Dãy Cauchy – Wikipedia Tiếng Việt

Dãy x 1 , x 2 , x 3 , … {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }   của các số thực được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số thực dương ε , {\displaystyle \varepsilon ,}   tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi số tự nhiên m , n > N , {\displaystyle m,n>N,}   | x m − x n | < ε , {\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,}   trong đó thanh dọc đứng ký hiệu cho giá trị tuyệt đối. Tương tự như vậy ta có thể định nghĩa cho dãy các số hữu tỉ hoặc dãy các số phức. Cauchy đưa ra điều kiện hiệu x m − x n {\displaystyle x_{m}-x_{n}}   phải nhỏ vô cùng với mọi cặp số tự nhiên m, n.

Với mọi số thực r, dãy biểu diễn bị cắt của r tạo thành dãy Cauchy. Ví dụ, khi r = π , {\displaystyle r=\pi ,}   dãy số được viết như sau: (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). Phần tử thứ m và phần tử thứ n chỉ cách nhau tối đa 10 1 − m {\displaystyle 10^{1-m}}   trong đó m < n, và khi m lớn, giá trị này càng nhỏ hơn bất kỳ giá trị ε . {\displaystyle \varepsilon .}   cho trước

Mô đun hội tụ Cauchy

Nếu ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}   là dãy số trong tập X , {\displaystyle X,}   thì mô đun hội tụ Cauchy cho dãy số là hàm α {\displaystyle \alpha }   từ tập các số tự nhiên tới chính nó, sao cho với mọi số tự nhiên k {\displaystyle k}   và số tự nhiên m , n > α ( k ) , {\displaystyle m,n>\alpha (k),}   | x m − x n | < 1 / k . {\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}  

Các dãy đi cùng với mô đun hội tụ Cauchy là dãy Cauchy. Sự tồn tại mô đun hội tụ Cauchy được suy ra từ tính xếp thứ tự tốt của các số tự nhiên (gọi α ( k ) {\displaystyle \alpha (k)}   là số N {\displaystyle N}   nhỏ nhất trong định nghĩa của dãy Cauchy, đặt r {\displaystyle r}   là 1 / k {\displaystyle 1/k}  ). SỰ tồn tại của mô đun cũng suy ra được từ nguyên lý chọn phụ thuộc,nguyên lý này là dạng yếu hơn của tiên đề chọn, thậm chí ta có thể suy ra từ điều kiện còn yếu hơn được gọi là AC00. Dãy Cauchy chính quy là các dãy đi với mô đun cho trước hội tụ (thường thì α ( k ) = k {\displaystyle \alpha (k)=k}   hoặc α ( k ) = 2 k {\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}  ).