Dãy Cauchy, Hội Tụ, Tập đóng, Không Gian Metric đầy đủ : - Tài Liệu Text

1. Trang chủ >
2. Kinh tế - Quản lý >
3. Quản trị kinh doanh >

Dãy Cauchy, hội tụ, tập đóng, không gian metric đầy đủ :

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (799.55 KB, 63 trang )

Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thốngDãy {xn}n∞=1 các điểm trên không gian metric (X,d) được gọi là dãy Cauchynếu∀ ε > 0, ∃ N là số tự nhiên sao cho:d(xn, xm) < ε∀n, m>NĐịnh nghĩa 7:Dãy {xn}n∞=1 các điểm thuộc không gian metric(X,d) được gọi là hội tụtới điểm x∈X nếu với mọi ε>0, ∃N là số tự nhiên sao cho:d(xn, x) < ε, ∀n0 sao cho:d(a, x)0 tồn tại tập hữu hạn các điểm {y1, y2, ..., yn}⊂S sao cho khi x∈Sthìd(x, yi) < ε víi y∈{ y1, y2, ..., yn}Định lý:(X, d) là không gian metric đầy đủ S⊂X. S là tập compact và đầy đủ nếunó đóng và giới nội toàn phần.Định nghĩa 14:S⊂X là tập con của không gian metric (X, d). S được gọi là tập mở nếuvới mỗi s∈S ∃ε>0 sao cho B(x, ε)={y∈X:d(x, y)≤ε}⊂S.1.1.2.2Không gian Hausdorff (H(x), h):Phần này trình bày một số khái niệm về không gian Hausdorff là cơ sởđể xây dựng fractal.Định nghĩa 15:(X, d) là không gian metric đầy đủ. Ký hiệu H(X) là tập con compact củaX.Định nghĩa 16:(X, d) là không gian metric đầy đủ, x∈X và B∈H(X). Khi đó khoảngcách từ điểm x tới tập B được xác định như sau:d(x, B) =Min{d(x, y): y∈B}.Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt12Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thốngĐịnh nghĩa 17:(X, d) là không gian metric đầy đủ A, B∈H(X) khi đó khoảng cách từ tậpA tới tập B được xác định như sau:d(A, B)=Max{d(x, B):x∈A}.Định nghĩa 18:(X, d) là không gian metric đầy đủ. Khoảng cách Hausdorff giữa cácđiểm A, B∈H(X) được xác định như sau:h(A, B) = d(A, B) ∨ d(B, A)Định lý:h là metric trên H(X).Chứng minh:+) h(A, B) = d(A, B) ) ∨ d(B, A) = d(B, A) ∨ d(A, B) = h(B, A)+) A≠B ∈H(X) ⇒ có thể tìm được a∈A, a∉B :d (a, B) > 0 ⇒ h (A, B) ≥ d(a,B) > 0+) h (A, A) = d(A, A)∨d(A, A) = d(A, A) = Max{d(a, A):a∈A} = 0+) d (a, B) = min{d(a, b) : b∈B},a∈A≤ min{d(a, c)+d(c, b):b∈ B} ∀c∈C= d(a, C)+min{d(c, b):b ∈ B}∀c∈C≤d(a, C)+max{min{d(c, b):b∈B}:c∈C}≤d(a, C)+d(c, B)d(A, B) = max{d(a, B): a∈A}≤d(a, C)+d(C, B)≤d(A, C)+d(C, B)Tương tự có d(B, A) ≤d(B, C)+d(C, A)h(A, B) = d(A, B) ∨d(B, A)≤ (d(A, C)+d(C, B))∨(d(B, C)+d(C, A))≤ d(A, C)∨d(C, A)+d(C, B)∨d(B, C)Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt13Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thống≤ h(A, C) + h(C, B)Định nghĩa 19:S⊂X và Γ>0 thì S+Γ= {y∈X : d(x, y) ≤ Γ với x∈S}. Ta gọi S+Γ là daođộng của S bởi hình cầu bán kính Γ.Bổ đề 1:Cho A, B ∈ H(X), (X, d) là không gian metric, ε>0. Khi đó ta có khẳngđịnh: h(A, B) ≤ ε ⇔ A⊂ B+ε và B⊂A+ε.Bổ đề 2: (bổ đề mở rộng)(X, d) là không gian metric, {An : n = 1, 2, .., ∞} là dãy Cauchy, cácđiểm trong (H(X), h), {nj}j∞=1 là dãy vô hạn các số nguyên 0 < n1 < n2 < n3 < ...Giả sử có dãy Cauchy {xnj ∈ Anj ; j=1, 2, ...} trong (X, d) thì tồn tại dãyCauchy {xn∈An ; n≥1} sao cho: xnj = xnj∀j = 1, 2, 3, ...Định lý: (Về tính đầy đủ của không gian fractal)(X, d) là không gian metric đầy đủ thì (H(X), h) cũng là không gianmetric đầy đủ. Hơn nữa nếu {An∈H(X)}n∞=1 là dãy Cauchy thì A= limn→∞ An∈H(X).Có thể mô tả giới hạn của dãy như sau:A= {x∈X : {xn ∈ An } là dãy Cauchy hội tụ đến x}Định lý:(X, d) là không gian metric, {xn} là dãy Cauchy hội tụ tới x ∈X(limn→∞d(x, xn)=0). nÕu hµm f : X → X liªn tôc th× limn→∞ f(xn) = f(x).1.1.3 Ánh xạ co và hệ hàm lặp:1.1.3.1 Ánh xạ co:Định nghĩa 20:Biến đổi f: X→ X trên không gian metric (X, d) được gọi là co hay ánhxạ co nếu tồn tại hằng số 0 ≤ s < 1 sao cho:d(f(x), f(y)) ≤ s.d(x, y)Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt∀x, y∈X.14Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thốngkhi đó s được gọi là hệ số co của f.Định lý: (định lý ánh xạ co)f: X→X là ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ (X, d). Thì f cóđiểm cố định duy nhất xf∈X, ∀x∈X dãy {fon(x) : n=0, 1, 2, ...} hội tụ tới xftức là:limn→∞ fon (x) = xfđối với mỗi x∈ X .Bổ đề 1:Cho không gian metric (X, d) và ánh xạ w từ X lên chính nó. Nếuw:X→X là ánh xạ co trên (X, d) thì w liên tục.Bổ đề 2:w: X→X là ánh xạ liên tục trên không gian metric (X, d) thì w là ánh xạtừ H(X) vào H(X).Bổ đề 3:w: X→X là ánh xạ co trên không gian metric (X, d) với hệ số co s. Taxác định biến đổi w: H(X)→H(X) như sau:w(B) = {w(x): x∈B} ∀ B∈H(X).khi đó w là ánh xạ co trên (H(X), h(d)) với hệ số co s.Bổ đề 4:Cho (X, d) là không gian metric. Nếu h là metric Hausdorff thì:h(B∪C, D∪E) ≤ h(B, D)∨ h(C, E)∀B, C, D, E∈H(X)Bổ đề 5:(X, d) là không gian metric, {wn:n=1, 2, .., N} là các ánh xạ co trên(H(X), h) với hệ số co tương ứng của w n là sn. Ánh xạ w: H(X)→H(X) đượcxác định bởi:NW(B) = w 1 (B) ∪ w 2 (B)...∪ w n (B) = U w n (B)n =1Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt15Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thốngVới mỗi B∈ H(X) thì w là ánh xạ co với hệ số co s= Max{sn:n=1, 2, ..,N}.1.1.3.2 Hệ hàm lặp IFS (Interated Function System):Định nghĩa 21:Một hệ hàm lặp bao gồm không gian metric đầy đủ (X, d) cùng với tậphữu hạn các ánh xạ co wn:X→X với hệ số co tương ứng sn, 0≤sn0 luôn có N(Aε)=1. Như thế thì D(A)=0.Ví dụKhông gian metric(R2, metric Manhattan). Giả sử A là đoạn thẳng [0, 1].Với mỗi ε >0 ta dễ dàng kiểm tra được rằng N(Aε)=-[-1/ε], ở đó [x] kí hiệuphần nguyên của số thực x. Khi đó ∀ε∈(0, 1)Cả hai vế đều tiến tới 1 khi ε→0. Vì thế, đại lượng ở giữa cũng tiến tới 1,tức là.Vậy, số chiều fractal của đọan thẳng là 1. Có thể chứng minh rằng kếtqủa không thay đổi, nếu chúng ta thay metric Manhattan bằng metric Ơcơlit.Ví dụGiả sử (X, d) là không gian metric. Với a, b, c∈X chúng ta kí hiệu A={a,b, c}. Khi đó D(A)=0.Đặng Thị Hải Vân – Nguyễn Đức Việt20Nghiên cứu phương pháp sinh ảnh FRACTAL dựa trên hệ hàm lặp và hệ thốngHai kết qủa dưới đây thể hiện sự đơn giản hóa qúa trình tính số chiềufractal. Chúng cho phép chúng ta thay thế biến liên tục ε bằng biến rời rạc.Định lýCho Aε∈H(X), trong đó (X, d) là không gian metric. Giả sử εn=Crn,n=1, 2, ..., với 0