 m = -2 -Đảo : m = -2 =>y’ = 3x2 + 10x – 7 ; y’ = 03x2 + 10x – 7 = 0 x - 1 + y’ - 0 + 0 - y Vậy : Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 -Kết luận: Với m = -2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = + (m2 – m +2)x2 +(3m2 +1)x + m.Tính m để hàm số cực tiểu(hoặc cực đại) khi x = -2. ĐS: m = 3 Vấn đề 6: Chứng minh một hàm số luôn có cực trị.Xác định điều kiện của một tham số để hàm số có hoặc không có cực trị Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) trong khoảng (a;b) và nếu f’(x) = 0 có nghiệm thì chỉ có 1 số hữu hạn nghiệm thuộc khoảng (a;b) Muốn chứng minh hàm số y = f(x)(hoặc muốn xác định điều kiện của một tham số để hàm số y = f(x)) Ta phải chứng minh f’(x) (hoặc ta phải xác định điều kiện của tham số để f ’(x) ) Có cực trị trong khoảng (a;b) f’(x) = 0 có nghiệm đơn x0 ẻ(a;b) Không có cực trị khoảng (a;b) f’(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x0 ẻ(a;b) [hoặc f’(x) không đổi "x, xẻ(a;b) Bài tập áp dụng: Bài 1: CMR hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m y = – mx2 +(m2 – 1)x + (m2 – 1) Giải: -TXĐ: R, y’ = x2 -2mx + (m2 – 1) ; y’ = 0 x2 -2mx + m2 – 1 = 0 Ta có: D’ = m2 – (m2 – 1) = 1 => x - m - 1 m+1 + y’ + 0 - 0 + y Vậy : y’ = 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt =>y’ = 0 triệt tiêu và đổi dấu 2 lần khác nhau =>hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu (đpcm) Bài 2: Xác định m để hàm số có cực trị: y = x3 -2x2 + mx – 1 Giải: TXĐ R. Ta có y’ = 3x2 -4x + m,để hàm số có cực trị y’ = 0 có nghiệm đơn D’ > 0 4 – 3m > 0 m < Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số 1,Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên D Nếu thì M gọi là giá trị lớn nhất của một hàm số Nếu thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của một hàm số 2,Cách tìm - Tìm tập xác định và tính đạo hàm f’(x) - Tìm nghiệm x0 (nếu có0 của f’(x) và tính y0 = f(x0) - Lập bảng biến thiên. - Tính y = f(a), y = f(b) và giá trị cực đại (ymax) , giá trị cực tiểu (ymin), (nếu có) của hàm số (trong (a;b)) - So sánh f(a), f(b), (ymax), (ymin) ta có kết quả. Bài tập áp dụng: Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4x3 – 3x4 Giải: TXĐ : R y’ = 12x2 – 12x3 = 12x2(1 – x); y’ = 0 =>x = 0,x = 1 x - 0 1 + y’ + 0 + 0 - y 0 1 Vậy : ymax = 1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3x2 + 6x - 2 Giải: TXĐ : R.Ta có :y’ = 6x + 6 ; y’ = 0 6(x + 1) = 0 =>x = -1 x - -1 + y’ - 0 + y -5 Vậy : ymin = -5 Vấn đề 8 : KHảo sát hàm số I.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a0) Dạng 1: Bài 1: Khảo sát h/số y = x3 -3x2 +2 Giải: 1, TXĐ D = R 2, Sự biến thiên a, chiều biến thiên: y' = 3x2 - 6x = 0 x = 0, x = 2 Xét dấu y' x - 0 2 + y' + 0 - 0 + Vậy h/số ĐB/(-;0)(2;+ ); NB/(0;2) b,Cực trị -H/số đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ =2 -H/số đạt cực tiểu tại x = 2 => yCT = -2 c,Giới hạn y = x3(1-) = -;y = x3(1-) = + Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = 6x - 6 = 0 x = 1 x - 1 + y' - 0 + Đồ thị lồi ĐU lõm (1;0) e,Bảng biến thiên x - 0 1 2 + y' + 0 - - 0 + 2 + y - U(1;0) -2 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = 2 -Tại đ' uốn U(1;0) tiếp tuyến xuyên qua đồ thị, hệ số góc của tt tại đ' uốn là y'(1) = -3 Dạng 2: Bài 2: Khảo sát h/số y = x3 + x -2 Giải: 1,TXĐ D = R 2,Sự biến thiên a,Chiều biến thiên y' = 3x2 +1>0, x Vậy h/s đồng biến trên (-;+) b,Cực trị: H/s không có cực trị c, Giới hạn y = -, y = + Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = 6x = 0 x =0 x - 0 + y' - 0 + Đồ thị lồi ĐU lõm (0;-2) e,Bảng biến thiên x - 0 + y' + -2 + y - U(0;-2) 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y =- 2 -Lấy thêm đ' (1;0),(-1;-4) -Tại đ' uốn U(0;-2) tiếp tuyến xuyên qua đồ thị, hệ số góc của tt tại đ' uốn là y'(0) = 1 Dạng 3: Bài 3: Khảo sát h/số y = -2x3 + 3x2 - 1 Giải: 1, TXĐ D = R 2, Sự biến thiên a, chiều biến thiên: y' = -6x2 + 6x = 0 x = 1, x = 0 Xét dấu y' x - 0 1 + y' - 0 + 0 - CĐ y CT Vậy h/số NB/(-;0)(1;+ ) ĐB/(0;1) b,Cực trị -H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -1 -H/số đạt cực đại tại x = 1 => yCĐ =0 c,Giới hạn y = -x3(2+) = + y =-x3(2+) = - Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = -12x + 6 = 0 x = =>y = - x - + y' + 0 - Đồ thị lõm ĐU lồi (;-) e,Bảng biến thiên x - 0 1 + y' - 0 + 0 - + U(;-) - y 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1 -Tại đ' uốn U(;-) tiếp tuyến xuyên qua đồ thị, Dạng 4: Bài 4 :Khảo sát h/số y = -x3 + x2 - x - 1 Giải: 1, TXĐ: D = R 2, Sự biến thiên a, chiều biến thiên: y' = -3x2 +2x -1 y' = 0, pt vô nghiệm Xét dấu y', ta có = -2 < 0, a = -3, vậy y' luôn cùng dấu với a tức là y' luôn âm với R. => H/s nghịch biến/R b,Cực trị: H/số không có cực trị c,Giới hạn y =(-x3 + x2 - x – 1) = +;y =(-x3 + x2 - x – 1) - Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = 0 -6x +2 = 0 x = x - + y' + 0 - Đồ thị lõm ĐU lồi (;-) e,Bảng biến thiên x - + y' - - + y U(;) - 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1 -Tại đ' uốn U(;) tiếp tuyến xuyên qua đồ thị, hệ số góc của tt tại đ' uốn là y'() = - II.Hàm số y = ax4+bx2 +c (a0) Dạng 1: Bài 1: Khảo sát hàm số y = x4 - 4x2 +4 Giải: 1, TXĐ D = R 2, sự biến thiên y' = 4x3 -8xx = 0, x = Xét dấu y' x - - 0 + y' - 0 + 0 - 0 + CĐ y CT CT Vậy h/số ĐB/(-;0)( ;+ ) NB/(-;-)(0; ) b,Cực trị -H/số đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ=4 -H/số đạt cực tiểu tại x = => yCT= 0 c,Giới hạn y = ( x4 - 4x2 +4) = + y = ( x4 - 4x2 +4) = - Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = 12x2-8= 0 x = x - - + y'' + 0 - 0 + Đồ thị lõm ĐU lồi ĐU lõm (-;) (;) e,Bảng biến thiên x - - - 0 + y' - 0 + 0 - 0 + + 4 + y 0 U U 0 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = 4 -H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng Dạng 2: Bài 2: Khảo sát hàm số y = 2x4 + x2 - 3 Giải: 1, TXĐ D = R 2, sự biến thiên y' = 8x3 + 2x ; y’ = 0 8x3 + 2x = 02x(4x2 + 1) = 0 Xét dấu y' x - 0 + y' - 0 + Vậy h/số ĐB/ (0;+ ), NB/(-;0) b,Cực trị -H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -3 c,Giới hạn y = (2x4 + x2 – 3) = + y =(2x4 + x2 – 3) = + Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = 24x2 + 2 > 0 "xẻ R Bảng biến thiên x - 0 + y' - 0 + + + y -3 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = - -H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng Dạng 3 Bài 3 : Khảo sát h/số y = 1+ 2x2 - Giải: 1, TXĐ D = R 2, sự biến thiên y' = 4x -x3 =0x = 0, x = 2 Xét dấu y' x - -2 0 2 + y' + 0 - 0 + 0 - Vậy h/số ĐB/(-;-2)(0;2); NB/(-2;0)(2 ;+ ) b,Cực trị -H/số đạt cực đại tại x = 2=> yCĐ= 5 -H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT= 1 c,Giới hạn y = (1+ 2x2 -) = - y = (1+ 2x2 -) = - Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'' = 4-3x2= 0 x = x - - + y'' - 0 + 0 - Đồ thị lồi ĐU lõm ĐU lồi (-;) (;) e,Bảng biến thiên x - -2 - 0 2 + y' + 0 - 0 + 0 - 5 5 y U 1 U 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = 1 -H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng Dạng 4 Bài 4: Khảo sát h/số y = -x4 – x2 - 1 Giải : 1, TXĐ D = R 2, sự biến thiên y' = - 4x3 -2x = -2x(2x2 + 1) => x = 0 x - 0 + y' + 0 - Vậy h/số ĐB/(-;0); NB/(0 ;+ ) b,Cực trị -H/số đạt cực đại tại x = 0=> yCĐ = -1 c,Giới hạn y = (-x4 – x2 - 1) = - y = (-x4 – x2 - 1) = - Đồ thị không có tiệm cận d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'’ = -12x2 -2 = -2(6x2 + 1) < 0 Đồ thị lồi /R e,Bảng biến thiên x - 0 + y’ + 0 - y 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1 -H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng III.Một số hàm phân thức 1)Hàm số (cạ0;D =ad-bcạ0) Bài 1: Khảo sảt hàm số 1) TXD: x ạ 2 2)Sự biến thiên a, chiều biến thiên : Vậy hàm số đồng biến / b,Cực trị Hàn số không có cực trị C,Giới hạn = = => Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng = = -1 =>đường thẳng y= -1 là tiệm cận ngang D,Bảng biến thiên x - 2 + y’ + + y 3) Đồ thị Bảng giá trị x 1 3 y 0 -2 NX:Đồ thị nhận giao của hai tiệm cận I(2;-1) làm tâm đối xứng Bài 2: Khảo sát hàm số 1) TXD: D = R\ 2)Sự biến thiên a, chiều biến thiên Vậy h/s đồng nghịch b,Cực trị Hàn số không có cực trị C,Giới hạn => Đường thẳng x= là tiệm cận đứng =>đường thẳng y = là tiệm cận ngang d,Bảng biến thiên x - + y’ + 0 + y 3) Đồ thị NX:Đồ thị nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng Bài2 : Khảo sát h/số a, y = Giải: 1, TXĐ x1 2, Sự biến thiên a, chiều biến thiên: y' = <0 với x1 y' = 0, pt vô nghiệm Xét dấu y', y' luôn âm với x1. => H/s nghịch biến trên ( - ;1)(1;+ ) b,Cực trị: H/số không có cực trị c,Giới hạn y = -,y = + Đt' x = 1 là t/cận đứng y==1, đt' y = 1 là t/cận ngang d,Bảng biến thiên x - 1 + y' - - y 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1 -Giao với trục 0x: y=0=> x=-1 c, y = Giải: 1, TXĐ x 2, Sự biến thiên a, chiều biến thiên: y' = >0, với x Xét dấu y' Vậy h/số ĐB/(-;)( ;+) b,Cực trị: Không có cực trị c,Giới hạn y = +,y = - Đt' x = là t/cận đứng y==-, đt' y = - là t/cận ngang d,Bảng biến thiên x - + y' + + + y 3,Đồ thị -Giao với trục 0y: x = 0 => y =- -Giao với trục 0x: y =0 => x = . VD1:Khảo sát hàm số 1)TXD : x 2) Sự bíên thiên a,Chiều biến thiên y’=0 ú x2-2x-3 = 0 x= -1; x=3 xét dấu y’ x - -1 1 3 + y’ + 0 - - 0 + Vậy h/s đồng biến /(- ;-1) và (3;+ ) nghịch biến /(-1;1) và (1;3) b , Cực trị Cực đại (-1;-5); cực tiểu (3;3) c,Giới hạn => Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng Phân tích : Vì Nên đường thẳng y= x-2 là tiệm cận xiên d. Bảng biến thiên 3) đồ thị Đi qua (0;-6) ; Nhận I(1;-1) là giao điểm của hai tiệm cận làm tam đối xứng NX: Hàm số có 1 T/c đứng và 1 t/c xiên VD2: Khảo sát hàm số 1)TXD : x 2) Sự bíên thiên a,Chiều biến thiên: Vậy h/s nghịch biến /(- ;1) và (1;+ ) b , Cực trị Hàm số không có cực trị c,Giới hạn => Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng Vì Nên đường thẳng y= x-2 là tiệm cận xiên d. Bảng biến thiên 3) đồ thị Đi qua (0;-1) ; Nhận I(2;1) là giao điểm của hai tiệm cận làm tam đối xứng Bảng tóm tắt khảo sát hàm số -Có 1 t/c đứng và một t/c xiên -Nhận tâm đỗi xứng là giao điểm của 2 tiệm cận -Vẽ hai t/c trước, xác định hai toạ độ x>2 và x< 2 d, y = Giải: 1, TXĐ x0 2, sự biến thiên y' = =0x=4,x=-4 Xét dấu y' x - -4 0 4 + y' + 0 - - 0 + CĐ y CT Vậy h/số ĐB/(-;-4)(4;+ ) NB/(-4;0)(0;4) b,Cực trị -H/số đạt cực đại tại x = -4 => yCĐ=-8 -H/số đạt cực tiểu tại x = 4 => yCT= 8 c,Giới hạn y=-, y= + Đt' x = 0 là t/cận đứng y = (-x)= =0 nên đt' y = x là t/cận xiên d, Bảng biến thiên x - -4 0 4 + y' + 0 - - 0 + -8 y 8 3,Đồ thị -Đồ thị cắt trục toạ độ tại các đ' (-4;-8), (4;8) g, y = -x + 1 + y' = -1-<0, 1 H/s bghịch biến trên (-;1)(1;+ ) Tiệm cận đứng x = 1. Tiệm cận xiên y = -x+1. Bbt x - 1 + y' + + y Đồ thị. Giao với 0x : y=0=> x=0, x=2 Giao với 0y: x=0=> y=0 Vấn đề 9: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị - Biện luận số giao điểm của hai đồ thị dựa vào số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Xét phương trình P(m,x) = 0, trong đó: x là ẩn,m là tham số. -Bước 1: P(m,x) = 0 f(x) = 0, trong đó f(x) là hàm số mà ta đã vẽ đồ thị (C) y = g(m,x) là pt của một đường (d) thay đổi theo m -Bước 2: Bằng cách dùng đồ thị, biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d) để từ đó suy ra số nghiệm của pt đã cho Bài tập: Bài 1: a,Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x(x + 3)2 + 4 b,Tuỳ theo m biện luận số nghiệm của pt x3 + 6x2 + 9x + 4 – m = 0 (1) Giải: a, - -3 -1 + y’ + 0 - 0 + y 4 + - 0 b,pt (1) x(x2 + 6x + 9) + 4 = m x(x + 3)2 + 4 = m, đây là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (C) của hs y = x(x + 3)2 + 4 và đt (d) : y = m Biện luận : -Nếu m = 4=>(d) cắt (C) tại (0;4) và (d) cắt (C) tại (-3;4) =>pt(1) có 1nghiệm đơn x = 0 và 1 nghiệm kép x = -3 -Nếu 0 (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt=> pt(1) có 3nghiệm đơn -Nếu m = 0=>(d) cắt (C) tại (-4;0) và (d) cắt (C) tại (-1;0) =>pt(1) có 1nghiệm đơn x = -4 và 1 nghiệm kép x = -1 -Nếu m (d) cắt (C) tại 1 điểm => pt(1) có 1 nghiệm đơn -Nếu m >4=>(d) cắt (C) tại 1 điểm => pt(1) có 1 nghiệm đơn Bài 2 : a,Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = b,Tuỳ theo m biện luận số nghiệm của pt x2 + 3(m-1)x -3(2m-1) = 0 (2) Giải: a, b, -Nếu -3m > 3=>m(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt=> pt(2) có 2nghiệm đơn -Nếu -1>m>-1=>(d) không cắt (C) =>pt(2) vô nghiệm -Nếu -3m m > =>(d) cắt (C) 1=>(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt=> pt(2) có 2nghiệm đơn Bài 3 a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = b,Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đt (d) có pt: y = 3x + m Giải: a,Học sinh tự giải b,Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là : = 3x + m (x ạ 1) 4x2 + (m-6)x – (m-3) = 0, (x ạ 1) (3) Ta có: D = m2 + 4m – 12 Xét dấu D = m2 + 4m – 12 m - -6 2 + D = m2 + 4m – 12 + 0 - 0 + Biện luận: -Nếu D -6 pt(3) vô nghiệm =>(d) không cắt (C) -Nếu D > 0 m 2=>pt(3) có 2 nghiệm =>(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Vấn đề 10: Bài toán tìm giao điểm hai đường thẳng. Viết phương trình tiếp tuyến I,Tìm giao điểm của hai đường Muốn tìm toạ độ của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta làm như sau: - Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1) - Giải pt (1) (gọi nghiệm, nếu có, là x0) Tính y0 = f(x0) = g(x0) - Kết luận : (pt (1) có bao nhiêu nghiệm thì sẽ có bấy nhiêu giao điểm) Bài tập: Bài 1:Tìm toạ độ giao điểm của đường cong (C) : y = x3 + x2 – x + 2 và đường thẳng (d) : y = 4x – 1 Giải: phương trình hoành độ giao điểm : x3 + x2 – x + 2 = 4x – 1 x3 + x2 – 5x + 3 = 0 (1) (nhẩm thấy pt (1) có 1 nghiệm x = 1, chia vế trái của pt (1) cho x – 1, ta được : x2 + 2x – 3) (1)(x – 1)( x2 + 2x - 3) = 0 =>pt (1) có 1 nghiệm kép x = 1=>y = 3 =>(d) tiếp xúc với (C) tại A(1;3) =>pt (1) có 1 nghiệm x = -3 =>y = -13 =>(d) cắt (C) tại B(-3;-13) II, phương trình tiếp tuyến của đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) Nếu biết tiếp tuyến tại điểm M(x0;y0) ẻ (C) thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng: Nếu biết tiếp tuyến của (C) đi qua A(x1;y1) .Ta làm như sau: y – y0 = f’(x0).(x – x0) -Bước 1: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(x1;y1) với hệ số góc là k: y – y1 = k.(x – x1) y = k.(x – x1) +y1 -Bước 2: Để (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm. (giải hệ này xem có bao nhiêu nghiệm) -Bước 3: Thay k vừa tìm được ta sẽ được phương trình tiếp tuyến cần tìm (ứng với mỗi giá trị của k ta sẽ có 1 phương trình tiếp tuyến). Bài tập Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C). a,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(0;2) b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua A(0:3) Giải: a,Vì M(0;2) ẻ (C) nên phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(0;2) có dạng : y – y0 = f’(x0).(x – x0), với x0 = 0; y0 = 2; f’(x) = 3x2 – 6x; f’(x0) = 0 =>PTTT : y – 2 = 0.(x- 0) y = 2 b, -Bước 1: phương trình đường thẳng (d) đi qua A(0;3) với hệ số góc là k: y – 3 = k.(x – 0) y = kx + 3 -Bước 2: Để (d) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm. Thay k từ pt (2) vào pt (1): x3 – 3x2 + 2 = (3x2 – 6x).x + 3 x3 – 3x2 + 2 = 3x3 – 6x2 + 3 2x3 – 3x2 + 1 = 0(x – 1)( 2x2 – x – 1) = 0 -Bước 3: -Với k = -3 =>pttt là : y = -3x + 3 -Với k = =>pttt là : y = x + 3 Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 1có đồ thị (C). a,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(0;1) b, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua N(;-1) Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = x4 – 4x2 + 4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua A(0;4) Đê tổng hợp: Bài 1: Cho hàm số y = x3 + k(x + 2) + 1 (1) 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k = - 3 2, Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3 – 3x = m 3, Gọi (k) là đồ thị của hàm số (1). Tìm tất cả các giá trị của k để (Ck) tiếp xúc với đường thẳng (D) : y = x + 1 4,Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A(-1;0) 5, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua B(2;0) 6,Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số (khi k = -3) trên đoạn [-1;3] 7,Với giá trị nào của k thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định. Giải 1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) * Mxđ: D = R * Đạo hàm y = x3 – 3(x+1) + 1 Û y = x3 – 3x - 2 Û y’= 3x2 – 3 y’= 0 Û x = ± 1 * Cực trị: x = -1 ị y = 0 (CĐ) x = 1 ị y = -4 (CT) * Giới hạn: lim y =

Tài liệu đính kèm:

Dai.doc

Tài liệu liên quan

Chuyên đề: Hệ phương trình Đại số (Nguyễn Văn Dương)
Lượt xem: 1172 Lượt tải: 0
Giáo trình toán rời rạc - Chương III: Đồ thị
Lượt xem: 921 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 cơ bản trọn bộ (3 cột)
Lượt xem: 1217 Lượt tải: 0
Đề thi thử đại học lần 2 môn Toán –khối B
Lượt xem: 815 Lượt tải: 0
Tài liệu ôn thi ĐH, CĐ - Chủ đề Lượng giác
Lượt xem: 2587 Lượt tải: 0
Đề 6 Kiểm tra môn Giải tích 12
Lượt xem: 976 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra chất lượng học kỳ II lớp 12 môn thi: Toán
Lượt xem: 1230 Lượt tải: 0
Giáo án Giải tích 12 - Tiết 4: Chủ đề: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Lượt xem: 1055 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi 12 năm học 2009 - 2010. Môn: Toán
Lượt xem: 1005 Lượt tải: 0
Chuyên đề số phức ôn thi tốt nghiệp 12
Lượt xem: 877 Lượt tải: 0