Bài 2. Cực Trị Của Hàm Số - Củng Cố Kiến Thức

Trang chủ » đạt Cực Tiểu » Bài 2. Cực Trị Của Hàm Số - Củng Cố Kiến Thức

Có thể bạn quan tâm

I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$xác định và liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$(có thể $a = - \infty ;b = + \infty $và điểm ${x_o} \in \left( {a;b} \right)$.

  1. Nếu tồn tại h>0 sao cho $f\left( x \right) < f\left( {{x_o}} \right),\forall x \in \left( {{x_o} - h;{x_o} + h} \right),x \ne {x_o}$thì ta nói hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_o}$.
  2. Nếu tồn tại h>0 sao cho $f\left( x \right) > f\left( {{x_o}} \right),\forall x \in \left( {{x_o} - h;{x_o} + h} \right),x \ne {x_o}$thì ta nói hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại ${x_o}$.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

* Định lí 1Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên khoảng $K = \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)$ và có đạo hàm trên K hoặc $K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$, với h>0.

a) Nếu $f'\left( x \right) > 0$ trên khoảng $\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)$ và $f'\left( x \right) < 0$ trên khoảng $\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)$ thì ${{x_0}}$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$.

b) Nếu $f'\left( x \right) < 0$ trên khoảng $\left( {{x_0} - h;{x_0}} \right)$ và $f'\left( x \right) > 0$ trên khoảng $\left( {{x_0};{x_0} + h} \right)$ thì ${{x_0}}$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)$. Ví dụ: Cho hàm số $y = \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5.$Ta có: $y' = \frac{3}{4}{x^2} - 3x.$Bảng biến thiênĐồ thị Vậy hàm số đã cho có tọa độ điểm cực đại là $\left( {0;5} \right)$ và cực tiểu là $\left( {4; - 3} \right).$

III. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ

Ta có các quy tắc tìm cực trị sau:

1. Quy tắc I:

-Tìm tập xác định.

-Tính $f'\left( x \right)$. Tìm các điểm tại đó $f'\left( x \right) = 0$hoặc $f'\left( x \right)$không xác định.

-Lập bảng biến thiên.

-Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Định lí 2Giả sử hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)$, với h > 0. Khi đó: a) Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0,f''\left( {{x_0}} \right) > 0$ thì ${x_0}$ là điểm cực tiểu; b) Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0,f''\left( {{x_0}} \right) < 0$ thì ${x_0}$ là điểm cực đại. 2. Quy tắc II:

-Tìm tập xác định.

-Tính $f'\left( x \right)$. Giải phương trình $f'\left( x \right) = 0$và kí hiệu ${x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)$là các nghiệm của nó.

-Tính $f''\left( x \right);f''\left( {{x_i}} \right)$.

-Dựa vào dấu của $f''\left( {{x_i}} \right)$suy ra tính chất cực trị của điểm ${x_i}$.

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} + 6$Giải: Hàm số xác định với mọi $x \in R$ $\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {x^3} - 4x = x\left( {{x^2} - 4} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = - 2;{x_2} = 2.\\f''\left( x \right) = 3{x^2} - 4.\\f''\left( { \pm 2} \right) = 8 > 0\end{array}$$ \Rightarrow x = - 2$ và $x = 2$ là hai điểm cực tiểu. $f''\left( 0 \right) = - 4 < 0$ $ \Rightarrow x = 0$ là điểm cực đại. Kết luận: $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x = - 2$và $x = 2$; ${f_{CT}} = f\left( { \pm 2} \right) = 2$. $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại x = 0 và ${f_{CĐ}} = f\left( 0 \right) = 6$.

Từ khóa » đạt Cực Tiểu