Bài 3: Vài Dãy Số đặc Biệt Và Dãy Cauchy - HOC247

YOMEDIA NONE Trang chủ Toán cao cấp Chương 2: Dãy số thực Bài 3: Vài dãy số đặc biệt và dãy Cauchy ADMICRO Lý thuyết 1 FAQ

Nội dung bài giảng Bài 3: Vài dãy số đặc biệt và dãy Cauchy sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về vài dãy số đặc biệt, dãy Cauchy. Mời các bạn cùng tham khảo!

ATNETWORK YOMEDIA

5. Vài dãy số đặc biệt

5.1 Mệnh đề

5.2 Mệnh đề

6. Dãy Cauchy

6.1 Định nghĩa

Tóm tắt lý thuyết

5. Vài dãy số đặc biệt

5.1 Mệnh đề

\(i)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{{n^\alpha }}} = 0,\forall \alpha > 0\)

\(ii)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{a} = 1,\forall a > 0\)

\(iii)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt[n]{n} = 1\)

\(iv)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^x}}}{{{{(1 + a)}^n}}} = 0,\forall a > 0,\forall x \in R\) hay \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^x}}}{{{a^n}}} = 0,\forall a > 1\)

\(v)\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^n} = \left\{ \begin{array}{l} + \infty \,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,\,\,\,a > 1\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,\,\,\,\left| a \right| < 1 \end{array} \right. \)

Chứng minh:

\(i)\frac{1}{{{n^\alpha }}} < \varepsilon \Leftrightarrow {n^\alpha } > \frac{1}{\varepsilon } \Leftrightarrow n > {\left( {\frac{1}{\varepsilon }} \right)^{\frac{1}{\alpha }}}\)

Do đó \(\forall \varepsilon > 0,\exists N = {\left( {\frac{1}{\varepsilon }} \right)^{\frac{1}{\alpha }}} \Rightarrow n > N\)

Ta có \(\left| {\frac{1}{{{n^\alpha }}} - 0} \right| < \varepsilon\)

ii) * Nếu a = 1, hiển nhiên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[n]{1} = 1\)

* Nếu a > 1, đặt \({x_n} = \sqrt[n]{a} - 1 > 0\)

\(\Rightarrow {x_n} + 1 = \sqrt[n]{a}\)

\( \Rightarrow a = {({x_n} + 1)^n} > 1 + n{x_n}\)

\(\Rightarrow 0 < {x_n} < \frac{{a - 1}}{n}\)

Theo định lý kẹp ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x_n} = 0\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt[n]{a} - 1) = 0\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[n]{a} = 1\)

* Nếu a < 1: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{a}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{1}{a}}} = 1\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[n]{a} = 1\)

iii) \(\sqrt[n]{n} \to 1\)

Đặt \({y_n} = \sqrt[n]{n} - 1 \ge 0 \Rightarrow \sqrt[n]{n} = {y_n} + 1\)

\(\Rightarrow n = {(1 + {y_n})^n}\)

\( = 1 + n{y_n} + \frac{{n(n - 1)}}{2}y_n^2 + ....\)

\( > \frac{{n(n - 1)}}{2}y_n^2\)

\(\Rightarrow y_n^2 < \frac{2}{{n - 1}} \Rightarrow {y_n} < \sqrt {\frac{2}{{n - 1}}}\)

\(\Rightarrow 0 \le {y_n} < \sqrt {\frac{2}{{n - 1}}}\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {y_n} = 0\)

\(iv)\,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{n^x}}}{{{{(1 + \alpha )}^n}}} = 0,\forall \alpha > 0\)

\(\forall x > 0,\exists m \in {N^*}:m > x\)

Khi n > 2m, ta có:

\(\begin{array}{l} {\left( {1 + \alpha } \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}} {\alpha ^k}\\ > \frac{{n!}}{{m!(n - m)!}}{\alpha ^m} \end{array} \)

\(= \frac{{n(n - 1)...(n - m + 1)}}{{m!}}{\alpha ^m}\)

\(> {\left( {\frac{n}{2}} \right)^m}.\frac{{{\alpha ^m}}}{{m!}}(*)\)

(*) đúng vì \(n - m > n - \frac{n}{2} = \frac{n}{2},\forall n > 2m\)

\( \Rightarrow 0 < \frac{{{n^x}}}{{{{(1 + \alpha )}^n}}} < \frac{{{n^x}}}{{\frac{{{n^m}}}{{{2^m}}}.\frac{{{\alpha ^m}}}{{m!}}}} = \frac{{{2^m}.m!}}{{{\alpha ^m}}}.\frac{1}{{{n^{m - x}}}}\,(n > 2m,m - x > 0)\)

\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{n^x}}}{{{{(1 + \alpha )}^n}}} = 0,\forall \alpha > 0,\forall x\)hay \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{n^x}}}{{{\alpha ^n}}} = 0,\forall a > 1\)

5.2 Mệnh đề

Cho dãy {un} với \({u_n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{k!}}}\)

i) Dãy {un} hội tụ

ii) Nếu gọi e là giới hạn của {un} thì e là số vô tỉ

iii) Hai dãy số sau cũng hội tụ và có giới hạn là e

\({x_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n};{y_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^{n + 1}}\)

Chứng minh:

\(i)\,\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{(n + 1)!}} > {u_n},\forall n\)

⇒ {un} tăng

Ta có: \({u_n} < 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)

\( = 2 + \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 3 - \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 3,\forall n\)

{un} tăng và bị chặn trên ⇒ {un} hội tụ

ii) Gọi \(e = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}({u_n} > 2 + \frac{1}{2},\forall n \ge 3,\,do\,đó\,e\, > 2)\)

Giả sử e là số hữu tỉ \(\Rightarrow e = \frac{p}{q}\) (với p, q \(\in\) N*)

Với n > q ta có:

\({u_n} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + ... + \frac{1}{{q!}} + \frac{1}{{(q + 1)!}} + ... + \frac{1}{{n!}}\)

\(= {u_q} + \frac{1}{{(q + 1)!}} + ... + \frac{1}{{n!}}\)

\(= {u_q} + \frac{1}{{q!}}\left[ {\frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{(q + 1)(q + 2)}} + ... + \frac{1}{{(q + 1)...n}}} \right]\)

\(< {u_q} + \frac{1}{{q!}}\left[ {\frac{1}{{q + 1}} + \frac{1}{{{{(q + 1)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{(q + 1)}^{n - q}}}}} \right]\)

\(= {u_q} + \frac{1}{{q!}}\frac{{\left[ {\frac{1}{{q + 1}}\left( {1 - \frac{1}{{{{(q + 1)}^{n - q}}}}} \right)} \right]}}{{1 - \frac{1}{{q + 1}}}}\)

\(< {u_q} + \frac{1}{{q!}}.\frac{1}{q} = {u_q} + \frac{1}{{q!q}}\)

Do đó, khi n > q, ta có: \({u_{q + 1}} \le {u_n} < {u_q} + \frac{1}{{q!q}}\)

Qua giới hạn, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_{q + 1}} \le \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} \le \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_q} + \frac{1}{{q!q}}} \right)\)

\(\Rightarrow {u_{q + 1}} \le e \le {u_q} + \frac{1}{{q!q}}\)suy ra \({u_q} < e < {u_q} + \frac{1}{{q!}}\)

\( \Rightarrow q!{u_q} < q!\frac{p}{q} < q!{u_q} + 1\)

Ta có: \(q!{u_q} = q!\left( {2 + \frac{1}{{2!}} + ... + \frac{1}{{q!}}} \right)\)là một số nguyên và \(q!\frac{p}{q}\) là một số nguyên.

Hơn nữa \(q!{u_q}\) và \(q!{u_q}+1\)là hai số nguyên liên tiếp. Vậy giữa hai số nguyên liên tiếp có một số nguyên là vô lí. Do đó e phải là một số vô tỉ.

iii) Hướng dẫn:

Ta chứng minh \({x_n} \le {x_{n + 1}}\) bằng bất đẳng thức Cauchy.

\({x_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\)

\( = \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)...\left( {1 + \frac{1}{n}} \right).1 \le {\left( {\frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1}}} \right)^{n + 1}} = {x_{n + 1}}\)

\(\Rightarrow {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\) là dãy tăng. Sau đó chứng minh dãy bị chận trên bởi 3.

Ngoài ra, ta có: \({y_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = {x_n}\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)\)

6. Dãy Cauchy

6.1 Định nghĩa

{un} được gọi là một dãy Cauchy nếu tính chất sau thỏa:

\(\forall \varepsilon > 0\) luôn \(\exists N > 0\) sao cho \(\forall m,n > N\)

\(\Rightarrow \left| {{u_n} - {u_m}} \right| < \varepsilon\)

Định lý: Cho {un} là dãy số thực

{un} hội tụ ⇔ {un} là dãy Cauchy

Phát biểu cách khác:

{un} hội tụ

\( \Leftrightarrow \left( {\forall \varepsilon > 0,\exists N > 0\,\,sao\,\,cho\,\,m,n\, > N \Rightarrow \left| {{u_n} - {u_m}} \right| < \varepsilon \,} \right)\)

Nhận xét:

Do định lý trên để chứng minh một dãy số thực không hội tụ ta chứng minh nó không phải dãy Cauchy, nghĩa là cần chứng minh rằng:

\(\exists {\varepsilon _0} > 0,\forall N > 0,\exists m,n > N\)sao cho \(\left| {{u_n} - {u_m}} \right| \ge {\varepsilon _0}\)

Ví dụ: Xét dãy {un} với \({u_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}\). Chứng minh {un} không hội tụ.

Giải

\(\left| {{u_{2m}} - {u_m}} \right| = \left| {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{m} + \frac{1}{{m + 1}} + ... + \frac{1}{{2m}} - \left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{m}} \right)} \right|\)

\(= \left| {\frac{1}{{m + 1}} + \frac{1}{{m + 2}} + ... + \frac{1}{{2m}}} \right|\)

\(\ge \frac{1}{{2m}} + \frac{1}{{2m}} + ... + \frac{1}{{2m}} = \frac{1}{2}\) (m số hạng)

Do đó: \(\exists {\varepsilon _0} = \frac{1}{2},\forall N,\exists n = N + 1,m = 2(N + 1)(m,n > N)\)

\(\Rightarrow \left| {{u_m} - {u_n}} \right| = \left| {{u_{2m}} - {u_m}} \right| \ge \frac{1}{2}\)

Vậy {un} không hội tụ (nghĩa là {un} phân kỳ)

Ví dụ: Dùng tiêu chuẩn Cauchy, hãy chứng minh dãy số {un}, với \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\) là dãy hội tụ.

Chứng minh: Dành cho độc giả.

NONE

Bài học cùng chương

Bài 1: Khái niệm và Sự hội tụ của dãy số Bài 2: Dãy số đơn điệu và phân kỳ ra vô cực ADSENSE ADMICRO Bộ đề thi nổi bật UREKA AANETWORK

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC

Môn học

Triết học

Lịch Sử Đảng

Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Kinh Tế Vi Mô

Kinh Tế Vĩ Mô

Toán Cao Cấp

LT Xác suất & Thống kê

Đại Số Tuyến Tính

Tâm Lý Học Đại Cương

Tin Học Đại Cương

Kế Toán Đại Cương

Pháp Luật Đại Cương

Marketing Căn Bản

Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Xã Hội Học Đại Cương

Logic Học

Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Cơ Sở Văn Hóa VN

Trắc nghiệm

Trắc nghiệm Triết học

Trắc nghiệm Lịch Sử Đảng

Trắc nghiệm Tư Tưởng Hồ Chí Minh

Trắc nghiệm Kinh Tế Vi Mô

Trắc nghiệm Kinh Tế Vĩ Mô

Bài tập Toán Cao Cấp

Bài tập LT Xác suất & Thống kê

Bài tập Đại Số Tuyến Tính

Trắc nghiệm Tâm Lý Học Đại Cương

Trắc nghiệm Tin Học Đại Cương

Trắc nghiệm Kế Toán Đại Cương

Trắc nghiệm Pháp Luật Đại Cương

Trắc nghiệm Marketing Căn Bản

Trắc nghiệm Lý Thuyết Tài Chính Tiền Tệ

Trắc nghiệm Xã Hội Học Đại Cương

Trắc nghiệm Logic Học

Trắc nghiệm Lịch Sử Văn Minh Thế Giới

Trắc nghiệm Cơ Sở Văn Hóa VN

Tài liệu - Giáo trình

Lý luận chính trị

Khoa học tự nhiên

Khoa học xã hội

Kinh tế - Tài chính

Kỹ thuật - Công nghệ

Cộng nghệ thông tin

Tiếng Anh - Ngoại ngữ

Luận văn - Báo cáo

Kiến trúc - Xây dựng

Kỹ năng mềm

Y tế - Sức khoẻ

Biểu mẫu - Văn bản

YOMEDIA YOMEDIA ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Bỏ qua Đăng nhập ×

Thông báo

Bạn vui lòng đăng nhập trước khi sử dụng chức năng này.

Đồng ý ATNETWORK ON QC Bỏ qua >>