Tổng Hợp Lý Thuyết Giải Bất Phương Trình Mũ Bằng Phương Pháp đặt ...

Giải bất phương trình mũ bằng Phương pháp đặt ẩn phụ có đáp án

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình nhưng lưu ý đến chiều biến thiên của hàm số.

Bài tập trắc nghiệm đặt ẩn phụ giải bất phương trình mũ bpt có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau: a)  ${{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}+1}}>12$                            b) ${{3}^{x}}+{{9.3}^{-x}}-10<0$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện:$x\ne 0$

BPT$\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+3.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}.\frac{1}{3}>12\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{2}{x}}}+{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}-12>0$

Đặt $t={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}\left( t>0 \right)$ ta được${{t}^{2}}+t-12>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t>3 \\  {} t3$$\Rightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}>3\Leftrightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{\frac{1}{x}}}>{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{-1}}\Leftrightarrow \frac{1}{x}<-1\Leftrightarrow \frac{1+x}{x}<0$

Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là $-1<x<0$

b) Ta có${{3}^{x}}+{{9.3}^{-x}}-10<0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t={{3}^{x}} \\  {} {{t}^{2}}-10t+90 \\  {} 1<t<9 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1<{{3}^{x}}<9\Leftrightarrow {{3}^{0}}<{{3}^{x}}<{{3}^{3}}\Leftrightarrow 0<x<2$

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau: a)  ${{6.9}^{\frac{1}{x}}}-{{13.6}^{\frac{1}{x}}}+{{6.4}^{\frac{1}{x}}}\le 0$  b) ${{5.4}^{x}}+{{2.25}^{x}}-{{7.10}^{x}}\le 0$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện:$x\ne 0$. Khi đó chia cả 2 vế cho ${{4}^{\frac{1}{x}}}$ ta có: $\Leftrightarrow 6.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{2}{x}}}-13.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}+6.\le 0$

$\to \left\{ \begin{array}  {} t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}>0 \\  {} 6{{t}^{2}}-13t+6\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} \frac{2}{3}\le t\le \frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( \frac{2}{3} \right)\le {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{\frac{1}{x}}}\le \frac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le \frac{1}{x}\le 1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} \frac{x+1}{x}\ge 0 \\  {} \frac{x-1}{x}\ge 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\le -1 \\  {} x\ge 1 \\ \end{array} \right.$

b) Ta có: ${{5.4}^{x}}+{{2.25}^{x}}-{{7.10}^{x}}\le 0\Leftrightarrow 5+2.{{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}-7{{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le 0$

$\to \left\{ \begin{array}  {} t={{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}} \\  {} 2{{t}^{2}}-7t+5\le 0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} t>0 \\  {} 1\le t\le \frac{5}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 1\le {{\left( \frac{5}{2} \right)}^{x}}\le \frac{5}{2}\Leftrightarrow 0\le x\le 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 0;1 \right]$

Bài tập 3: Số nghiệm nguyên trong khoảng $\left( -20;20 \right)$có bất phương trình ${{16}^{x}}-{{5.4}^{x}}+4\ge 0$là A. 19 B. 20 C. 39 D. 40

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{4}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có: ${{t}^{2}}-5t+4\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t\ge 4 \\  {} t\le 1 \\ \end{array} \right.$

Suy ra $\left[ \begin{array}  {} {{4}^{x}}\ge 4 \\  {} {{4}^{x}}\le 1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x\ge 1 \\  {} x\le 0 \\ \end{array} \right.$

Kết hợp $\left\{ \begin{array}  {} x\in \mathbb{Z} \\  {} x\in \left( -20;20 \right) \\ \end{array} \right.$ $\Rightarrow $có 39 nghiệm. Chọn C.

Bài tập 4: Biết $S=\left[ a;b \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình ${{3.9}^{x}}-{{10.3}^{x}}+3\le 0$. Tìm $b-a$ A. $T=\frac{8}{3}$ B. $T=1$ C. $T=\frac{10}{3}$ D. $T=2$

Lời giải chi tiết

Đặt $t={{3}^{x}}\left( t>0 \right)$ ta có $3{{t}^{2}}-10t+3\ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{3}\le t\le 3\Rightarrow {{3}^{-1}}\le {{3}^{x}}\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 1$

Suy ra $S=\left[ -1;1 \right]\Rightarrow b-a=2$. Chọn D.

Bài tập 5: Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình ${{9}^{x-1}}-{{36.3}^{x-3}}+3\le 0$ A. $T=4$ B. $T=3$ C. $T=0$ D. $T=1$

Lời giải chi tiết

Ta có: BPT$\Leftrightarrow {{3}^{2\left( x-1 \right)}}-{{4.3}^{x-1}}+3\le 0\xrightarrow{t={{3}^{x-1}}>0}{{t}^{2}}-4t+3\le 0\Leftrightarrow 1\le t\le 3$

Khi đó: ${{3}^{0}}\le {{3}^{x-1}}\le 3\Leftrightarrow 0\le x-1\le 1\Leftrightarrow 1\le x\le 2$

Kết hợp$x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$.  Chọn B.

Bài tập 6: Tìm tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình $\frac{{{2.3}^{x}}-{{2}^{x+2}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1$ A. $T=0$ B. $T=1$ C. $T=2$ D. $T=3$

Lời giải chi tiết

$\frac{{{2.3}^{x}}-{{2}^{x+2}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1\Leftrightarrow \frac{{{2.3}^{x}}-{{4.2}^{x}}}{{{3}^{x}}-{{2}^{x}}}\le 1\Leftrightarrow \frac{2.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-4}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 1\Leftrightarrow \frac{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-3}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}-1}\le 0$

$\xrightarrow{t={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}>0}\Leftrightarrow \frac{t-3}{t-1}\le 0\Leftrightarrow 1<t\le 3\Rightarrow 1<{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\le 3\Leftrightarrow 0<x<{{\log }_{\frac{3}{2}}}3$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=\left\{ 1;2 \right\}\Rightarrow T=3$. Chọn D.

Bài tập 7: Số nghiệm nguyên của bất phương trình${{\left( 3-\sqrt{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{\left( 3+\sqrt{5} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le {{2}^{1-{{x}^{2}}+2x}}$là A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Lời giải chi tiết

BPT$\Leftrightarrow $${{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}+{{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\le 2$ Nhận xét$\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)=1$

Đặt$t={{\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}\left( t>0 \right)$ suy ra${{\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)}^{2x-{{x}^{2}}}}=\frac{1}{t}$

Ta có$t+\frac{1}{t}\le 2\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t+1\le 0\Leftrightarrow {{\left( t-1 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow 2x-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$

Vậy nghiệm của BPT là: $x=0;x=2$. Chọn A.