 06-11-2011, 08:51 PM | #1 |
shyhaeky_1111 +Thà nh Viên+  : Aug 2011 : 5 : 5 | Dãy Cauchy 1.CM: $(u_n) $ hội tụ $\Leftrightarrow (u_n) $ là dãy Cauchy 2.Xét sự hội tụ $(u_n) $: a. $u_n=\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{4^i} $ b. $u_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} $ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |
 |  |
| 07-11-2011, 01:15 AM | #2 |
Anh Khoa Moderator   : Oct 2010 : 1,260 : 380 | :  1.CM: $(u_n) $ há»™i tụ $\Leftrightarrow (u_n) $ là dãy Cauchy 2.Xét sá»± há»™i tụ $(u_n) $: a. $u_n=\sum_{i=1}^n \frac{i^2}{4^i} $ b. $u_n=\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} $ | Câu a: Há»™i tụ tÆ°Æ¡ng Ä‘Æ°Æ¡ng Cauchy thì cÅ©ng tùy trÆ°á»ng hợp nhé bạn  , mình nghÄ© bà i nà y bạn Ä‘ang nói tá»›i số thá»±c -Chiá»u thuáºn : Cho $\{x_n\} $ là dãy số thá»±c há»™i tụ vá» $a\in \mathbb{R} $ thì $\{x_n\} $ là dãy Cauchy. $\forall \epsilon>0,\exists N(\epsilon)\in \mathbb{N} $ sao cho $|x_n-a|<\epsilon, \forall n >N(\epsilon) $ $\forall \epsilon'>0,\exists M(\epsilon')\in \mathbb{N} $ sao cho $|x_n-x_m|<\epsilon', \forall n>m>M(\epsilon') $ Ta có : $|x_n-x_m|\le |x_n-a|+|x_m-a|=2\epsilon, \forall n,m>N(\epsilon) $ Khi đó, chá»n $\epsilon=\frac{\epsilon'}{2} $ và $M(\epsilon')=N(\epsilon) $ là được Ä‘iá»u cần tìm. -Chiá»u nghịch : Cho $\{x_n\} $ là dãy số thá»±c Cauchy thì $\{x_n\} $ há»™i tụ. Ta có $\{x_n\} $ là dãy số thá»±c Cauchy thì $\{x_n\} $ bị chặn trong $\mathbb{R} $ Cái nà y bạn có thể thá» chứng minh Khi đó, theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass, $\{x_n\} $ có dãy con $\{x_{n_k}\} $ há»™i tụ vá» $a\in \mathbb{R} $. NghÄ©a là : $\forall \epsilon'>0,\exists K(\epsilon')\in \mathbb{N} $ sao cho $|x_{n_k}-a|<\epsilon',\forall k>K(\epsilon') $ Kết hợp vá»›i định nghÄ©a dãy Cauchy : $\forall \epsilon>0,\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N} $ sao cho $|x_n-x_m|<\epsilon,\forall n>m>N(\epsilon) $ Cần chứng minh : $\forall\epsilon''>0,\exists M(\epsilon'')\in\mathbb{N} $ sao cho $|x_n-a|<\epsilon'',\forall n>M(\epsilon'') $ Là m tÆ°Æ¡ng tá»± nhÆ° cách trên, để ý rằng : $|x_m-a|\le |x_m-x_{n_m}|+|x_{n_m}-a| $ và $n_m\ge m $ [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] __________________ [Only registered and activated users can see links. ] [Only registered and activated users can see links. ] |
| | |
Dãy Cauchy 
News & Announcements
