Bài 4: Phương Trình Mũ - Phương Pháp đặt ẩn Phụ

I. Lý thuyết

1. \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\) Ta có \(a.t^2+b.t+c=0\) 2. \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó m.n =1 Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\) Ta có \(a.\frac{1}{t}+b.t+c=0\) \(a+b.t^2+c.t=0\) \(b.t^2+ct+a=0\) 3. \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\) Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có \(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\) đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\) ta có \(a.t^2+b.t^2+c=0\)

Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó + Xem ẩn đầu là tham số + Đưa về phương trình tích + Đưa về hệ phương trình Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó + Đưa về phương trình tích + Đưa về hệ phương trình

VD1: Giải phương trình \(4^x-3.2^x+2=0\) Giải Đặt \(t=2^x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t>0\) Phương trình trở thành \(t^2-t-2=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} t=-1 \ \ (loai)\\ t=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\) Với t = 2, ta có \(2^x=2\Leftrightarrow x=1\) Vậy tập nghiệm của phương trình là {1} VD2: Giải phương trình \(2^{1-2x}-3.2^{-x}+1=0\)

Giải

\(pt\Leftrightarrow 2.2^{-2x}-3.2^{-x}+1=0\) Đặt \(t=2^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t>0\) Phương trình trở thành \(2.t^2-3t+1=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=1\\ \\ t=\frac{1}{2} \end{matrix}\) Với t = 1, \(2^{-x}=1\Leftrightarrow -x=0\Leftrightarrow x=0\) Với \(t=\frac{1}{2}, \ \ 2^{-x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow -x=-1\Leftrightarrow x=1\) Vậy tập nghiệm phương trình là {0;1}

VD3: Giải phương trình \(2.4^\frac{1}{x}+6^\frac{1}{x}=9^\frac{1}{x}\)

Giải

ĐK \(x\neq 0\) Chia 2 vế cho \(9^\frac{1}{x}\) ta có \(2.\left ( \frac{4}{9} \right )^\frac{1}{x}+\left ( \frac{6}{9} \right )^\frac{1}{x}=1\) \(\Leftrightarrow 2.\left ( \frac{4}{9} \right )^\frac{1}{x}+\left ( \frac{2}{3} \right )^\frac{1}{x}-1=0\) Đặt \(t=\left ( \frac{2}{3} \right )^\frac{1}{x}, t>0\) ta có \(2t^2+t-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=-1 \ (loai)\\ \\ t=\frac{1}{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\) Với \(t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{3} \right )^\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{x}=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2} \Leftrightarrow x= \frac{1}{log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{2}}= log_\frac{1}{2}\frac{2}{3}\) VD4: Giải phương trình \(9^x+2(x-2)3^x+2x-5=0\) Giải Đặt \(t=3^x, \ t>0\) Phương trình trở thành \(t^2+2(x-2)t+2x-5=0\) \(\Delta '=(x-2)^2-(2x-5)=x^2-6x+9=(x-3)^2\) \(\bigg \lbrack\begin{matrix} t=-(x-2)+x-3=-1 (loai)\\ t=-(x-2)-(x-3)=5-2x \ \ \end{matrix}\) \(t=5-2x\Leftrightarrow 3^x=5-2x\Leftrightarrow 3^2+2x=5\) \(\begin{matrix} x>1 \ \ 3^x+2x>5\\ x<1 \ \ 3^x+2x<5\\ x=1 \ \ 3^x+2x=5 \end{matrix}\) Vậy tập nghiệm là {1}

VD5: Giải phương trình \(8.3^x+3.2^x=24+6^x\) Giải

Đặt \(a=3^x, \ b=2^x\) ta có 6x = ab Phương trình trở thành \(8a+3.b=24+ab\) \(\Leftrightarrow 8(a-3)+b(3-a)=0\) \(\Leftrightarrow (8-b)(a-3)=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} b=8\\ a=3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2^x=8\\ 3^x=3 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=3\\ x=1 \end{matrix}\) Vậy tập nghiệm là {1;3}

VD6: Giải phương trình \(4^{x^2+x}+2^{1-x^2}=2^{(x+1)^2}+1\) Giải

Đặt \(a=4^{x^2+x}=2^{2x^2+2x}\) \(b=2^{1-x^2}\) thì \(2^{(x+1)^2}=ab\) Phương trình trở thành a + b = ab +1 \(\Leftrightarrow (a-1)+b(1-a)=0\) \(\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0\) \(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=1\\ b=1 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2^{2x^2+2x}=1\\ 2^{1-x^2}=1 \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} 2x^2+2x=0\\ 1-x^2=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=-1\\ x=1 \end{matrix}\) Vậy tập nghiệm là {0; -1; 1}