Các Dạng Bài Tập Về Cực Trị (Cực đại, Cực Tiểu) Của Hàm Số Và Cách ...

Có thể bạn quan tâm

Vậy bài tập về cực trị của hàm số có những dạng phổ biến nào? Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Trước khi vào nội dung chính, chúng ta cần tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số cực hay

I. Kiến thức về cực trị của hàm số cần nhớ

1. Định nghĩa cực trị hàm số:

- Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x0 ∈ (a;b).

a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x0) với mọi x ∈ (x0 - h; x0 + h) và x ≠ x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

* Chú ý:

• Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì:

x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số.

f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, ký hiệu: fCĐ (fCT)

M(x0;f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị.

• Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung là cực trị của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f'(x0) = 0.

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

• Khi f'(x) đổi dấu từ dương sang âm qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực đại của hàm số.

• Khi f'(x) đổi dấu từ âm sang dương qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.

3. Cách tìm cực trị (Quy tắc tìm cực trị) của hàm số

* Quy tắc tìm cực trị 1:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên

- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị

* Quy tắc tìm cực trị 2:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i=1,2,...)

- Bước 3: Tính f''(x) và tính các giá trị f''(xi)

- Bước 4: Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị tại xi.

hayhochoi dn8

II. Các dạng bài tập về cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

° Dạng 1: Xác định điểm cực trị, tìm điểm cực trị của hàm số

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

b) y = x4 + 2x2 - 3

c) $small y= x+frac{1}{x}$

d) y = x3(1 - x)2

e) $small y=sqrt{x^2-x+1}$

* Lời giải:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10

- TXĐ: D = R

- Ta có y' = 6x2 + 6x - 36

- Cho y' = 0 ⇔ 6x2 + 6x - 36 = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu a trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ = 71; và đạt cực tiểu tại x = 2; yCT = -54.

b) y = x4 + 2x2 - 3

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= 4x3 + 4x = 4x(x2 + 1);

- Cho y' = 0 ⇔ 4x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu b trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = -3; Hàm số không có điểm cực đại.

c) $small y= x+frac{1}{x}$

- TXĐ: D = R{0}

- Ta có: $small y'=1-frac{1}{x^2}=0Leftrightarrowleft [egin{matrix} x=1\ x=-1 end{matrix} ight.$

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu c trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = -2; và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 2.

d) y = x3(1 - x)2

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= (x3)’.(1 – x)2 + x3.[(1 – x)2]’

= 3x2(1 – x)2 + x3.2(1 – x)(1 – x)’

= 3x2(1 – x)2 - 2x3(1 – x)

= x2(1 – x)(3 – 5x)

- Cho y' = 0 ⇔ x2(1 – x)(3 – 5x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu d trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại $small x=frac{3}{5};y_{CD}=frac{108}{3125}$ và đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 0.

* Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.

e) $small y=sqrt{x^2-x+1}$

- TXĐ: D=R

- Ta có: $small y'=frac{2x-1}{sqrt{x^2-x+1}}=0Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

- Bảng biến thiên:

bài 1 câu e trang 18 sgk toán giải tích 12

- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $small x=frac{1}{2};y_{CT}=frac{sqrt{3}}{2}$

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12): Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1

b) y = sin2x – x

c) y = sinx + cosx

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

* Lời giải:

a) y = x4 - 2x2 + 1

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y' = 4x3 - 4x = 0 ⇔ 4x(x2 – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

- Ta có: y" = 12x2 - 4. Tính y'' tại các điểm x = 0 và x = ±1.

y"(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại của hàm số, yCĐ = 1

y"(1) = 8 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT = 0

y"(-1) = 8 > 0 ⇒ x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT = 0

b) y = sin2x – x

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 2cos2x – 1 = 0

$small Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{pi }{3}+k2pi$ $small Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi ,(kin mathbb{Z})$

- Ta có: y'' = -4sin2x. Tính y'' tại $small x=pm frac{pi }{6}+kpi$

$small y''left ( frac{pi }{6}+kpi ight )=-4.sinleft (frac{pi }{3}+k2pi ight )=-2sqrt{3}<0,(kin mathbb{Z})$

$small Rightarrow x=frac{pi }{6}+kpi ,(kin mathbb{Z})$ là các điểm cực đại của hàm số

$small y''left ( -frac{pi }{6}+kpi ight )=-4.sinleft (-frac{pi }{3}+k2pi ight )=2sqrt{3}>0,(kin mathbb{Z})$

$small Rightarrow x=-frac{pi }{6}+kpi ,(kin mathbb{Z})$ là các điểm cực tiểu của hàm số

c) y = sinx + cosx

- TXĐ: D=R

- Ta có: y' = cosx - sinx = 0

$small Leftrightarrow sqrt{2}cosleft ( x+frac{pi }{4} ight )=0 Leftrightarrow x+frac{pi }{4}=frac{pi }{2}+kpi$

$small Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi,(kin mathbb{Z})$

- Ta có: $small y''=-sinx-cosx=-sqrt{2}cosleft (x-frac{pi }{4} ight )$

$small y''left (frac{pi }{4}+kpi ight )=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{4}+kpi+frac{pi }{4} ight )$

$small =-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{2}+kpi ight )=left [egin{matrix} -sqrt{2};k=2n\ sqrt{2};k=2n+1 end{matrix} ight.;nin mathbb{Z}$

- Kết luận: Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $small x=frac{pi }{4}+k2pi$ và đạt cực tiểu tại các điểm $small x=frac{pi }{4}+(2k+1)pi,(kin mathbb{Z})$

d) y = x5 - x3 - 2x + 1

- TXĐ: D = R

- Ta có: y'= 5x4 - 3x2 - 2 = 0

⇔ (x2 - 1)(5x2 + 2) = 0

⇔ x2 - 1 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1

- Ta có: y" = 20x3 - 6x

y"(-1) = -20 + 6 = -14 < 0

⇒ x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

y"(1) = 20 – 6 = 14 > 0

⇒ x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

* Nhận xét: Theo kinh nghiệm thì các hàm vô tỉ thông thường các em nên áp dụng quy tắc 1, còn đối với các hàm

° Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (Tìm m để hàm có có cực đại, cực tiểu).

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 18 SGK Giải tích 12): Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y = x3 - mx2 - 2x + 1; luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.

° Lời giải:

- TXĐ: D = R

- Ta có: y' = 3x2 - 2mx – 2 = 0

$small Leftrightarrow 3x^2-2mx-2=0Leftrightarrow left [egin{matrix} x=frac{m-sqrt{m^2+6}}{3}\ x=frac{m+sqrt{m^2+6}}{3} end{matrix} ight.$

- Ta có: y’’ = 6x – 2m.

$small y''left ( frac{m-sqrt{m^2+6}}{3} ight )=-2sqrt{m^2+6}<0$

$small Rightarrow x= frac{m-sqrt{m^2+6}}{3}$ là điểm cực đại của hàm số.

$small y''left ( frac{m+sqrt{m^2+6}}{3} ight )=2sqrt{m^2+6}>0$

$small Rightarrow x= frac{m+sqrt{m^2+6}}{3}$ là điểm cực tiểu của hàm số

- Kết luận: Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12): Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số $small y=frac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt giá trị cực đại tại x = 2.

* Lời giải:

a) TXĐ: D=R{-m}

$small y=frac{x^2+mx+1}{x+m}$ $=x+\frac{1}{x+m}$

$small Rightarrow y'=1-frac{1}{(x+m)^2}=0$ small Leftrightarrow (x+m)^2=1Leftrightarrow x=-mpm 1

* Cách 1 (áp dụng quy tắc 1):

- Ta có bảng biến thiên sau:

bài 6 trang 18 sgk toán giải tích 12

- Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m – 1, mà theo bài ra hàm số đạt cực đại tại x = 2, nên ta có: -m – 1 = 2 ⇔ m = -3 ⇒ yCT = 1

* Cách 2 (áp dụng quy tắc 2):

- Tính y'', có: $small y''=frac{2(x+m)}{(x+m)^4}=frac{2}{(x+m)^3}$

- Hàm số đạt cực đại tại $small x=2Leftrightarrow left{egin{matrix} y'(2)=0\ y''(2)<0 end{matrix} ight.$

+) $small y''(2)<0Leftrightarrow frac{2}{(2+m)^3}<0$

small Leftrightarrow (2+m)^3<0Leftrightarrow 2+m<0Leftrightarrow m<-2

+) $small y'(2)=0Leftrightarrow 1-frac{1}{(2+m)^2}=0$

$small Leftrightarrow (2+m)^2=1Leftrightarrow left [egin{matrix} m=-1\ m=-3 end{matrix} ight.$

- Đối chiếu điều kiện ta thấy m=-1 (loại), m=-3 (thỏa mãn)

- Với m=-3 ⇒ yCT = 1

° Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

* Ví dụ 1(Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12): Tìm a và b để các cực trị của hàm số

$small y=frac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b$ đều là những số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.

* Lời giải:

- TXĐ: D = R.

- Ta có: y’ = 5a2x2 + 4ax – 9.

⇒ y’’ = 10a2x + 4a.

¤ Nếu a = 0 thì y’ = -9 < 0 với ∀ x ∈ R

⇒ Hàm số không có cực trị (loại)

¤ Nếu a ≠ 0 ta có: y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 = 0

small Leftrightarrow 5(ax)^2+4(ax)-9=0

$small Leftrightarrow left [egin{matrix} ax=1\ ax=-frac{9}{5} end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=frac{1}{a}\ x=frac{-9}{5a} end{matrix} ight.$

- Ta có: $small y''left ( frac{1}{a} ight )=14a;y''left ( frac{-9}{5a} ight )=-14a$

- Theo yêu cầu bài ra, thì hàm số đạt cực đại tại x0 = -5/9:

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} y'(frac{-5}{9})=0\ y''left ( frac{-5}{9} ight )<0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 5a^2.left (frac{-5}{9} ight )^2+4a.left ( frac{-5}{9} ight )-9=0\ 10a^2.left ( frac{-5}{9} ight )+4a<0 end{matrix} ight.$

$small Leftrightarrow left{egin{matrix} frac{125a^2}{81}-frac{20a}{9}=0\ -frac{50a^2}{9}+4a<0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} a=frac{81}{25}vee a=frac{-9}{5}\ a<0vee a>frac{18}{25} end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left [egin{matrix} a=frac{81}{25}\ a=-frac{9}{5} end{matrix} ight.$

- Hàm số đã cho có cực trị đều dương ⇔ yCT > 0.

» Với $small a=frac{81}{25}Rightarrow x_1=frac{25}{81};x_2=-frac{5}{9}$ , do đó:

$small y_{CT}=yleft ( frac{25}{81} ight )$ $small =frac{5}{3}.left (frac{81}{25} ight )^2.left ( frac{25}{81} ight )^3+2.frac{81}{25}.left ( frac{25}{81} ight )^2-9.frac{81}{25}+b$ $small Leftrightarrow b>frac{400}{243}$

» Với $small a=frac{-9}{5}Rightarrow x_1=frac{-5}{9};x_2=1$ , do đó:

$small y_{CT}=y(1)$ $small =frac{5}{3}.left ( -frac{9}{5} ight )^2.1^3+2.left ( -frac{9}{5} ight ).1^2-9.1+b>0$ $small Leftrightarrow b>frac{36}{5}$

- Kết luận: Vậy các giá trị a,b cần tìm là: $left{egin{matrix} a=-frac{9}{5}\ b>frac{36}{5} end{matrix} ight.$ hoặc $left{egin{matrix} a=frac{81}{25}\ b>frac{400}{243} end{matrix} ight.$